线性方程组的直接解法.pdf
实验五线性方程组的直接解法一、实验内容1、用列主元素法求解方程组15123459.170.3 1059.43146.785.2916.3112111.295221211xxxx并计算误差b-Ax，分析结果的好坏；2、用改进 Cholesky 方法求对称正定阵线性方程组1234248.72171013.741090.7xxx并计算误差b-Ax，分析结果的好坏；3、用追赶法解方程组123421006132010121000351xxxx二、要求1、对上述三个方程组分别利用Gauss列主元消去法；Cholesky 方法；追赶法求解（选择其一）；2、应用结构程序设计编出通用程序；3、比较计算结果，分析数值解误差的原因；三、目的和意义1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点；2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法；3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用；4、通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。四、实验学时：2 学时五、实验步骤：1进入 matlab 开发环境；2根据实验内容和要求编写程序；3调试程序；4运行程序；5撰写报告,讨论分析实验结果六、程序1、Gauss列主元素消去法function x=Gauss_pivot(A,b)%用 Gauss列主元素法求解线性方程组Ax=b%x 是未知向量n=length(b);x=zeros(n,1);c=zeros(1,n);d1=0;%消元计算for i=1:n-1 max=abs(A(i,i);m=i;for j=i+1:n if maxabs(A(j,i);max=abs(A(j,i);m=j;end end if m=i for k=i:n c(k)=A(i,k);A(i,k)=A(m,k);A(m,k)=c(k);end d1=b(i);b(i)=b(m);b(m)=d1;end for k=i+1:n for j=i+1:n A(k,j)=A(k,j)-A(i,j)*A(k,i)/A(i,i);end b(k)=b(k)-b(i)*A(k,i)/A(i,i);A(k,i)=0;end end%回代求解x(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 sum=0;for j=i+1:n sum=sum+A(i,j)*x(j);end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);end 2、Cholesky 方法function x=Chol_decompose(A,b)%用 cholesky求解线性方程组 Ax=b%A 是对称矩阵%L 是单位下三角阵%D 是对角阵%对角矩阵 A 进行三角分解：A=LDL N=length(A);L=zeros(N,N);D=zeros(1,N);for i=1:N L(i,i)=1;end D(1)=A(1,1);for i=2:N for j=1:i-1 if j=1 L(i,j)=A(i,j)/D(j);else sum1=0;for k=1:j-1 sum1=sum1+L(i,k)*D(k)*L(j,k);end L(i,j)=(A(i,j)-sum1)/D(j);end end sum2=0;for k=1:i-1 sum2=sum2+L(i,k)2*D(k);end D(i)=A(i,i)-sum2;end%分别求线性方程组Ly=b;Lx=y/D y=zeros(1,N);y(1)=b(1);for i=2:N sumi=0;for k=1:i-1 sumi=sumi+L(i,k)*y(k);end y(i)=b(i)-sumi;end x=zeros(1,N);x(N)=y(N)/D(N);for i=N-1:-1:1 sumi=0;for k=i+1:N sumi=sumi+L(k,i)*x(k);end x(i)=y(i)/D(i)-sumi;end 3、追赶法function x=threedia(a,b,c,f)%求解线性方程组Ax=f，其中 A 是三对角阵%a是矩阵 A 的下对角线元素 a(1)=0%b 是矩阵 A 的对角线元素%c 是矩阵 A 的上对角线元素 c(N)=0%f 是方程组的右端向量N=length(f);x=zeros(1,N);y=zeros(1,N);d=zeros(1,N);u=zeros(1,N);%预处理d(1)=b(1);for i=1:N-1 u(i)=c(i)/d(i);d(i+1)=b(i+1)-a(i+1)*u(i);%u 在这里表示就是公式中的end%追的过程y(1)=f(1)/d(1);for i=2:N y(i)=(f(i)-a(i)*y(i-1)/d(i);end%赶的过程x(N)=y(N);for i=N-1:-1:1 x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1);end x 七、数值实验1、第 1 题运行程序A=0.3*10-15,59.14,3,1;5.291,-6.13,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1;b=59.17,46.78,1,2;x=Gauss_pivot(A,b);b-A*x 2、第 2 题运行程序A=4,-2,4;-2,17,10;4,10,9;b=8.7,13.7,-0.7;x=Chol_decompose(A,b);3、第 3 题运行程序a=0,-1,-1,-3;b=2,3,2,5;c=-1,-2,-1,0;f=6,1,0,1;x=threedia(a,b,c,f)八、思考题根据高斯列主元素消去法写出高斯消去法的程序，用高斯消去法解算第1 题，数值结果与高斯列主元消去法进行比较优缺点。
