北京市通州区2020届高三上学期摸底(期末)考试试题数学【含答案】.pdf

北京市通州区2020 届高三上学期摸底（期末）考试试题数学一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21Axx，13Bxx，则ABA.23xx B.11xx C.13xx D.21xx2.在复平面内，复数i1iz（其中i是虚数单位）对应的点位于A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知点A（2，a）为抛物线24yx 图象上一点，点F为抛物线的焦点，则AF等于 A.4 B.3 C.2 2 D.2 4.若0 xy，则下列各式中一定正确的是A.11xy B.tantanxy C.11()()22xy D.lnlnxy5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为俯视图左（侧）视图正（主）视图2344A 27 B.42 C.2 11 D.436.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为A 24 B.12 C.8 D.6 7.对于向量a，b，“aab”是“0b”的A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.关于函数21()(1)xfxxaxe有以下三个判断函数恒有两个零点且两个零点之积为-1；函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1；若2x是函数的一个极值点，则函数极小值为-1.其中正确判断的个数有A0 个 B.1个 C.2个 D.3个第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9.已知向量3,2a，mb,1，若()aab，则m_.10.在公差不为零的等差数列an 中，a1=2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列an的前n项和nS等于 .11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为 .12.在ABC中，3a，26b，2BA，则cosB .13.已知,a b am均为大于0 的实数，给出下列五个论断：ab，ab，0m，0m，bmbama.以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题 .14.如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为 1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l，花园中间有一条公路AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA规划要求：道路PB，QA不穿过花园已知OCl，BDl（C、D为垂足），测得OC=0.9，BD=1.2（单位：千米）已知修建道路费用为m元/千米.在规划要求下，修建道路总费用的最小值为元.lADCOB三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题13 分）已知函数()2cos()sin3f xxx.（）求f(x)的最小正周期；（）求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.16（本小题13 分）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8 所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格.良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：()从8所 学 校 中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；()从 8 所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求 X 的分布列；()设 8 所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较 S12与 S22的大小.（只写出结果）比例学校等级学校 A 学校 B 学校 C 学校 D 学校 E 学校 F 学校 G 学校 H 优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%键入17（本小题14 分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC，SAD=DAB=900，SA=3，SB=5，4AB，2BC，1AD.()求证：AB平面SAD；()求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（）点E，F分别为线段BC，SB上的一点，若平面AEF/平面SCD，求三棱锥B-AEF的体积.18（本小题13 分）已知椭圆C：12222byax(0)ab的长轴长为4，离心率为22，点P在椭圆C上（）求椭圆C的标准方程；（）已知点M(4，0)，点N(0，n)，若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围19.（本小题13 分）已知函数xxxxfcossin)(（）求曲线)(xfy在点)0(0(f，处的切线方程；（）求函数21()()4g xf xx零点的个数.20.（本小题14 分）已知项数为*(,2)Nm mm的数列na满足如下条件：*(1,2,)naNnm；12maaa.若数列nb满足*12()1mnnaaaabNm，其中1,2,nm，则称nb为na的“伴随数列”.（）数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（）若nb为na的“伴随数列”，证明：12mbbb；（）已知数列na存在“伴随数列”nb，且11a，2049ma，求m的最大值.一、选择题：（每小题5 分，共 40 分.）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A A B D C C B C 二、填空题（每道小题5 分，共 30 分）95；10 21322nn；11221xy；12 13；13 推出（答案不唯一还可以推出等）；14 2.1 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题13 分）解：13()2cos()sin2(cossin)sin322f xxxxxx23)32sin()2cos1(232sin21xxx 4 分（）f(x)的最小正周期T=2=2 7 分（）因为0,2x，所以22,333x，9 分所以当233x,即0 x时，f(x)取得最小值0；11 分当232x，即512x时，f(x)取得最大值312.13 分16（本小题13 分）解：（）8 所 学 校 中 有 四 所 学 校 学 生 的 体 质 健 康 测 试 成 绩 达 到 良 好 及 其 以 上 的 比 例 超 过40%，1 分所以从 8 所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为12.3 分（）8 所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H 三所，所以X 的取值为0，1，2.4 分145)0(2825CCXP2851)1(281315CCCXP283)2(2823CCXP所以随机变量X的分布列为X0 1 2 P 5141528328 10 分（）S12=S22 13 分17（）证明：在SAB中，因为3,4,5SAABSB，所以ABSA.1 分又因为DAB=900所以ABAD，2 分因为SAADA所以AB平面SAD.4 分（）解：因为SAAD，ABSA，ABAD.建立如图直角坐标系则A（0,0,0）B(0,4,0)，C（2,4,0），D（1,0,0），S(0,0,3).5 分平面SAB的法向量为(1,0,0)AD.6 分设平面SDC的法向量为(,)mx y z所以有00m CDm SD即4030 xyxz，令1x所以平面SDC的法向量为1 1(1,)4 3m 8 分所以12cos13m SDm SD.9 分（）因为平面AEF/平面SCD，平面AEF平面ABCD=AE，平面SCD平面ABCD=CD，所以AECD，平面AEF平面SBC=EF，平面SCD平面SBC=SC，所以FESC 11 分由AECD，AD/BC得四边形AEDC为平行四边形.所以E为BC中点.又FESC，所以F为SB中点.12 分所以F到平面ABE的距离为32，又ABE的面积为2，所以1BAEFFABEVV.14 分18（本小题13 分）解：（）由椭圆的长轴长2a=4，得a=2 又离心率22ace，所以2c所以2222cab所以椭圆C的方程为；12422yx 4 分（）法一：设点)(00yxP，则1242020yx所以PN的中点)22(00nyxQ，5 分)242(00nyxMQ，)(00nyxNP，6 分因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQNP，则0NPMQ 7 分即0)(2()42(0000nynyxx 8 分又因为1242020yx，所以02822020nxx所以2228200202，xxxn.10 分函数22282)(00200，xxxxf的值域为2012，所以2002n所以5252n.13 分法二：设点)(00yxP，则1242020yx设PN的中点为Q因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ是线段PN的垂直平分线 7 分所以MNMP即2202016)4(nyx所以2820202xxn 10 分函数22282)(00200，xxxxf的值域为2012，所以2002n.所以5252n.13 分若有其他方法请酌情给分.19（本小题13 分）解：（）因为()cosfxxx，1 分所以(0)0f.2 分又因为(0)1f 3 分所以曲线)(xfy在点)0(0(f，处的切线方程为1y.4 分（）因为21()()4g xf xx为偶函数，(0)1g 5 分所以要求()g x在Rx上零点个数，只需求()g x在(0,)x上零点个数即可.6 分11()cos(cos)22g xxxxxx令()0g x，得23xk，523xkNk 7 分所以()g x在(0,)3单调递增，在5(,)33单调递减，在57(,)33单调递增，在5(2,2)33kk单调递减，在(2,2)33kk单调递增Nk 8 分列表得：x0(0,)335(,)335357(,)3373711(,)33113()g x0+0 0+0 0()g x1 极 大值极小值极大值极 小值由上表可以看出()g x在23xk（Nk）处取得极大值，在523xk（Nk）处取得极小值 9 分231()036236g；255 3125()036236g.10 分当k*N且1k时2231115(2)(2)(2)(23)0332243434gkkkk（或21()14g xxx，21(2)(2)1(2)03343gkkk）11 分所以()g x在(0,)x上只有一个零点.12 分函数21()()()4Rg xf xxx零点的个数为2.13 分20（本小题14 分）（）解：数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.1 分因为*41357979512bN，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.3 分（）证明：因为111nnnnaabbm，*11,nmnN 4 分又因为12maaa，所以有10nnaa所以1101nnnnaabbm 5 分所以12mbbb成立 6 分（）1ijm，都有1jiijaabbm，7 分因为*ibN，12mbbb.所以*ijbbN，所以*1jiijaabbNm 8 分所以*11204811mmaabbNmm因为*111nnnnaabbNm，所以11nnaam 10 分又112211()()()mmmmmaaaaaaa(1)(1)(1)mmm=2(1)m 12 分所以2(1)2048m，所以46m 13 分又*20481Nm，所以33m例如：6463nan（133n），满足题意，所以，m 的最大值是33.14 分