北京市顺义牛栏山第一中学2020届高三上学期期中考试试题数学【含答案】.pdf
北京市顺义牛栏山第一中学2020 届高三上学期期中考试试题数学一、选择题：本大题共8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若集合2|3MxN x，则下列结论正确的是A.1M B.2M C.0M D.2M2.下列函数中，值域是0,)是A2xy B.12yx C.sinyx D.|1|yx3.1，a，b，c，4 成等比数列，则b=A.2 B.2 C.2 D.不确定4.若(1,1)a，(3,1)b，则 a与 b 的夹角为A.015 B.030 C.045 D.0605.定义域均为R 的两个函数()f x，()g x，()()f xg x 为奇函数是()f x，()g x 均为奇函数的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.两点(,3)A m，(cos,sin)B，在 m，变化过程中，|AB 的最小值为A.1 B.2 C.3 D.与 m有关7.过曲线2:4Eyx 的焦点 F 并垂直于x 轴的直线与曲线E 交于 A，B，A 在 B 上方，M 为抛物线上一点，2OMOAOB，则=A.0 B.3 C.0或 3 D.348.如图，平面内两条直线1l和2l相交于点O，构成的四个角中的锐角为060.对于平面上任意一点M，若,p q分别是 M 到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点 M 的“距离坐标”，给出下列三个命题：（1，0）点有且仅有两个；（2，3）点有且仅有4 个；若2pq，则点 M 的轨迹是两条过O点的直线；满足221pq的所有点(,)p q 位于一个圆周上.其中正确命题的个数是CABABCDPEA.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9.复数11izi的虚部为 _.10.数列 na的前 n 项和为nS，若22nnSn，则3a=_.11.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的渐近线方程为_.12.右图是以 C 为圆心一个圆，其中弦AB 的长 2，则 ACAB=_.13.里氏震级 M 的计算公式为:0lglgMAA,其中 A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,0A 是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为_级;9级地震的最大振幅是5 级地震最大振幅的_倍.14.已知1()|1|1xf xax（1x，0a），()f x 与 x轴交点为A，若对于()f x 图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q（P，Q 异于 A），满足APAQ，且|APAQ，则 a_.三、解答题：（本大题共6 个题，共计80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.(13分)在ABC中，222acbac（）求B 的大小；（）若6ac，ABC的面积为 2 3，求b.16.(13分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，2 3PAABBC,ACCD，60ABC,E 是 PC 的中点（）证明CDAE；（）若ABAD，（i）求直线 PC 与平面BAE所成角的正弦值；（ii）设平面BAE与侧棱 PD 交于 F，求PFFD.17.(13 分)设 na是公比大于1 的等比数列，nS为数列 na的前n项和 已知37S，且1233 34，aaa构成等差数列（）求数列na的通项公式；（）求数列21lnna的前n项和nT18.(14分)设 A为椭圆2222:10 xyEabab的下顶点，椭圆长半轴的长等于椭圆的短轴长，且椭圆 E 经过点3(1,)2.（）求椭圆的方程；（）过点A的直线与直线2y交于点 M，与椭圆交于B，点 B 关于原点的对称点为C，直线AC交直线2y交于点N，求|MN的最小值.19.(14分)已知函数2()8,()6ln.f xxx g xxm（）若曲线()yf x 与曲线()yg x 在它们的公共点处且有公共切线，求m的值；（）若存在实数n使不等式()()f xg x 的解集为(0,)n，求实数m的取值范围.20.(13分)对于正整数集合12,nAa aa（nN，3n），如果任意去掉其中一个元素ia（1,2,in）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”.（I）判断集合1,2,3,4,5和1,3,5 7,9,1113，是否是“可分集合”（不必写过程）；（II）求证：五个元素的集合12345,Aa aa aa一定不是“可分集合”；（III）若集合12,nAa aa（nN，3n）是“可分集合”证明：n为奇数；求集合A中元素个数的最小值.答案一、选择题1.C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.C 二、填空题9 1 10.9 11.yx 12.2 13.6；410 14.2三、解答题15.解：（1）因为222acbac，222cos2acbBac，-2分所以1cos2B，-4分因为00180B-5分所以60B-6分（2）1sin2 32acB，-7分所以8ac，-9分因为222acacb，即223acacb-11分因为6ac，所以2 3b-13分16.解：（1）因为PAABCD面,CD平面ABCD所以PACD,-1分因为ACCD，ACPAA,所以CDPAC面,-3分因为AE平面PAC所以CDAE-4分（2）以 A为原点，AB为 x 轴，AD为 y 轴，AP为 z 轴建立空间直角坐标系如图：则2 3,0,0B,3,3,0C,3 3,322E,所以3 3,322AE2 3,0,0AB-5分设面ABE的法向量为000,nxyz00ABnAEn?，所以0,2,3n-7分0,0,23P,3,3,2 3PC，设直线PC与面ABE所成角为，42sincos,7PCnPC nPC n?，直线PC与平面AEF所成角的正弦值为427.-10分0,4,0D,0,4,2 3PD,设,F x y z，(01)PFFD，-11分,2 30,4,2 3x y z，042 32 3xyz所以0,4,232 3F，所以0,4,232 3AF-12分0AFn?，所以37,所以34PFFD-13分17.解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa，-2分解得22a-4分设数列na的公比为q，由22a，可得1322aaqq，又37S，可知2227qq，即22520qq，-6分解得12122qq，由题意得12qq，-7分11a故数列na的通项为12nna-8分（2）因为221lnln 22 ln 2nnnban-10分T1+2+n)2ln 2n（-11分所以 n 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列-12分所以Tn(1)2ln 22n n(1)ln 2n n-13分18.解：（1）因为2ab，222abc，所以222214xybb，-2分代入31,2，21b，所以2214xy.-3分（2）由题意可知直线的斜率存在-4分直线AB的方程为1ykx，-5分12ykxy，1xk，所以1,2Mk，-6分22114ykxxy，消去y得221480kxkx，-7分2814Bkxk，224114Bkyk，所以222841,1414kkBkk-8分所以222814,1414kkCkk-9分直线AC的斜率222141114841 4ACkkkkkk，-10分直线 AC的方程为14xyk，当2y时，4xk，所以4,2Nk-11分14MNkk-12分不妨设0k，1142 44MNkkkk?，当且仅当14kk即2k时等号成立所以|MN的最小值为4.-14分19.解：（1）28fxxx，28fxx，6lng xxm，6gxx-2分设交点坐标为00,xy，所以00628xx解得03x或01x-3分当01x时，0ym且07y所以7m-4分当03x，015y所以6ln315m，所以156ln3m-5分（2）286ln0h xfxg xxxxm x，-6分223628xxhxxxx-7分令()0h x，得1x或 3 x(0,1)1（1，3）3(3,)()h x0+0()h x单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值17hm，极大值3156ln3hm-9分存在实数n使不等式()()f xg x 的解集为(0,)n 的必要条件为：所以10h或30h，解得7m或156ln3m-11分当7m时,令0864442mx，则0()0h x所以在(3,)存在唯一的零点-12分当156ln31m时，601me当01x时，28(8)0 xxxx，所以6()0mh e，所以在6(,1)me存在唯一的零点，-13分综上所述存在实数n使不等式()()f xg x 的解集为(0,)n 的 m 取值范围为(,7)(156ln3,).-14分20.解：（1）集 合1,2,3,4,5不 是“可 分 集 合”，集 合1,3,5 7,9,1113，是 可 分 集合.3 分（2）不妨设12345aaaaa，将集合1345,a aaa分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534aaaa，或者5134aaaa；将集合2345,aaaa分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534aaaa，或者5234aaaa.由、，得12aa，矛盾；由、，得12aa，矛盾；由、，得12aa，矛盾；由、，得12aa，矛盾.因此当5n时，集合A一定不是“和谐集”.-8分（III）设集合12,nAa aa所有元素之和为M.由题可知，iMa（1,2,in）均为偶数，因此ia（1,2,in）的奇偶性相同.如果M为奇数，则ia（1,2,in）也均为奇数，由于12nMaaa，所以n为奇数.如果M为偶数，则ia（1,2,in）均为偶数，此时设2iiab，则12,nb bb也是“可分集合”.重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”.此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数.综上所述，集合A中元素个数为奇数.当3n时，显然任意集合123,a aa不是“可分集合”.当5n时，第（II）问已经证明集合12345,Aa aaaa不是“可分集合”当7n时，易验证集合1,3,5,7,9,11,13A是“可分集合”.所以集合A中元素个数n的最小值是7.-14分
