2012年河北省中考数学试卷及答案解析.pdf

第1页（共 33页）2012 年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题12 小题，1-6 每小题 2 分，7-12 每小题 2 分，共 30 分）1（2 分）下列各数中，为负数的是（）A0 B2 C 1 D2（2 分）计算（ab）3的结果为（）Aab3Ba3b C a3b3 D3ab3（2 分）图中几何体的主视图为（）ABC D4（2 分）下列各数中，为不等式组解的是（）A1 B0 C 2 D45（2 分）如图，CD是O 的直径，AB 是弦（不是直径），ABCD于点 E，则下列结论正确的是（）AAEBE B=CD=AEC DADE CBE6（2 分）掷一枚质地均匀的硬币10 次，下列说法正确的是（）A每 2 次必有 1 次正面向上B可能有 5 次正面向上C必有 5 次正面向上D不可能有 10 次正面向上7（3 分）如图，点 C在AOB的 OB边上，用尺规作出了CN OA，作图痕迹第2页（共 33页）中，是（）A以点 C为圆心，OD为半径的弧B以点 C为圆心，DM 为半径的弧C以点 E为圆心，OD为半径的弧D以点 E为圆心，DM 为半径的弧8（3 分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A（x+2）2=3 B（x2）2=3 C （x2）2=5 D（x+2）2=59（3 分）如图，在平行四边形 ABCD中，A=70，将平行四边形折叠，使点 D、C分别落在点 F、E处（点 F、E都在 AB所在的直线上），折痕为 MN，则 AMF等于（）A70B40C 30D2010（3 分）化简的结果是（）ABC D2（x+1）11（3 分）如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（ab），则（ab）等于（）A7 B6 C 5 D4第3页（共 33页）12（3 分）如图，抛物线 y1=a（x+2）23 与 y2=（x3）2+1 交于点 A（1，3），过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C则以下结论：无论 x取何值，y2的值总是正数；a=1；当 x=0时，y2y1=4；2AB=3AC；其中正确结论是（）ABCD二、填空题（本大题6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13（3 分）5 的相反数是14（3 分）如图，AB、CD相交于点 O，AC CD于点 C，若BOD=38 ，则A=15（3 分）已知 y=x1，则（xy）2+（yx）+1 的值为16（3分）在 12 的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其它格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是17（3 分）某数学活动小组的20 名同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第4页（共 33页）第一位开始，每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1，第一同学报（+1），第二位同学报（+1），第三位同学报（+1），这样得到的 20 个数的积为18（3 分）用 4 个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用 n 个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图 2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则 n 的值为三、解答题（本大题8 小题，共 72 分）19（8 分）计算：|5|（3）0+6（）+（1）220（8 分）如图，某市A，B 两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路 ADDC CB，这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中 DCAB，AB：AD：CD=10：5：2（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；（2）某人驾车从 A 地出发，沿市区公路去B地，平均速度是 40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路的长21（8 分）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了 5 箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）第5页（共 33页）甲、乙两人射箭成绩统计表第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲成绩94746乙成绩757a7（1）a=，=；（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；（3）观察图，可看出的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中22（8 分）如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 A（1，0），B（3，1），C（3，3）反比例函数 y=（x0）的函数图象经过点D，点 P 是一次函数 y=kx+33k（k0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数y=kx+33k（k0）的图象一定过点C；（3）对于一次函数 y=kx+33k（k0），当 y 随 x 的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围（不必写出过程）第6页（共 33页）23（9 分）如图，点 E是线段 BC的中点，分别以BC为直角顶点的 EAB和EDC均是等腰三角形，且在BC同侧（1）AE和 ED的数量关系为；AE和 ED的位置关系为；（2）在图 1 中，以点 E为位似中心，作 EGF与EAB位似，点 H 是 BC所在直线上的一点，连接GH，HD分别得到图 2 和图 3在图 2 中，点 F在 BE上，EGF与EAB的相似比 1：2，H是 EC的中点求证：GH=HD，GHHD在图 3 中，点 F在的 BE延长线上，EGF与EAB的相似比是 k：1，若 BC=2，请直接写 CH的长为多少时，恰好使 GH=HD且 GHHD（用含 k的代数式表示）24（9 分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在（单位：cm）在 550 之间每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的 浮动价与薄板的边长成正比例在营销过程中得到了表格中的数据薄板的边长（cm）2030出厂价（元/张）5070（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；第7页（共 33页）（2）已知出厂一张边长为40cm 的薄板，获得的利润为26 元（利润=出厂价成本价），求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，）25（10 分）如图，A（5，0），B（3，0），点 C在 y 轴的正半轴上，CBO=45 ，CD ABCDA=90 点 P从点 Q（4，0）出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时时间t 秒（1）求点 C的坐标；（2）当 BCP=15 时，求 t 的值；（3）以点 P为圆心，PC为半径的 P随点 P的运动而变化，当P与四边形 ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值26（12 分）如图 1 和 2，在 ABC中，AB=13，BC=14，cosABC=探究：如图 1，AHBC于点 H，则 AH=，AC=，ABC的面积 SABC=；拓展：如图 2，点 D 在 AC上（可与点 A，C重合），分别过点 A、C作直线 BD的垂线，垂足为 E，F，设 BD=x，AE=m，CF=n（当点 D 与点 A 重合时，我们认为 SABD=0）（1）用含 x，m，n 的代数式表示 SABD及 SCBD；（2）求（m+n）与 x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的 x的取值范围发现：请你确定一条直线，使得A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值第8页（共 33页）第9页（共 33页）2012 年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12 小题，1-6 每小题 2 分，7-12 每小题 2 分，共 30 分）1（2 分）（2012?河北）下列各数中，为负数的是（）A0 B2 C 1 D【分析】根据负数就是正数前面带负号的数即可判断【解答】解：A、既不是正数，也不是负数，故选项错误；B、是负数，故选项正确；C、是正数，故选项错误；D、是正数，故选项错误故选 B【点评】本题主要考查了负数的定义，是基础题2（2 分）（2012?河北）计算（ab）3的结果为（）Aab3Ba3b C a3b3 D3ab【分析】由积的乘方：（ab）n=anbn（n 是正整数），即可求得答案【解答】解：（ab）3=a3b3故选 C【点评】此题考查了积的乘方性质 注意积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘3（2 分）（2012?河北）图中几何体的主视图为（）ABC D第10页（共 33页）【分析】主视图是从正面看所得到的图形，结合所给几何体及选项即可得出答案【解答】解：从正面观察所给几何体，得到的图形如下：故选 A【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项4（2 分）（2012?河北）下列各数中，为不等式组解的是（）A1 B0 C 2 D4【分析】分别求出两个不等式的解集，再找到其公共部分即可【解答】解：，由得，x，由得，x4，不等式组的解集为x4四个选项中在x4 中的只有 2故选：C【点评】本题考查了不等式组的解集和解一元一次不等式，能找到各不等式的解集的公共部分是解题的关键5（2 分）（2012?河北）如图，CD是O 的直径，AB 是弦（不是直径），ABCD于点 E，则下列结论正确的是（）第11页（共 33页）AAEBE B=CD=AEC DADE CBE【分析】根据垂径定理及相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可【解答】解：CD是O的直径，AB是弦（不是直径），ABCD于点 E，AE=BE，=，故 A、B错误；AEC不是圆心角，DAEC，故 C错误；CEB=AED，DAE=BCE，ADE CBE，故 D正确故选 D【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定，难度不大，是基础题6（2 分）（2012?河北）掷一枚质地均匀的硬币10 次，下列说法正确的是（）A每 2 次必有 1 次正面向上B可能有 5 次正面向上C必有 5 次正面向上D不可能有 10 次正面向上【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，所以掷一枚质地均匀的硬币10 次，可能有 5 次正面向上；故选 B【点评】本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比7（3 分）（2012?河北）如图，点C在AOB的 OB 边上，用尺规作出了CNOA，作图痕迹中，是（）第12页（共 33页）A以点 C为圆心，OD为半径的弧B以点 C为圆心，DM 为半径的弧C以点 E为圆心，OD为半径的弧D以点 E为圆心，DM 为半径的弧【分析】根据同位角相等两直线平行，要想得到 CNOA，只要作出 BCN=AOB即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答【解答】解：根据题意，所作出的是BCN=AOB，根据作一个角等于已知角的作法，是以点 E为圆心，DM 为半径的弧故选 D【点评】本题考查了基本作图，根据题意，判断出题目实质是作一个角等于已知角是解题的关键8（3 分）（2012?河北）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A（x+2）2=3 B（x2）2=3 C （x2）2=5 D（x+2）2=5【分析】方程常数项移到右边，两边加上4 变形后，即可得到结果【解答】解：方程移项得：x2+4x=1，配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3故选 A【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，利用配方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边化为非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解9（3 分）（2012?河北）如图，在平行四边形ABCD中，A=70，将平行四边形折叠，使点 D、C分别落在点 F、E处（点 F、E都在 AB所在的直线上），折痕为MN，则 AMF等于（）第13页（共 33页）A70B40C 30D20【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得 CDMNAB，然后根据平行线的性质，即可求得 DMN=FMN=A=70 ，又由平角的定义，即可求得AMF 的度数【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，根据折叠的性质可得：MNAE，FMN=DMN，ABCD MN，A=70 ，FMN=DMN=A=70 ，AMF=180 DMNFMN=180 70 70=40 故选 B【点评】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质 此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系10（3 分）（2012?河北）化简的结果是（）ABC D2（x+1）【分析】将分式分母因式分解，再将除法转化为乘法进行计算【解答】解：原式=（x1）=，故选：C第14页（共 33页）【点评】本题考查了分式的乘除法，将除法转化为乘法是解题的关键11（3 分）（2012?河北）如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为 a，b（ab），则（ab）等于（）A7 B6 C 5 D4【分析】设重叠部分面积为c，（ab）可理解为（a+c）（b+c），即两个正方形面积的差【解答】解：设重叠部分面积为c，ab=（a+c）（b+c）=169=7，故选 A【点评】本题考查了等积变换，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键12（3 分）（2012?河北）如图，抛物线y1=a（x+2）23 与 y2=（x3）2+1 交于点 A（1，3），过点 A 作 x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C则以下结论：无论 x取何值，y2的值总是正数；a=1；当 x=0时，y2y1=4；2AB=3AC；其中正确结论是（）第15页（共 33页）ABCD【分析】根据与 y2=（x3）2+1 的图象在 x 轴上方即可得出 y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线 y1=a（x+2）23 即可得出 a 的值；由抛物线与 y 轴的交点求出，y2y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与 AC的关系即可【解答】解：抛物线y2=（x3）2+1 开口向上，顶点坐标在x 轴的上方，无论 x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；把 A（1，3）代入，抛物线 y1=a（x+2）23 得，3=a（1+2）23，解得 a=，故本小题错误；由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）23 解析式为 y1=（x+2）23，当x=0 时，y1=（0+2）23=，y2=（03）2+1=，故 y2y1=+=，故本小题错误；物线 y1=a（x+2）23 与 y2=（x3）2+1 交于点 A（1，3），y1的对称轴为 x=2，y2的对称轴为 x=3，B（5，3），C（5，3）AB=6，AC=4，2AB=3AC，故本小题正确故选 D【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键二、填空题（本大题6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13（3 分）（2012?贺州）5 的相反数是5第16页（共 33页）【分析】根据相反数的定义直接求得结果【解答】解：5的相反数是 5故答案为：5【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是 014（3 分）（2012?河北）如图，AB、CD相交于点 O，AC CD于点 C，若BOD=38 ，则A=52【分析】利用对顶角相等得到 AOC的度数，然后利用直角三角形两锐角互余求得角 A 即可【解答】解：BOD=38 ，AOC=38 ，AC CD于点 C，A=90 AOC=90 38=52 故答案为 52【点评】本题考查了直角三角形的性质及对顶角的性质，解题的关键是知道直角三角形两锐角互余15（3 分）（2012?河北）已知 y=x1，则（xy）2+（yx）+1 的值为1【分析】根据已知条件整理得到xy=1，然后整体代入计算即可得解【解答】解：y=x1，xy=1，（xy）2+（yx）+1=12+（1）+1=1第17页（共 33页）故答案为：1【点评】本题考查了代数式求值，注意整体思想的利用使运算更加简便16（3 分）（2012?河北）在 12的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其它格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是【分析】首先根据题意可得第三枚棋子有A，B，C，D共 4 个位置可以选择，而以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的位置是B，C，D，然后利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：如图，第三枚棋子有A，B，C，D 共 4 个位置可以选择，而以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的位置是B，C，D，故以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是：故答案为：【点评】此题考查了概率公式与直角三角形的定义此题难度不大，注意概率=所求情况数与总情况数之比17（3分）（2012?河北）某数学活动小组的20名同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位开始，每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1，第一同学报（+1），第二位同学报（+1），第三位同学报（+1），这样得到的20 个数的积为21【分析】根据已知得出数字变化规律，即可得出这样20 个数据，进而得出这样20 个数的积分子与分母正好能约分，最后剩下21，即可得出答案第18页（共 33页）【解答】解：第一同学报（+1），第二位同学报（+1），第三位同学报（+1），这样 20 个数据分别为：（+1）=2，（+1）=，（+1）=（+1）=，（+1）=，故这样得到的 20 个数的积为：2=21，故答案为：21【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出20 个数据，进而得出 20个数的积是解题关键18（3 分）（2012?河北）用 4 个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用 n 个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n 的值为6【分析】根据正六边形的一个内角为120，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数【解答】解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240，故如果要密铺，则需要一个内角为120 的正多边形，而正六边形的内角为120，故答案为：6【点评】此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度三、解答题（本大题8 小题，共 72 分）19（8 分）（2012?河北）计算：|5|（3）0+6（）+（1）2【分析】分别运算绝对值、零指数幂、及有理数的混合运算，最后合并即可得出第19页（共 33页）答案【解答】解：原式=51+（23）+1=4【点评】此题考查了实数的运算及有理数的混合运算，注意掌握零指数幂的运算及有理数的混合运算法则，一定要细心解答20（8 分）（2012?河北）如图，某市 A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路 AB，另一条是外环公路ADDCCB，这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC AB，AB：AD：CD=10：5：2（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；（2）某人驾车从 A 地出发，沿市区公路去B地，平均速度是 40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路的长【分析】（1）首先根据 AB：AD：CD=10：5：2 设 AB=10 xkm，则 AD=5xkm，CD=2xkm，再根据等腰梯形的腰相等可得BC=AD=5xkm，再表示出外环的总长，然后求比值即可；（2）根据题意可得等量关系：在外环公路上行驶所用时间+h=在市区公路上行驶所用时间，根据等量关系列出方程，解方程即可【解答】解：（1）设 AB=10 xkm，则 AD=5xkm，CD=2xkm，四边形 ABCD是等腰梯形，BC=AD=5xkm，AD+CD+CB=12xkm，外环公路的总长和市区公路长的比为12x：10 x=6：5；（2）由（1）可知，市区公路的长为10 xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意得：第20页（共 33页）=+解这个方程得 x=110 x=10，答：市区公路的长为10km【点评】此题主要考查了等腰梯形的性质，以及一元一次方程的应用，关键是理解题意，表示出外环公路与市区公路的长，此题用到的公式是：时间=路程速度21（8 分）（2012?河北）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了 5 箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）甲、乙两人射箭成绩统计表第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲成绩94746乙成绩757a7（1）a=4，=6；（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；（3）观察图，可看出乙的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中【分析】（1）根据他们的总成绩相同，得出 a=307757=4，进而得出=30第21页（共 33页）5=6；（2）根据（1）中所求得出 a 的值进而得出折线图即可；（3）观察图，即可得出乙的成绩比较稳定；因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中【解答】解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6=30，则 a=307757=4，=305=6，故答案为：4，6；（2）如图所示：；（3）观察图，可看出乙的成绩比较稳定，故答案为：乙；=（76）2+（56）2+（76）2+（46）2+（76）2=1.6由于，所以上述判断正确因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中【点评】此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a 的值进而利用方差的意义比较稳定性即可第22页（共 33页）22（8 分）（2012?河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）反比例函数 y=（x0）的函数图象经过点D，点 P是一次函数 y=kx+33k（k0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数y=kx+33k（k0）的图象一定过点C；（3）对于一次函数 y=kx+33k（k0），当 y 随 x 的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围（不必写出过程）【分析】（1）由 B（3，1），C（3，3）得到 BC x 轴，BC=2，根据平行四边形的性质得 AD=BC=2，而 A 点坐标为（1，0），可得到点 D 的坐标为（1，2），然后把 D（1，2）代入 y=即可得到 m=2，从而可确定反比例函数的解析式；（2）把 x=3 代入 y=kx+33k（k0）得到 y=3，即可说明一次函数y=kx+33k（k0）的图象一定过点C；（3）设点 P 的横坐标为 a，由于一次函数y=kx+33k（k0）过 C点，并且 y随 x 的增大而增大时，则P点的纵坐标要小于3，横坐标要小于 3，当纵坐标小于 3 时，由 y=得到 a，于是得到 a 的取值范围【解答】解：（1）四边形 ABCD是平行四边形，AD=BC，B（3，1），C（3，3），BC x 轴，AD=BC=2，而 A 点坐标为（1，0），点 D 的坐标为（1，2）第23页（共 33页）反比例函数 y=（x0）的函数图象经过点D（1，2），2=m=2，反比例函数的解析式为y=；（2）当 x=3时，y=kx+33k=3k+33k=3，一次函数 y=kx+33k（k0）的图象一定过点C；（3）设点 P的横坐标为 a，则 a 的范围为a3【点评】本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；利用平行四边形的性质确定点的坐标；掌握一次函数的增减性23（9 分）（2012?河北）如图，点 E是线段 BC的中点，分别以 BC为直角顶点的EAB和EDC均是等腰三角形，且在BC同侧（1）AE和 ED的数量关系为AE=ED；AE和 ED的位置关系为AEED；（2）在图 1 中，以点 E为位似中心，作 EGF与EAB位似，点 H 是 BC所在直线上的一点，连接GH，HD分别得到图 2 和图 3在图 2 中，点 F在 BE上，EGF与EAB的相似比 1：2，H是 EC的中点求证：GH=HD，GHHD在图 3 中，点 F在的 BE延长线上，EGF与EAB的相似比是 k：1，若 BC=2，请直接写 CH的长为多少时，恰好使 GH=HD且 GHHD（用含 k的代数式表示）【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出ABE DCE，进而得出 AE=ED，第24页（共 33页）AEED；（2）根据 EGF与EAB的相似比 1：2，得出 EH=HC=EC，进而得出 HGFDHC，即可求出 GH=HD，GHHD；根据恰好使 GH=HD且 GHHD时，得出 GFH HCD，进而得出 CH的长【解答】解：（1）点 E是线段 BC的中点，分别 BC以为直角顶点的 EAB和EDC均是等腰三角形，BE=EC=DC=AB，B=C=90 ，ABE DCE，AE=DE，AEB=DEC=45 ，AED=90 ，AE ED故答案为：AE=ED，AE ED；（2）由题意，B=C=90 ，AB=BE=EC=DC，EGF与EAB的相似比 1：2，GFE=B=90 ，GF=AB，EF=EB，GFE=C，EH=HC=EC，GF=HC，FH=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD，HGF DHC GH=HD，GHF=HDC HDC+DHC=90 GHF+DHC=90 GHD=90GH HD根据题意得出：当GH=HD，GHHD时，第25页（共 33页）FHG+DHC=90 ，FHG+FGH=90 ，FGH=DHC，GFH HCD，CH=FG，EF=FG，EF=CH，EGF与EAB的相似比是 k：1，BC=2，BE=EC=1，EF=k，CH的长为 k【点评】此题主要考查了位似图形的性质和全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质得出对应角与对应边之间的关系是解题关键24（9 分）（2012?河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在（单位：cm）在 550 之间每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的浮动价与薄板的边长成正比例在营销过程中得到了表格中的数据薄板的边长（cm）2030出厂价（元/张）5070（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm 的薄板，获得的利润为26 元（利润=出厂价成本价），求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，）第26页（共 33页）【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；（2）首先假设一张薄板的利润为p 元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=ymx2，进而得出 m 的值，求出函数解析式即可；利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可【解答】解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为 y 元，基础价为 n 元，浮动价为 kx元，则 y=kx+n由表格中的数据，得，解得，所以 y=2x+10；（2）设一张薄板的利润为p 元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=ymx2=2x+10mx2，将 x=40，p=26代入 p=2x+10mx2中，得 26=240+10m402解得 m=所以 p=x2+2x+10因为 a=0，所以，当 x=25（在 550 之间）时，p最大值=35即出厂一张边长为25cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是35 元【点评】本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法25（10 分）（2012?河北）如图，A（5，0），B（3，0），点 C在 y 轴的正半轴上，CBO=45 ，CD ABCDA=90 点 P 从点 Q（4，0）出发，沿 x 轴向第27页（共 33页）左以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时时间t 秒（1）求点 C的坐标；（2）当 BCP=15 时，求 t 的值；（3）以点 P为圆心，PC为半径的 P随点 P的运动而变化，当P与四边形 ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值【分析】（1）由 CBO=45 ，BOC为直角，得到 BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知 OC=OB=3，然后由点 C在 y 轴的正半轴可以确定点 C的坐标；（2）需要对点 P的位置进行分类讨论：当点P在点 B 右侧时，如图 2 所示，由BCO=45 ，用 BCO BCP求出 PCO为 30，又 OC=3，在 RtPOC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由 PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1 个单位/秒，即可求出此时的时间t；当点 P在点 B左侧时，如图 3 所示，用 BCO+BCP求出 PCO为 60，又 OC=3，在 RtPOC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由 PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1 个单位/秒，即可求出此时的时间t；（3）当 P与四边形 ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：当 P与 BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于 CP，可得出 BCP=90 ，由BCO=45 ，得到 OCP=45 ，即此时 COP为等腰直角三角形，可得出 OP=OC，由 OC=3，得到 OP=3，用 OQOP求出 P运动的路程，即可得出此时的时间t；当 P与 CD相切于点 C时，P 与 O 重合，可得出 P 运动的路程为 OQ的长，求出此时的时间 t；当 P 与 AD 相切时，利用切线的性质得到DAO=90 ，得到此时 A 为切点，由 PC=PA，且 PA=9 t，PO=t4，在 RtOCP中，利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解得到此时的时间t第28页（共 33页）综上，得到所有满足题意的时间t 的值【解答】解：（1）BCO=CBO=45 ，OC=OB=3，又点 C在 y 轴的正半轴上，点 C的坐标为（0，3）；（2）分两种情况考虑：当点 P在点 B 右侧时，如图 2，若BCP=15 ，得 PCO=30 ，故 PO=CO?tan30=，此时 t=4+；当点 P在点 B 左侧时，如图 3，由BCP=15 ，得 PCO=60 ，故 OP=COtan60 =3，此时，t=4+3，t 的值为 4+或 4+3；（3）由题意知，若 P与四边形 ABCD的边相切时，有以下三种情况：当 P与 BC相切于点 C时，有 BCP=90 ，从而 OCP=45，得到 OP=3，此时 t=1；当 P与 CD相切于点 C时，有 PC CD，即点 P与点 O重合，此时 t=4；第29页（共 33页）当 P与 AD相切时，由题意，得 DAO=90 ，点 A 为切点，如图 4，PC2=PA2=（9t）2，PO2=（t4）2，于是（9t）2=（t4）2+32，即 8118t+t2=t28t+16+9，解得：t=5.6，t 的值为 1 或 4 或 5.6第30页（共 33页）【点评】此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键26（12 分）（2012?河北）如图 1 和 2，在ABC中，AB=13，BC=14，cosABC=探究：如图 1，AHBC于点 H，则 AH=12，AC=15，ABC的面积 SABC=84；拓展：如图 2，点 D 在 AC上（可与点 A，C重合），分别过点 A、C作直线 BD的垂线，垂足为 E，F，设 BD=x，AE=m，CF=n（当点 D 与点 A 重合时，我们认为 SABD=0）（1）用含 x，m，n 的代数式表示 SABD及 SCBD；（2）求（m+n）与 x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的 x的取值范围发现：请你确定一条直线，使得A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值【分析】探究：先在直角 ABH中，由 AB=13，cosABC=，可得 AH=12，BH=5，则 CH=9，再解直角 ACH，即可求出 AC的值，最后根据三角形的面积公式即可第31页（共 33页）求出 SABC的值；拓展：（1）由三角形的面积公式即可求解；（2）首先由（1）可得 m=，n=，再根据 SABD+SCBD=SABC=84，即可求出（m+n）与 x 的函数关系式，然后由点D 在 AC上（可与点 A，C重合），可知 x 的最小值为 AC边上的高，最大值为BC的长；（3）由于 BCBA，所以当以 B为圆心，以大于且小于 13 为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意，故根据点D 的唯一性，分两种情况：当BD 为ABC的边 AC上的高时，D点符合题意；当ABBDBC时，D点符合题意；发现：由于 ACBC AB，所以使得 A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是 AC所在的直线【解答】解：探究：在直角ABH中，AHB=90 ，AB=13，cosABC=，BH=AB?cos ABC=5，AH=12，CH=BC BH=9 在ACH中，AHC=90 ，AH=12，CH=9，AC=15，SABC=BC?AH=1412=84故答案为 12，15，84；拓展（1）由三角形的面积公式，得 SABD=BD?AE=xm，SCBD=BD?CF=xn；（2）由（1）得 m=，n=，m+n=+=，AC边上的高为=，x 的取值范围是x14（m+n）随 x 的增大而减小，当 x=时，（m+n）的最大值为 15；当 x=14时，（m+n）的最小值为 12；第32页（共 33页）（3）x的取值范围是 x=或 13x14发现：AC BCAB，过 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC 所在的直线，AC边上的高的长为【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度第33页（共 33页）