2017年北京市中考数学试卷及答案解析.pdf

第1页（共 23页）2017 年北京市中考数学试卷及答案解析一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）1如图所示，点P 到直线 l 的距离是（）A线段 PA 的长度B线段 PB 的长度C线段 PC 的长度D线段 PD 的长度解：由题意，得点 P 到直线 l 的距离是线段PB 的长度，故选：B2若代数式?-4有意义，则实数x 的取值范围是（）Ax0Bx4Cx0Dx4解：由代数式有意义可知：x40，x 4，故选：D3如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A三棱柱B圆锥C四棱柱D圆柱解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱故选：A4实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）Aa 4Bbd0C|a|d|Db+c0解：由数轴上点的位置，得第2页（共 23页）a 4b0c1dA、a 4，故 A 不符合题意；B、bd0，故 B 不符合题意；C、|a|4|d|，故 C 符合题意；D、b+c 0，故 D 不符合题意；故选：C5下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）ABCD解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误故选：A6若正多边形的一个内角是150，则该正多边形的边数是（）A6B12C16D18解：设多边形为n 边形，由题意，得（n2）?180 150n，解得 n12，故选：B7如果 a2+2a 10，那么代数式（a-4?）?2?-2的值是（）A 3B 1C1D3解：（a-4?）?2?-2=?2-4?2?-2第3页（共 23页）=(?+2)(?-2)?2?-2a（a+2）a2+2a，a2+2a1 0，a2+2a1，原式 1，故选：C8下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况20112016 年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图（以上数据摘自“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）A与 2015 年相比，2016 年我国与东欧地区的贸易额有所增长B20112016 年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C20112016 年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200 亿美元D2016 年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3 倍还多解：A、由折线统计图可得：与 2015 年相比，2016 年我国与东欧地区的贸易额有所增长，正确，不合题意；B、由折线统计图可得：2011 2014 年，我国与东南亚地区的贸易额2014 年后有所下降，故逐年增长错误，故此选项错误，符合题意；C、20112016 年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值为：（3632.5+4003.0+4436.5+4803.6+4718.7+4554.4）64358，第4页（共 23页）故超过 4200 亿美元，正确，不合题意，D、4554.41368.23.33，2016 年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3 倍还多，故选：B9小苏和小林在如图1 所示的跑道上进行450 米折返跑在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图2 所示下列叙述正确的是（）A两人从起跑线同时出发，同时到达终点B小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C小苏前 15s跑过的路程大于小林前15s 跑过的路程D小林在跑最后100m 的过程中，与小苏相遇2 次解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=路程时间，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故 B 错误；第5页（共 23页）根据图象小苏前15s 跑过的路程小于小林前15s 跑过的路程，故C 错误；小林在跑最后100m 的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知2次，故 D 正确；故选：D10如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果下面有三个推断：当投掷次数是500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 0.616；随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000 时，“钉尖向上”的频率一定是0.620其中合理的是（）ABCD解：当投掷次数是500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：3085000.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故 错误，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618故 正确，若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000 时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故 错误，故选：B二、填空题（本题共18 分，每题3 分）11写出一个比3 大且比 4 小的无理数：解：写出一个比3 大且比 4 小的无理数：，故答案为：第6页（共 23页）12某活动小组购买了4 个篮球和5个足球，一共花费了435 元，其中篮球的单价比足球的单价多 3 元，求篮球的单价和足球的单价设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为?-?=34?+5?=435解：设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，由题意得：?-?=34?+5?=435，故答案为：?-?=34?+5?=43513 如图，在 ABC 中，M、N 分别为 AC，BC 的中点若 SCMN1，则 S四边形ABNM3解：M，N 分别是边AC，BC 的中点，MN 是 ABC 的中位线，MNAB，且 MN=12AB，CMN CAB，?=（?）2=14，?四边形?=13，S四边形ABNM3SCMN313故答案为：314如图，AB 为O 的直径，C、D 为O 上的点，?=?若 CAB40，则 CAD25解：如图，连接BC，BD，第7页（共 23页）AB 为O 的直径，ACB90，CAB40，ABC50，?=?，ABD CBD=12ABC25，CAD CBD25故答案为：2515如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB 可以看作是OCD 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由OCD 得到 AOB 的过程：OCD 绕 C 点顺时针旋转90，并向左平移2 个单位得到 AOB解：OCD 绕 C 点顺时针旋转90，并向左平移2 个单位得到 AOB（答案不唯一）故答案为：OCD 绕 C 点顺时针旋转90，并向左平移2个单位得到AOB16下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：RtABC，C90，求作RtABC 的外接圆作法：如图2（1）分别以点A 和点 B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q 两点；第8页（共 23页）（2）作直线 PQ，交 AB 于点 O；（3）以 O 为圆心，OA 为半径作 OO 即为所求作的圆请回答：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；90的圆周角所对的弦是直径；圆的定义等解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90的圆周角所对的弦是直径故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；90的圆周角所对的弦是直径；圆的定义三、解答题（本题共72 分，第 17 题-26 题，每小题5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第29 题 8 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（5 分）计算：4cos30+（1-2）0-12+|2|解：原式 432+12 3+22 3-2 3+3318（5 分）解不等式组：2(?+1)5?-7?+1032?解：2(?+1)5?-7?+1032?，由 式得 x 3；由 式得 x 2，所以不等式组的解为x219（5 分）如图，在ABC 中，ABAC，A36，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D求证：ADBC第9页（共 23页）证明：ABAC，A 36，ABC C72，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D，ABD DBC36，A ABD，AD BD，C72，BDC 72，C BDC，BC BD，AD BC20（5 分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证（以上材料来源于古证复原的原理、吴文俊与中国数学和古代世界数学泰斗刘徽）请根据该图完成这个推论的证明过程证明：S矩形NFGDSADC（SANF+SFGC），S矩形EBMFSABC（SAEF+SFCM）易知，SADCSABC，SANFSAEF，SFGCSFMC可得 S矩形NFGDS矩形EBMF第10页（共 23页）证明：S矩形NFGDSADC（SANF+SFGC），S矩形EBMFSABC（SAEF+SFCM）易知，SADCSABC，SANFSAEF，SFGC SFMC，可得 S矩形NFGDS矩形EBMF故答案分别为SAEF，SFCM，SANF，SAEF，SFGC，SFMC21（5 分）关于x 的一元二次方程x2（k+3）x+2k+20（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求 k 的取值范围（1）证明：在方程x2（k+3）x+2k+2 0 中，（k+3）2 41（2k+2）k22k+1（k1）20，方程总有两个实数根（2）解：x2（k+3）x+2k+2（x 2）（x k1）0，x12，x2k+1方程有一根小于1，k+11，解得：k 0，k 的取值范围为k 022（5 分）如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，ADBC，AD2BC，ABD 90，E 为 AD 的中点，连接BE（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接 AC，若 AC 平分 BAD，BC1，求 AC 的长第11页（共 23页）（1）证明：AD 2BC，E 为 AD 的中点，DE BC，AD BC，四边形BCDE 是平行四边形，ABD90，AEDE，BEDE，四边形BCDE 是菱形（2）解：连接ACAD BC，AC 平分 BAD，BAC DAC BCA，ABBC1，AD 2BC2，sinADB=12，ADB30，DAC 30，ADC 60，在 RtACD 中，AD2，CD1，AC=323（5 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y=?（x0）的图象与直线yx 2 交于点 A（3，m）（1）求 k、m 的值；（2）已知点 P（n，n）（n0），过点 P 作平行于x 轴的直线，交直线yx 2 于点 M，过点 P 作平行于y 轴的直线，交函数y=?（x 0）的图象于点N第12页（共 23页）当 n1 时，判断线段PM 与 PN 的数量关系，并说明理由；若 PNPM，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围解：（1）将 A（3，m）代入 yx2，m3 21，A（3，1），将 A（3，1）代入 y=?，k 313，（2）当 n1 时，P（1，1），令 y1，代入 yx2，x21，x 3，M（3，1），PM2，令 x1 代入 y=3?，y 3，N（1，3），PN 2PMPN，P（n，n），n0点 P 在直线 y x 上，过点 P 作平行于x 轴的直线，交直线yx2 于点 M，第13页（共 23页）M（n+2，n），PM2，PN PM，即 PN2，PN|3?-n|，|3?-?|20n1 或 n324（5 分）如图，AB 是 O 的一条弦，E 是 AB 的中点，过点E 作 ECOA 于点 C，过点B 作O 的切线交CE 的延长线于点D（1）求证：DBDE；（2）若 AB12，BD5，求 O 的半径（1）证明：AOOB，OAB OBA，BD 是切线，OB BD，OBD 90，第14页（共 23页）OBE+EBD90，EC OA，CAE+CEA90，CEA DEB，EBD BED，DB DE（2）作 DF AB 于 F，连接 OEDB DE，AEEB6，EF=12BE3，OEAB，在 RtEDF 中，DEBD 5，EF3，DF=52-32=4，AOE+A90，DEF+A90，AOE DEF，sinDEF sinAOE=?=45，AE6，AO=152O 的半径为15225（5 分）某工厂甲、乙两个部门各有员工400 人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20 名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：第15页（共 23页）甲78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77乙93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩 x人数部门40 x4950 x5960 x 6970 x7980 x8990 x100甲0011171乙1007102（说明：成绩80 分及以上为生产技能优秀，70 79 分为生产技能良好，60 69 分为生产技能合格，60 分以下为生产技能不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：部门平均数中位数众数甲78.377.575乙7880.581得出结论：a估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240；b可以推断出甲或乙部门员工的生产技能水平较高，理由为 甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高或 乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）解：填表如下：成绩 x40 x4950 x5960 x 6970 x7980 x8990 x第16页（共 23页）人数部门100甲0011171乙1007102 a.1220 400240（人）故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240；b答案不唯一，理由合理即可可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为：乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高故答案为：1，0，0，7，10，2；240；甲或乙，甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高；或 乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高26（5 分）如图，P 是?所对弦 AB 上一动点，过点 P 作 PMAB 交?于点 M，连接 MB，过点 P 作 PNMB 于点 N已知 AB6cm，设 A、P 两点间的距离为xcm，P、N 两点间的距离为ycm（当点 P 与点 A 或点 B 重合时，y 的值为 0）第17页（共 23页）小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与 y 的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm02.02.32.11.60.90（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象（3）结合画出的函数图象，解决问题：当PAN 为等腰三角形时，AP 的长度约为2.2cm解：（1）通过取点、画图、测量可得x4 时，y1.6cm，故答案为1.6（2）利用描点法，图象如图所示（3）当 PAN 为等腰三角形时，APN90，只有 PAPN 一种情形，即x y，作出直线yx 与图象的交点坐标为（2.2，2.2），PAN 为等腰三角形时，PA2.2cm第18页（共 23页）故答案为2.227（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y x2 4x+3 与 x 轴交于点A、B（点 A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点C（1）求直线 BC 的表达式；（2）垂直于 y 轴的直线l 与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线 BC 交于点 N（x3，y3），若 x1x2x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围解：（1）由 y x2 4x+3 得到：y（x3）（x1），C（0，3）所以 A（1，0），B（3，0），设直线 BC 的表达式为：ykx+b（k0），则?=33?+?=0，解得?=-1?=3，所以直线BC 的表达式为y x+3；（2）由 yx24x+3 得到：y（x2）2 1，所以抛物线y x2 4x+3 的对称轴是直线x2，顶点坐标是（2，1）y1y2，x1+x24令 y 1，y x+3，x4x1x2x3，3x34，即 7 x1+x2+x38第19页（共 23页）28（7 分）在等腰直角ABC 中，ACB90，P 是线段 BC 上一动点（与点B、C 不重合），连接 AP，延长 BC 至点 Q，使得 CQCP，过点 Q 作 QHAP 于点 H，交 AB 于点M（1）若 PAC，求 AMQ 的大小（用含的式子表示）（2）用等式表示线段MB 与 PQ 之间的数量关系，并证明解：（1）AMQ45+；理由如下：PAC，ACB 是等腰直角三角形，BAC B45，PAB45 ，QHAP，AHM 90，AMQ180 AHM PAB45+；（2）PQ=2MB；理由如下：连接 AQ，作 MEQB，如图所示：AC QP，CQCP，QAC P AC，QAM45+AMQ，APAQQM，第20页（共 23页）在 APC 和 QME 中，?=?=?=?，APC QME（AAS），PC ME，MEB 是等腰直角三角形，12PQ=22MB，PQ=2MB方法二：也可以延长AC 到 D，使得 CDCQ则易证 ADP QBMBMPD=2CD=2QC=22PQ，即 PQ=2MB29（8 分）在平面直角坐标系xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点 Q，使得 P、Q 两点间的距离小于或等于1，则称 P 为图形 M 的关联点（1）当 O 的半径为2 时，在点 P1（12，0），P2（12，32），P3（52，0）中，O 的关联点是P2，P3 点 P 在直线 y x 上，若 P 为O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围（2）C 的圆心在x轴上，半径为2，直线 y x+1 与 x 轴、y 轴交于点A、B若线段AB 上的所有点都是 C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围解：（1）点 P1（12，0），P2（12，32），P3（52，0），OP1=12，OP21，OP3=52，第21页（共 23页）P1与 O 的最小距离为32，P2与O 的最小距离为1，OP3与O 的最小距离为12，O，O 的关联点是P2，P3；故答案为：P2，P3；根据定义分析，可得当最小y x 上的点 P 到原点的距离在1 到 3 之间时符合题意，设 P（x，x），当 OP1 时，由距离公式得，OP=(?-0)2+(-?-0)2=1，x=22，当 OP3 时，OP=(?-0)2+(-?-0)2=3，解得：x3 22；点 P 的横坐标的取值范围为：-322x-22，或 22x322；（2）直线 y x+1 与 x 轴、y 轴交于点 A、B，A（1，0），B（0，1），如图 1，当圆过点A 时，此时，CA3，C（2，0），如图 2，第22页（共 23页）当直线 AB 与小圆相切时，切点为D，CD1，直线 AB 的解析式为y x+1，直线 AB 与 x 轴的夹角 45，AC=2，C（1-2，0），圆心 C 的横坐标的取值范围为：2xC1-2；如图 3，当圆过点O，则 AC1，C（2，0），如图 4，第23页（共 23页）当圆过点B，连接 BC，此时，BC3，OC=32-1=2 2，C（2 2，0）圆心 C 的横坐标的取值范围为：2xC2 2；综上所述；圆心C 的横坐标的取值范围为：2xC1-2或 2xC2 2