2019-2020学年四川省成都市郫都区高一下学期期末数学试卷(文科)(解析版).pdf

2019-2020 学年四川省成都市郫都区高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1cos2sin2（）A1BCD2已知等比数列an中，a3a114a7，数列 bn是等差数列，且 b7a7，则 b5+b9等于（）A2B4C8D163若 ab0，则下列不等式中不成立的是（）ABa3b3CDa2b24已知各项均不相等的等比数列an，若 3a2，2a3，a4成等差数列，设Sn为数列 an的前 n项和，则等于（）ABC3D15在 ABC 中，若 B、C 的对边边长分别为b、c，B45，c2，b，则 C 等于（）A30B60C120D60或 1206若，则 tan2（）ABCD7 ABC 的三内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足，则 ABC 的形状是（）A正三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形8已知 sin（+x），则 sin2x 的值为（）ABCD9已知，则 tan?tan 的值为（）ABCD10在 R 上定义运算：xyx（1y）若不等式（xa）（x+a）1 对任意实数x成立，则（）A 1 a1B0a2CD11在正方体ABCD A1B1C1D1中，E 是棱 A1B1的中点，则 A1B 与 D1E 所成角的余弦值为（）ABCD12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2B4CD12二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13若 x1，则 x+的最小值是14若，则（1+tan ）?（1+tan ）15如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40 米的楼 AB 的底部 A 处和楼顶B 处分别测得仰角 60，30，若山坡高为32 米，则灯塔高度是米16设 a1，a2，a50是从 1，0，1 这三个整数中取值的数列，若a1+a2+a509，且（a1+1）2+（a2+1）2+（a50+1）2107，则 a1，a2，a50中数字 0 的个数为三、解答题（本大题共6 小题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17求下列各式的值：（1）；（2）若 x，求（sinx+cosx）2+2cos2x 的值18在等比数列an中，a1+a26，a2+a312（）求数列an的通项公式；（）设bn是等差数列，且 b2a2，b4a4 求数列 bn的公差，并计算 b1b2+b3b4+b100的值19已知 ，为锐角，tan，cos（+）（1）求 cos2的值；（2）求 tan（）的值20已知数列 an的前 n 项和为 Sn，点（n，Sn）（n N*）均在二次函数f（x）3x2 2x的图象上（1）求数列 an的通项公式；（2）设 bn，求数列 bn的前 n 项和 Tn21如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D 为 AC 中点，ABBC，A1DAC1求证：（1）B1C平面 A1BD；（2）平面 A1BD 平面 AB1C122如图，在ABC 中，B30，AC2，D 是边 AB 上一点（1）求 ABC 的面积的最大值；（2）若 CD2，ACD 的面积为4，ACD 为锐角，求BC 的长参考答案一.选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1cos2sin2（）A1BCD【分析】利用二倍角公式以及特殊角的三角函数求值即可解：cos故选：C2已知等比数列an中，a3a114a7，数列 bn是等差数列，且 b7a7，则 b5+b9等于（）A2B4C8D16【分析】利用等比数列求出a7，然后利用等差数列的性质求解即可解：等比数列an中，a3a114a7，可得 a724a7，解得 a74，且 b7 a7，b74，数列 bn是等差数列，则b5+b92b78故选：C3若 ab0，则下列不等式中不成立的是（）ABa3b3CDa2b2【分析】根据条件，取a 2，b 1，可知 C 不成立解：根据ab0，取 a 2，b 1，则可知C 不成立故选：C4已知各项均不相等的等比数列an，若 3a2，2a3，a4成等差数列，设Sn为数列 an的前 n项和，则等于（）ABC3D1【分析】设等比数列an的公比为q，q1，由3a2，2a3，a4成等差数列，可得22a33a2+a4，由等比数列的通项公式解得q，利用通项公式与求和公式即可得出解：设等比数列an的公比为q，q1，3a2，2a3，a4成等差数列，22a33a2+a4，4a2q3a2+a2q2，化为 q24q+30，解得 q1（舍去）或q3q 3 时，则故选：A5在 ABC 中，若 B、C 的对边边长分别为b、c，B45，c2，b，则 C 等于（）A30B60C120D60或 120【分析】由B 的度数求出sinB 的值，再由b 及 c 的值，利用正弦定理求出sinC 的值，根据 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角C 的度数解：由 B45，c 2，b，根据正弦定理得：sinC，又 C 为三角形的内角，且cb，可得 CB45，即 45 C180，则 C60或 120故选：D6若，则 tan2（）ABCD【分析】将已知等式左边的分子分母同时除以cos，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于tan 的方程，求出方程的解得到tan的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tan的值代入即可求出值解：，tan 3，则 tan2 故选：B7 ABC 的三内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足，则 ABC 的形状是（）A正三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】利用正弦定理?，再结合已知可求得，从而可得sin2Asin2B，可判断 ABC 的形状解：ABC 中，由正弦定理得：，又，sin2Asin2B，AB 或 2A 2B，即 AB 或 A+B，ABC 为等腰三角形或直角三角形故选：D8已知 sin（+x），则 sin2x 的值为（）ABCD【分析】根据 sin2x cos（2x+）12，把 sin（+x）代入，运算求得结果解：sin（+x），sin2x cos（2x+）122121，故选：B9已知，则 tan?tan 的值为（）ABCD【分析】由已知结合和差角的余弦公式及同角基本关系即可求解解：因为，所以 cos cos sin sin，cos cos+sin sin，解可得，cos cos，sin sin，则 tan?tan 故选：C10在 R 上定义运算：xyx（1y）若不等式（xa）（x+a）1 对任意实数x成立，则（）A 1 a1B0a2CD【分析】此题新定义运算：x yx（1y），由题意（xa）（x+a）（xa）（1xa），再根据（x a）（x+a）1，列出不等式，然后把不等式解出来解：（xa）（x+a）1（xa）（1xa）1，即 x2xa2+a+1 0任意实数x 成立，故 14（a2+a+1）0，故选：C11在正方体ABCD A1B1C1D1中，E 是棱 A1B1的中点，则 A1B 与 D1E 所成角的余弦值为（）ABCD【分析】在正方体、长方体中往往可以建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题解：如图，以D 为坐标系原点，AB 为单位长，DA，DC，DD1分别为 x，y，z 轴建立坐标系，易见，所以，故选：B12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2B4CD12【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积解：根据几何体的三视图转换为直观图为三棱柱ABC DEF切去一个三棱锥体CDEF 如图所示：所以：V4故选：B二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13若 x1，则 x+的最小值是3【分析】x+x1+1，利用基本不等式可求函数的最值解：x1，x+x1+1+13，当且仅当x1即 x2 时取等号，x2时 x+取得最小值3，故答案为：314若，则（1+tan ）?（1+tan ）2【分析】先求出tan（+）1，把所求的式子展开，把tan +tan 换成 tan（+）（1tan?tan ），运算求出结果解：，tan（+）1（1+tan ）?（1+tan ）1+tan +tan+tan?tan 1+tan（+）（1 tan?tan）+tan?tan1+1+tan?tan tan?tan 2，故答案为215如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40 米的楼 AB 的底部 A 处和楼顶B 处分别测得仰角 60，30，若山坡高为32 米，则灯塔高度是28米【分析】根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出灯塔高度解：如图所示，ABD 中，AB 40，ABD 90+120，BAD 90 30，所以 ADB 30，所以AD2402+40224040cos120 4800，AD 40；Rt ADE 中，DAE 60，所以DE ADsin60 4060，又山坡高为CE 32 米，所以灯塔高度是603228（米）故答案为：2816设 a1，a2，a50是从 1，0，1 这三个整数中取值的数列，若a1+a2+a509，且（a1+1）2+（a2+1）2+（a50+1）2107，则 a1，a2，a50中数字 0 的个数为11【分析】根据题中已知条件先求出a12+a22+a502的值为 39，便可知 1 和 1 的总个数是 39，则 0 的个数为11解：由（a1+1）2+（a2+1）2+（a50+1）2107 得a12+a22+a502+2（a1+a2+a50）+50107，即：a12+a22+a502107 502939由此式可知：0 的个数为 111 和 1 的总个数是39设 1 的个数为x，1 的个数为y则有：x+y39 且 yx9可知：x15，y24，故：a1，a2，a50中有 0 的个数为11，1 的个数为24，1 的个数为15，故答案为11三、解答题（本大题共6 小题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17求下列各式的值：（1）；（2）若 x，求（sinx+cosx）2+2cos2x 的值【分析】（1）先进行通分，然后结合二倍角及辅助角公式进行化简即可求解；（2）展开后结合二倍角公式进行化简，代入即可求解解：（1）4，（2）若 x，则（sinx+cosx）2+2cos2x1+sin2x+cos2x+1 2+sin 218在等比数列an中，a1+a26，a2+a312（）求数列an的通项公式；（）设bn是等差数列，且 b2a2，b4a4 求数列 bn的公差，并计算 b1b2+b3b4+b100的值【分析】（）由等比数列的通项公式可得，a1（1+q）6，a1q（1+q）12，解方程可求 a1，进而可求通项（）结合等差数列的通项公式可得，b1+d4，b1+3d16，解方程求出b1，d，然后利用分组求和即可解：（）设等比数列an的公比为q，由已知，a1（1+q）6，a1q（1+q）12 两式相除，得q2所以 a1 2，所以数列 an的通项公（）设等差数列bn的公差为d，则 b1+d 4，b1+3d16解得 b1 2，d6b1b2+b3 b4+b100的（b1b2）+（b3b4）+（b99b100）50d 30019已知 ，为锐角，tan，cos（+）（1）求 cos2的值；（2）求 tan（）的值【分析】（1）由已知结合平方关系求得sin，cos的值，再由倍角公式得cos2的值；（2）由（1）求得 tan2，再由 cos（+）求得 tan（+），利用tan（）tan2 （+），展开两角差的正切求解解：（1）由，解得，cos2；（2）由（1）得，sin2，则 tan2 ，（0，），+（0，），sin（+）则 tan（+）tan（）tan2 （+）20已知数列 an的前 n 项和为 Sn，点（n，Sn）（n N*）均在二次函数f（x）3x2 2x的图象上（1）求数列 an的通项公式；（2）设 bn，求数列 bn的前 n 项和 Tn【分析】（1）推导出Sn3n22n，由此能求出数列an的通项公式（2）由 an6n5，得到 bn，由此利用裂项求和法能求出数列bn的前 n 项和解：（1）点（n，Sn）（n N*）均在二次函数f（x）3x2 2x 的图象上Sn3n22n，当 n 2 时，anSn Sn13n2 2n3（n1）22（n 1）6n5，当 n 1 时，a1S1312211 满足上式，数列 an的通项公式为an6n5（2）an6n5，bn，数列 bn的前 n 项和：Tn（1）+（）+（）+（）121如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D 为 AC 中点，ABBC，A1DAC1求证：（1）B1C平面 A1BD；（2）平面 A1BD 平面 AB1C1【分析】（1）设 A1B 与 AB1交于点 O，连接 OD，证明 ODB1C，得出 B1C平面 A1BD；（2）证明 BD 平面 ACC1A1，得出 BD AC1，由 A1DAC1，得出 AC1面 A1BD，即可证明平面A1BD 平面 AB1C1【解答】证明：（1）设 A1B 与 AB1交于点 O，连接 OD，如图所示；在平行四边形ABB1A1中，O 为 AB1中点，D 为 AC 中点，所以 OD 为 AB1C 的中位线，所以 ODB1C，又 OD?平面 A1BD，B1C?平面 A1BD，所以 B1C平面 A1BD；（2）因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以BD 为 ABC 的底边上的中线，BD AC；在直三棱柱ABC A1B1C1中，C1C平面 ABC，BD?平面 ABC，所以 BD C1C，又 BD AC，AC?平面 ACC1A1，C1C?平面 ACC1A1，AC C1CC，所以 BD平面 ACC1A1；又 AC1?平面 ACC1A1，所以 BD AC1；又 A1DAC1，BD?平面 A1BD，A1D?平面 A1BD，A1DBD D，所以 AC1面 A1BD；又 AC1?平面 AB1C1，所以平面A1BD平面 AB1C122如图，在ABC 中，B30，AC2，D 是边 AB 上一点（1）求 ABC 的面积的最大值；（2）若 CD2，ACD 的面积为4，ACD 为锐角，求BC 的长【分析】（1）由余弦定理得AB?BC20（2+），由此能求出ABC 的面积的最大值（2）设 ACD ，由三角形面积得到sin，cos，由余弦定理，得AD4，由正弦定理，得，由此能求出BC 的长解：（1）在 ABC 中，B30，AC2，D 是边 AB 上一点，由余弦定理得：AC220AB2+BC22AB?BC?cosABC（2）AB?BC，AB?BC20（2+），ABC 的面积的最大值为（2）设 ACD ，在 ACD 中，CD2，ACD 的面积为4，ACD 为锐角，4，sin，cos，由余弦定理，得AD2AC2+CD22AC?CD?cos 20+48 16，AD 4，由正弦定理，得，此时，BCBC 的长为 4