2019-2020学年江苏省南通市如东县高一下学期期中数学试卷(解析版).pdf

2019-2020 学年江苏省南通市如东县高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10 小题）.1直线 y=?x+1 的倾斜角是（）A?6B?3C2?3D5?62某中学有高中生3500 人，初中生1500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70 人，则 n 为（）A100B150C200D2503在 ABC 中，若 a2，?=?，?=?4，则 B（）A?6B?4C5?6D?6或5?64对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25，30）的为一等品，在区间 20，25）和 30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为（）A30B40C50D605已知直线（a+2）x+2ay10 与直线 3axy+20 垂直，则实数a 的值是（）A0B-43C0 或-43D-12或236给出下列四个说法，其中正确的是（）A线段 AB 在平面 内，则直线AB 不在平面内B三条平行直线共面C两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点D空间三点确定一个平面7已知直线ax+y2+a0 在两坐标轴上的截距相等，则实数a（）A1B 1C 2 或 1D2 或 18两圆?：?+?=?与?：(?+?)?+?=?的公切线条数为（）A1B2C3D49数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知 ABC 的顶点 A（4，0），B（0，2），且 ACBC，则 ABC 的欧拉线方程为（）Ax2y30B2x+y30Cx2y+30D2x y3010如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABACBC，则异面直线AB1和 BC1所成角的余弦值为（）A-12B12C-14D14二、多项选择题：本题共2 小题，每小题5 分，共 10 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分11已知角A，B，C 是 ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（）Asin（B+C）sinAB cos（A+B）cosCC若 AB，则 sinAsinBD若 sin2Asin2B，则 ABC 是等腰三角形12正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q 分别为棱BC 和 CC1的中点，则下列说法正确的是（）ABC1平面 AQPB A1D平面 AQPC异面直线A1C1与 PQ 所成角为90oD平面 APQ 截正方体所得截面为等腰梯形三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13一组数据：6，8，9，13 的方差为14已知两点M（0，2），N（2，2），以线段MN 为直径的圆的方程为15如图，从 200m 高的电视塔塔顶A 测得地面上某两点B，C 的俯角分别为30和 45，BAC45，则 B，C 两点间的距离为m（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）16平面四边形ABCD 的对角线AC，BD 的交点位于四边形的内部，已知 AB1，BC2，ACCD，ACCD，当 ABC 变化时，则BD 的最大值为四、解答题：本大题共6 小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a1，?=?，?=74，且C 为锐角求：（1）sinA 的值；（2）ABC 的面积18如图在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F 分别为 BC，CC1的中点，ABAD 2，AA13（1）证明：EF 平面 A1ADD1；（2）求直线 AC1与平面 A1ADD1所成角的正弦值19已知直线l：kxy4k+3 0（k R），圆 C：x2+y2 6x8y+210（1）求证：直线l 过定点 M，并求出点M 的坐标；（2）若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，当弦长AB 最短时，求此时直线l 的方程20 如图，四棱锥 PABCD 中，点 E，F 分别是侧棱PA，PC 上的点，且 EF 底面 ABCD（1）求证：EF AC；（2）若 PC底面 ABCD，?=?，ABC 60，求证：EF PB21根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外），在公海上的安全距离为 20mile（即距离不得小于20mile），否则违反了国际海洋安全规定如图，在某公海区域有两条相交成60的直航线XX，YY，交点是O，现有两国的军舰甲，乙分别在 OX，OY 上的 A，B 处，起初OA30mile，OB10mile，后来军舰甲沿XX的方向，乙军舰沿YY 的方向，同时以40mile/h 的速度航行（1）起初两军舰的距离为多少？（2）试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由22已知圆O：x2+y21 和点 M（1，4）（1）过点 M 向圆 O 引切线，求切线的方程；（2）求以点 M 为圆心，且被直线y2x12 截得的弦长为8 的圆 M 的方程；（3）设 P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆 O 引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得?为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由参考答案一、单选题：本大题共10 小题，每题5 分，共 50 分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1直线 y=?x+1 的倾斜角是（）A?6B?3C2?3D5?6【分析】由方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得所求解：直线y=?x+1 的斜率为?，直线 y=?x+1 的倾斜角满足 tan =?，60故选：B2某中学有高中生3500 人，初中生1500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70 人，则 n 为（）A100B150C200D250【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量总体个数抽取比例计算 n 值解：分层抽样的抽取比例为703500=150，总体个数为3500+15005000，样本容量n 5000150=100故选：A3在 ABC 中，若 a2，?=?，?=?4，则 B（）A?6B?4C5?6D?6或5?6【分析】先利用正弦定理求得sinB 的值，进而求得B解：?=?，sinB=?sinA=2222=12，B=?6或5?6，ab，AB，B=?6故选：A4对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25，30）的为一等品，在区间 20，25）和 30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为（）A30B40C50D60【分析】样品为三等品的频率为（0.0125+0.0250+0.0125）50.25，又已知样本容量为200，可解得样本中三等品的件数解：样本为三等品的件数为200（0.0125+0.0250+0.0125）550；故选：C5已知直线（a+2）x+2ay10 与直线 3axy+20 垂直，则实数a 的值是（）A0B-43C0 或-43D-12或23【分析】利用一般式下两直线垂直的判定方法即：L1：A1x+B1y+C10，L2：A2x+B2y+C20，若 L1L2，则 A1A2+B1B2 0，带入求解即可解：因为直线（a+2）x+2ay10 与直线 3axy+20 垂直，则（a+2）?3a+2a?（1）0，解得：?=?或?=-43故选：C6给出下列四个说法，其中正确的是（）A线段 AB 在平面 内，则直线AB 不在平面内B三条平行直线共面C两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点D空间三点确定一个平面【分析】利用平面的基本性质及其推论直接求解解：对于A，线段 AB 在平面 内，则直线AB 一定在平面内，故 A 错误；对于 B，三条平行直线不一定共面，比如正方体AC1中，三条平行线AB，DC，A1B1不共面，故B 错误；对于 C，两平面有一个公共点，则这两相平面相交于过这个公共点的一条直线，一定有无数个公共点，故C 正确；对于 D，空间中不共面的三点确定一个平面，故D 错误故选：C7已知直线ax+y2+a0 在两坐标轴上的截距相等，则实数a（）A1B 1C 2 或 1D2 或 1【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0 和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值解：2+a0，即 a2 时，直线ax+y2+a 0 化为 2x+y0，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；2+a0，即 a2 时，直线ax+y2+a0 化为?2-?+?2-?=1，它在两坐标轴上的截距为2-?=2 a，解得 a 1；综上所述，实数a2 或 a1故选：D8两圆?：?+?=?与?：(?+?)?+?=?的公切线条数为（）A1B2C3D4【分析】由两圆的半径和圆心距，判断两圆外切，有3 条公切线解：圆?：?+?=?的圆心为C1（0，0），半径为r11，圆?：(?+?)?+?=?的圆心为C2（3，0），半径为r22；且|C1C2|3，r1+r23，所以|C1C2|r1+r2，所以两圆外切，公切线有3 条故选：C9数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知 ABC 的顶点 A（4，0），B（0，2），且 ACBC，则 ABC 的欧拉线方程为（）Ax2y30B2x+y30Cx2y+30D2x y30【分析】先根据题意求出AB 的垂直平分线，再根据ACBC，可知三角形的外心、重心、垂心依次位于AB 的垂直平分线上，即AB 的垂直平分线即为所求解：线段AB 的中点为（2，1），?=-12，线段 AB 的垂直平分线为：y2（x 2）+1，即 2x y30，AC BC，三角形的外心、重心、垂心依次位于AB 的垂直平分线上，因此 ABC 的欧拉线方程为2xy30，故选：D10如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABACBC，则异面直线AB1和 BC1所成角的余弦值为（）A-12B12C-14D14【分析】如图所示建立空间直角坐标系，不妨设 AA1ABACBC2 利用 cos?，?=?1?1|?1|?|?1|即可得出解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设 AA1 ABACBC 2则 A（0，1，2），B1（?，0，0），B（?，0，2），C1（0，1，0），?=（?，1，2），?=（-?，1，2），cos?，?=?1?1|?1|?|?1|=-3+1+48?8=14故选：D二、多项选择题：本题共2 小题，每小题5 分，共 10 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分11已知角A，B，C 是 ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（）Asin（B+C）sinAB cos（A+B）cosCC若 AB，则 sinAsinBD若 sin2Asin2B，则 ABC 是等腰三角形【分析】利用三角形的内角和以及正弦定理，三角方程转化求解判断选项的正误即可解：因为三角形中，A（B+C），所以 sinAsin（BC）sin（B+C），所以A 正确；cosAcos（B+C）cos（B+C），所以B 不正确；在 ABC 中，若 AB，则 ab，即有 2RsinA2RsinB，故 sinAsinB，所以 C 正确；sin2Asin2B，可得 2A2B 或 2A+2B，所以 AB 或 A+B=?2，三角形为等腰三角形或直角三角形，所以D 不正确；故选：AC12正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q 分别为棱BC 和 CC1的中点，则下列说法正确的是（）ABC1平面 AQPB A1D平面 AQPC异面直线A1C1与 PQ 所成角为90oD平面 APQ 截正方体所得截面为等腰梯形【分析】直接利用线面平行的判定和性质的应用，异面直线的夹角的应用，线面垂直的判定的应用，共面的判定的应用求出结果解：在正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q 分别为棱BC 和棱 CC1的中点，如图所示：对于选项A：P，Q 分别为棱BC 和棱 CC1的中点，所以 PQBC1，由于 PQ?平面 APQ，BC1不在平面APQ 内，所以 BC1平面 APQ，故选项 A 正确 对于选项B：由于A1D平面 ABC1D1，平面 ABC1D1和平面APQD1为相交平面，所以 A1D 不可能垂直平面AQP，故错误 对于选项D：PQBC1，A1BC1为等边三角形，所以A1C1B60，即异面直线QP 与 A1C1所成的角为60故错误 对于选项D：连接 AP，AD1，D1Q，由于 AD1PQ，D1QAP，所以：平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形，故正确故选：AD三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13一组数据：6，8，9，13 的方差为132【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差解：一组数据：6，8，9，13 的平均数为：?=14（6+8+9+13）9，这组数据的方差为：S2=14（69）2+（8 9）2+（99）2+（139）2=132故答案为：13214已知两点M（0，2），N（2，2），以线段MN 为直径的圆的方程为（x1）2+y25【分析】根据题意，设MN 的中点为O，由 MN 的坐标求出O 的坐标以及MN 的长，即可得要求圆的圆心与半径，由圆的标准方程即可得答案解：根据题意，设 MN 的中点为O，则以线段MN 为直径的圆的圆心为O，半径 r=|?|2，又由 M（0，2），N（2，2），则 O（1，0），|MN|=?+?=2?，则 r=?，则要求圆的标准方程为：（x1）2+y25；故答案为：（x1）2+y2515如图，从 200m 高的电视塔塔顶A 测得地面上某两点B，C 的俯角分别为30和 45，BAC45，则 B，C 两点间的距离为200?m（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）【分析】由题意，AB400m，AC200?m，BAC 中，利用余弦定理，即可得出结论解：从 200m 高的电视塔顶A 测得地面上某两点B，C 的俯角分别为30和 45，AB 400m，AC200?m，BAC 中，BAC45，由余弦定理得：BC2AB2+AC2 2AB?ACcos45 4002+（200?）22400 200?22=80000；BC 200?（m）故答案为：200?16平面四边形ABCD 的对角线AC，BD 的交点位于四边形的内部，已知 AB1，BC2，ACCD，ACCD，当 ABC 变化时，则BD 的最大值为2?+1【分析】引入 ABC ，先在 ABC 中，利用 借助于正弦定理表示出AC，sinACB 然后再在 BCD 中利用余弦定理表示出BD，最后借助三角恒等变换求出BD 的最值解：如图，设ABC，在 ABC 中，因为AB 1，BC2，AC2AB2+BC2 2AB?BC?cos 5 4cos，即?=?-?=?，即1?=5-4?，?=?5-4?，?=?(?2+?)=-sin ACB=-?5-4?所 以 在 BCD中，BD2 BC2+CD2 2BC?CD?cos BCD=?+(?-?)-?-?(-?5-4?)=?+?(?-?)=?+?(?+?4)易知，当?=?4时，BD2最大值为?+?=(?+?)?，故 BD 的最大值为?+?故答案为：?+?四、解答题：本大题共6 小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a1，?=?，?=74，且C 为锐角求：（1）sinA 的值；（2）ABC 的面积【分析】（1）由已知结合正弦定理可求sinA，（2）由已知结合同角平方关系可求cosC，然后结合余弦定理可求b，代入三角形的面积公式即可求解解：（1）在 ABC 中，由正弦定理有：?=?，解得?=148；（2）因为?=74，且 C 为锐角，所以?=34，在 ABC 中，由余弦定理有：c2a2+b22abcosC，解得 b2；所以 ABC 的面积为?=12?=7418如图在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F 分别为 BC，CC1的中点，ABAD 2，AA13（1）证明：EF 平面 A1ADD1；（2）求直线 AC1与平面 A1ADD1所成角的正弦值【分析】（1）连接 BC1，则 EF BC1，推导出四边形ABC1D1为平行四边形，从而BC1AD1，EF AD1，由此能证明EF平面 A1ACD1（2）连 AD1C1D1平面 A1ADD1，从而 C1AD1为直线 AC1与平面 A1ADD1所成角，由此能求出直线AC1与平面 A1ADD1所成角的正弦值解：（1）证明：连接BC1，在 BDC1中，由 E，F 分别为 BC，CC1的中点，可得：EFBC1，在长方体ABCD A1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1，因此四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1 AD1所以 EF AD1，EF?平面 A1ACD1，AD1?平面 A1ACD1，所以 EF 平面 A1ACD1（2）解：在长方体ABCD A1B1C1D1中，连 AD1C1D1平面 A1ADD1，所以 AC1在平面 A1ADD1中的射影为AD1，所以 C1AD1为直线 AC1与平面 A1ADD1所成角由题意知：?=?+?+?=?在 Rt AD1C1中，?=?1?1?1=217=21717，即直线 AC1与平面 A1ADD1所成角的正弦值为2 171719已知直线l：kxy4k+3 0（k R），圆 C：x2+y2 6x8y+210（1）求证：直线l 过定点 M，并求出点M 的坐标；（2）若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，当弦长AB 最短时，求此时直线l 的方程【分析】（1）将直线l 方程整理：kxy4k+30 可化为：（x4）ky+30，可得恒过直线x40 和 y+30 的交点，及直线恒过定点（2）由圆的几何性质可知，当直线lMC 时，弦长最短，求出直线MC 的斜率，进而可得直线l 的斜率，再由过的点的坐标可得直线l 的方程【解答】（1）证明：直线l：kxy4k+30 可化为：（x 4）ky+30，可得?-?=?-?+?=?=?=?所以直线l 过定点 M（4，3）（2）解：由圆的几何性质可知，当直线lMC 时，弦长最短，因为直线MC 的斜率为 1，所以直线l 的斜率为1，此时直线l 的方程为xy 1020 如图，四棱锥 PABCD 中，点 E，F 分别是侧棱PA，PC 上的点，且 EF 底面 ABCD（1）求证：EF AC；（2）若 PC底面 ABCD，?=?，ABC 60，求证：EF PB【分析】（1）由 EF平面 ABCD，利用线面平行的性质即可证明EF AC（2）在三角形ABC中，由正弦定理得?60=?，解得 BAC 30，可知ACBC，又利用线面垂直的性质可知PCAC，利用线面垂直的判定可证AC平面 PBC，利用线面垂直的性质可知ACPB，又 EF AC，即可证明EFPB解：（1）因为 EF平面 ABCD，EF?平面 PAC，平面 PAC平面 ABCD AC，所以由线面平行的性质定理，可得EF AC（2）在三角形ABC 中，因为?=?，且 ABC 60，由正弦定理可得?60=?，解得 BAC30得 ACB 90，即 ACBC；又 PC平面 ABCD，AC?平面 ABCD，故可得 PCAC，又 BC，PC?平面 PBC，且 BCPCC，可得 AC平面 PBC，又因为 PB?平面 PBC，则 ACPB；又因为 EFAC，得 EF PB，即证21根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外），在公海上的安全距离为 20mile（即距离不得小于20mile），否则违反了国际海洋安全规定如图，在某公海区域有两条相交成60的直航线XX，YY，交点是O，现有两国的军舰甲，乙分别在 OX，OY 上的 A，B 处，起初OA30mile，OB10mile，后来军舰甲沿XX的方向，乙军舰沿YY 的方向，同时以40mile/h 的速度航行（1）起初两军舰的距离为多少？（2）试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；（2）分情况分别利用余弦定理求得CD 的长，进而利用二次函数的性质求得其最小值即可求得结论解：（1）连结 AB，在 ABO 中，由余弦定理得?=?+?-?=?所以：起初两军舰的距离为?mile（2）设 t 小时后，甲、乙两军舰分别运动到C，D，连结 CD当?34时，?=(?-?)?+(?+?)?-?(?-?)(?+?)?=?-?+?；当?34时，同理可求得?=?-?+?；所以经过t 小时后，甲、乙两军舰距离?=?-?+?（t 0）因为?=?-?+?=?(?-14)?+?；因为 t0，所以当?=14时，甲、乙两军舰距离最小为20mile又 20 20，所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定22已知圆O：x2+y21 和点 M（1，4）（1）过点 M 向圆 O 引切线，求切线的方程；（2）求以点 M 为圆心，且被直线y2x12 截得的弦长为8 的圆 M 的方程；（3）设 P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆 O 引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得?为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由【分析】（1）若过点 M 的直线斜率不存在，直线方程为x 1，为圆 O 的切线；当切线 O 的斜率存在时，设直线方程为y+4k（x+1），通过圆心到直线的距离转化求解即可（2）点 M（1，4）到直线 2xy120 的距离，圆被直线y2x12 截得的弦长，求出半径，然后求解圆的方程（3）假设存在定点R，使得?为定值，设R（a，b），P（x，y），?2?2=?，通过点P 在圆 M 上，PQ 为圆 O 的切线，推出（2+2+2a）x+（8+8+2b）y+（1819a2 b2）0，然后转化求解，即可推出结果解：（1）若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为x 1，为圆 O 的切线；当切线 O 的斜率存在时，设直线方程为y+4k（x+1），即 kx y+k40，圆心 O 到切线的距离为|?-4|?2+1=?，解得?=158，直线方程为15x 8y170综上切线的方程为x 1 或 15x8y 170（2）点 M（1，4）到直线2xy120 的距离为?=|-2+4-12|5=?，圆被直线y 2x12 截得的弦长为8，?=(?)?+?=?，圆 M 的方程为（x+1）2+（y+4）236（3）假设存在定点R，使得?为定值，设R（a，b），P（x，y），?2?2=?，点 P 在圆 M 上，（x+1）2+（y+4）2 36，则 x2+y2 2x8y+19，PQ 为圆 O 的切线，OQPQ，PQ2PO21x2+y21，PR2（xa）2+（y b）2，x2+y2 1（xa）2+（yb）2，即 2x8y+191（2x8y+192ax2by+a2+b2），整理得（2+2+2a）x+（8+8+2b）y+（1819 a2 b2）0（*），若使（*）对任意x，y 恒成立，则-?+?+?=?-?+?+?=?-?-?-?=?，?=1-?=4-4?，代入得?-?-(1-?)?-(4-4?)?=?，化简整理得36252+170，解得?=12或?=1718，?=12?=?=?或?=1718?=117?=417，存在定点R（1，4），此时?为定值 22或定点?(117，417)，此时?为定值 346