2019-2020学年河南省焦作市高二下学期期末数学试卷(文科)(解析版).pdf

2019-2020 学年河南省焦作市高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1集合 A 1，0，1，2，3，Bx|log3x1，则 A B 等于（）A1，2B0，1，2C1，2，3D0，1，2，32已知复数z 满足（1+i）z 2i，则（）A 1+iB1+iC 1 iD1i3已知向量（3，），|4，若?8，则与的夹角的余弦值是（）ABCD4当 0 x1 时，下列大小关系正确的是（）Ax2exlnxBexx2lnxClnx x2exDlnx exx25函数的部分图象大致为（）ABCD6新中国成立70 周年以来党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把脱贫致富和提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点，新疆某地区为了带动当地经济发展，大力发展旅游业，如图是20152019 年到该地区旅游的游客数量（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A20152019 年到该地区旅游的人数与年份成正相关B 2019 年到该地区旅游的人数是2015 年的 12 倍C20162019 年到该地区旅游的人数平均值超过了220 万人次D从 2016 年开始，与上一年相比，2019 年到该地区旅游的人数增加得最多7若直线kxy+3k0 与不等式组，表示的平面区域有公共点，则实数k 的最大值是（）ABC2D8某医疗机构要从甲、乙、丙、丁、戊5 个专业人员中随机抽取3 个人去参加某社区的新冠肺炎疫情防护工作，则甲、乙不被同时抽到的概率为（）ABCD9已知等比数列an的各项都为正数，且当n2 时有 an1an+1e2n，则数列 lnan的前 20项和为（）A190B210C220D42010已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，为该抛物线上一点，若以M为圆心的圆与C 的准线相切于点A，AMF 120，则该抛物线的准线方程为（）ABCx 1Dx 211在三棱锥PABC 中，PA平面 ABC，AC BC，D 是 BC 的中点，2PAPB，APC30，则 PD 与平面 ABC 所成的角为（）A30B45C60D7512已知函数，若函数 yf（x）2a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（）A（e，+）BCe，+）D二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13已知公差为1 的等差数列 an满足 5a53a36，则首项a114已知双曲线C：1（a 0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 是双曲线 C 上不同于A1，A2的任意一点，若PF1F2与 PA1A2的面积之比为：1，则双曲线 C 的离心率为15若命题“对任意实数a0，b0 且 a+b4，不等式m 恒成立”为假命题，则m 的取值范围为16已知 ABC 内接于球O 的一个截面圆中，AB6，AC8，且球面上的点到面ABC 的距离的最大值为，则球 O 的表面积为三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，sinBcosBcos2B（）求角B 的大小；（）若b，求 ABC 面积的最大值18如图，在三棱锥C ABD 中，底面 ABD 是边长为2 的等边三角形，CD2，ACBC2，点 M，N，G 分别为 AC，BC，AB 的中点（）求证：MN 平面 GDC；（）求三棱锥BCDG 的体积19为了促进我国人口均衡发展，从 2016 年 1月 1 日起，全国统一实施全面放开二孩政策，这也是为了重建大国人口观，重新认识人口价值、人口规律、人口问题，某研究机构为了了解人们对全面放开生育二孩政策的态度，随机调查了200 人，得到的统计数据如下面的不完整的22 列联表所示（单位：人）：支持生育二孩不支持生育二孩合计男性30女性60100合计70（）完成22 列联表，并求是否有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关？（）现从样本中的女性中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出2人进行深层次的交流，求选出的2 人中至少有1 人“支持生育二孩”的概率参考公式：，其中 na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63520已知椭圆1（ab0），点 F，A，B 分别为椭圆的左焦点、右顶点和下顶点，ABF 的面积为1+，且椭圆的离心率为（）求椭圆的标准方程；（）若点 M 为椭圆 C 上一点，直线 l：ykx+2 与椭圆 C 交于不同的两点P，Q，且+（点 O 为坐标原点），求k 的值21已知函数f（x）ax2+lnx，a R（）当a1 时，求 f（x）的单调区间；（）若，证明：不等式f（x）+a（1x）lnx 在 1，+）上恒成立（二）选考题：共10 分，请考生在第22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22 cos2（）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（）已知点P 是曲线 C 上的任意一点，当点P 到直线 l 的距离最大时，求经过点P 且与直线 l 平行的直线l的方程选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x）|x 1|ax2a|（其中 a R）（）若a1，求不等式的解集；（）若不等式f（x）x+4 0 对任意 x 2，11）恒成立，求a 的取值范围参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合 A 1，0，1，2，3，Bx|log3x1，则 A B 等于（）A1，2B0，1，2C1，2，3D0，1，2，3【分析】求出集合B 的等价条件，结合交集定义进行求解即可解：Bx|log3x1x|0 x3，则 AB1，2，故选：A2已知复数z 满足（1+i）z 2i，则（）A 1+iB1+iC 1 iD1i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案解：由（1+i）z2i，得 z，则故选：B3已知向量（3，），|4，若?8，则与的夹角的余弦值是（）ABCD【分析】根据向量夹角的余弦公式直接代入计算即可解：设与的夹角的为，因为?8，所以 cos，故选：C4当 0 x1 时，下列大小关系正确的是（）Ax2exlnxBexx2lnxClnx x2exDlnx exx2【分析】分别根据指数函数，幂函数，对数函数单调性即可比较解：当 0 x1 时，lnx 0，0 x21，ex1，故 lnx x2ex，故选：C5函数的部分图象大致为（）ABCD【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值得变化趋势即可求出解：f（x）x2+ln|x|f（x），则 f（x）为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除 C，当 x1 时，f（1）cos1 1+0cos110，故排除B，D，故选：A6新中国成立70 周年以来党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把脱贫致富和提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点，新疆某地区为了带动当地经济发展，大力发展旅游业，如图是20152019 年到该地区旅游的游客数量（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A20152019 年到该地区旅游的人数与年份成正相关B 2019 年到该地区旅游的人数是2015 年的 12 倍C20162019 年到该地区旅游的人数平均值超过了220 万人次D从 2016 年开始，与上一年相比，2019 年到该地区旅游的人数增加得最多【分析】观察条形统计图，利用统计图的性质直接求解解：对于 A，观察统计图可知，20152019 年到该地区旅游的人数与年份成正相关，故A 正确；对于 B，2019 年到该地区旅游的人数是2015 年的 3603012 倍，故 B 正确；对于 C，20162019 年到该地区旅游的人数平均值为（100+160+230+360）212.5 万人次，故C 错误；对于 D，由图可知，与上一年相比，2019 年到该地区旅游的人数增加得最多，故 D 正确故选：C7若直线kxy+3k0 与不等式组，表示的平面区域有公共点，则实数k 的最大值是（）ABC2D【分析】画出不等式组表示的平面区域，直线yk（x+1）过定点A（3，0），数形结合得出求出kAC，求出结果解：画出不等式组表示的平面区域，如下图所示：直线 kx y+3k0，化为直线y k（x+3）过定点A（3，0），直线 yk（x+3）经过不等式组表示的平面区域有公共点，由解得 C（1，3）直线 yk（x+3）经过 C（1，3）时，斜率k 最大，而 kAC，实数 k 的最大值是：故选：B8某医疗机构要从甲、乙、丙、丁、戊5 个专业人员中随机抽取3 个人去参加某社区的新冠肺炎疫情防护工作，则甲、乙不被同时抽到的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n，甲、乙不被同时抽到包含的基本事件个数m7，由此能求出甲、乙不被同时抽到的概率解：某医疗机构要从甲、乙、丙、丁、戊5 个专业人员中随机抽取3 个人去参加某社区的新冠肺炎疫情防护工作，基本事件总数n，甲、乙不被同时抽到包含的基本事件个数m7，则甲、乙不被同时抽到的概率为P故选：A9已知等比数列an的各项都为正数，且当n2 时有 an1an+1e2n，则数列 lnan的前 20项和为（）A190B210C220D420【分析】利用等比数列通项公式求出anen，从而 lnanlnenn，由此能求出数列lnan的前 20 项和解：等比数列an的各项都为正数，且当n2 时有 an1an+1e2n，an1an+1（）2（an）2 e2n，n2 时，anen，e，lnanlnenn，数列 lnan的前 20 项和为：S 1+2+3+20210故选：B10已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，为该抛物线上一点，若以M为圆心的圆与C 的准线相切于点A，AMF 120，则该抛物线的准线方程为（）ABCx 1Dx 2【分析】根据抛物线的定义和三角形的性质，求解即可解：M（，y0）为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A，过点 M 作 MB x 轴，|MA|MF|+，|BF|AMF 120，BMF 30，2|BF|MF|，2（），解得 p2，抛物线方程为y24x，则该抛物线的准线方程为：x 1故选：C11在三棱锥PABC 中，PA平面 ABC，AC BC，D 是 BC 的中点，2PAPB，APC30，则 PD 与平面 ABC 所成的角为（）A30B45C60D75【分析】连结AD，设 PA a，求出 AB，AC，BCa，AD a，从而 PD 与平面ABC 所成的角的正切值为tan PDA，由此能求出PD 与平面 ABC所成的角解：如图，连结AD，设 PAa，在三棱锥PABC 中，PA平面 ABC，ACBC，D 是 BC 的中点，2PAPB，APC30，AB，AC，BCa，AD a，PD 与平面 ABC 所成的角的正切值为tanPDA 1，PD 与平面 ABC 所成的角为PDA45故选：B12已知函数，若函数 yf（x）2a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（）A（e，+）BCe，+）D【分析】求出导函数，判断出函数在（0，+）上的单调区间，得到其最小值，作出图象，数形结合即可解：由题可求得f（x）0 时，x1，则易知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；故 f（x）minf（1）e，作出函数在（0，+）上的图象如图：条件等价于函数f（x）图象与直线y2a 有两个交点，由图可知，2ae，解得 a，故选：B二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13已知公差为1 的等差数列 an满足 5a53a36，则首项a14【分析】根据等差数列的通项公式即可求出解：公差为1 的等差数列 an满足 5a5 3a3 6，则 5（a1+4）3（a1+2）6，解得 a1 4，故答案为：414已知双曲线C：1（a 0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 是双曲线 C 上不同于A1，A2的任意一点，若PF1F2与 PA1A2的面积之比为：1，则双曲线 C 的离心率为【分析】利用已知条件，把三角形的面积转化为c 与 a 的比，然后求解离心率解：设双曲线的半焦距为c，PF1F2与 PA1A2的面积之比为：1，可得|F1F2|A1A2|，即 2c2，所以 e，故答案为：15若命题“对任意实数a0，b0 且 a+b4，不等式m 恒成立”为假命题，则m 的取值范围为，+）【分析】利用基本不等式求解表达式的最小值，转化求解m 的范围即可解：对任意实数a0，b0 且 a+b 4，不等式m 恒成立，可得（）（a+b）（5+），当且仅当，a，b时，取等号，故m，所以所求的m 取值范围，+）故答案为：，+）16已知 ABC 内接于球O 的一个截面圆中，AB6，AC8，且球面上的点到面ABC 的距离的最大值为，则球 O 的表面积为196【分析】由CBA 的余弦值求出其正弦值，在三角形中由正弦定理求出三角形ABC 的外接圆的半径，当P，O，O1三点共线时，球面上的点P 到面 ABC 的距离的最大，在三角形中由勾股定理可得外接球的半径R，进而求出球的表面积解：设截面ABC 的外接圆的圆心为O1，连接 O1B，OB，做直线 OO1交球于 P，O 在线段 PO1上时，球面上的点到面ABC 的距离的最大，即PO17+2，设 ABC 的外接圆的半径为r，球的半径为R，则 rO1B，ROB，在 ABC 中 AB6，AC8，所以 sinCBA，由正弦定理可得2r 10，所以 r5，在 OO1B 中，R2r2+OO1252+（7+2R）2，解得 R7，所以求 O 的表面积S4 R2196 故答案为：196 三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，sinBcosBcos2B（）求角B 的大小；（）若b，求 ABC 面积的最大值【分析】（）由三角的恒等变形及B 在三角形中可得B 的值；（）由余弦定理及均值不等式可得ac 的最大值，进而求出三角形面积的最大值解：（）因为sinBcosB cos2B，所以sin2B（），即sin2Bcos2B 1，可得 sin（2B）1，所以 2B+2k，k Z又 B（0，），所以可得B，；（）由（）可得B，b，由余弦定理可得cosB，整理可得a2+c27+ac 2ac，当且仅当ac时取等号，所以 ac 7，所以 SABC?sinB?7，所以 ABC 面积的最大值为18如图，在三棱锥C ABD 中，底面 ABD 是边长为2 的等边三角形，CD2，ACBC2，点 M，N，G 分别为 AC，BC，AB 的中点（）求证：MN 平面 GDC；（）求三棱锥BCDG 的体积【分析】（）由已知可得GDAB，CGAB，再由直线与平面垂直的判定可得AB平面 CGD，由已知证明MN AB，可得 MN 平面 CGD；（）证明DC平面 ABD，求出三棱锥C ABD 的体积，结合G 为 AB 的中点，可得三棱锥 BCDG 的体积【解答】（）证明：G 为 AB 的中点，且AD BD，ACBC，GDAB，CGAB，又 CGGDG，AB平面 CGD，M，N 分别为 AC，BC 的中点，MN AB，可得 MN 平面 CGD；（）解：由AD BDCD2，AC BC 2，可得 AD2+DC2AC2，BD2+DC2BC2，AD DC，BD DC，又 AD DB D，DC平面 ABD 在等边三角形ABD 中，由边长为2，得G 为 AB 的中点，三棱锥BCDG 的体积19为了促进我国人口均衡发展，从 2016 年 1月 1 日起，全国统一实施全面放开二孩政策，这也是为了重建大国人口观，重新认识人口价值、人口规律、人口问题，某研究机构为了了解人们对全面放开生育二孩政策的态度，随机调查了200 人，得到的统计数据如下面的不完整的22 列联表所示（单位：人）：支持生育二孩不支持生育二孩合计男性30女性60100合计70（）完成22 列联表，并求是否有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关？（）现从样本中的女性中利用分层抽样的方法抽取5 人，再从这5 人中随机选出2 人进行深层次的交流，求选出的2 人中至少有1 人“支持生育二孩”的概率参考公式：，其中 na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635【分析】（）完成列联表，没有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关；（）由题意，在支持生育二孩的女性中应抽取603 人，记为A、B、C，不支持生育二孩的女性中应抽取402 人，记为a、b，选出的2 人共有 5210 种情况，其中至少有1 人“支持生育二孩”有9 种情况，由古典概型的定义可求概率解：（）根据题意随机调查了200 人，得到的统计数据如下的22 列联表：支持生育二孩不支持生育二孩合计男性7030100女性6040100合计13070200由2.198，因为 2.1982.706，故没有 90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关，（）现从样本中的女性中利用分层抽样的方法抽取5 人，再从这5 人中随机选出2 人进行深层次的交流，则在支持生育二孩的女性中应抽取603 人，记为A、B、C，不支持生育二孩的女性中应抽取402 人，记为a、b，则选出的2 人有 AB、AC、Aa、Ab、BC、Ba、Bb、Ca，Cb，ab，共 10 种情况，其中至少有1 人“支持生育二孩”有AB、AC、Aa、Ab、BC、Ba、Bb、Ca，Cb，9 种情况，故至少有1 人“支持生育二孩”的概率为：20已知椭圆1（ab0），点 F，A，B 分别为椭圆的左焦点、右顶点和下顶点，ABF 的面积为1+，且椭圆的离心率为（）求椭圆的标准方程；（）若点 M 为椭圆 C 上一点，直线 l：ykx+2 与椭圆 C 交于不同的两点P，Q，且+（点 O 为坐标原点），求k 的值【分析】（）三角形的面积及离心率和a，b，c 之间的关系，求出a，b 的值，进而求出椭圆的方程；（）设P，Q 的坐标，将直线l 的方程与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，由+（点 O 为坐标原点），可得M 的坐标，由M 在椭圆上，代入椭圆的方程可得 k 的值解：（）设椭圆的半焦距为c，由题意可得，解得 a2 4，b21，所以椭圆的标准方程为+y21；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l 与椭圆的方程，整理可得（1+4k2）x2+16kx+120，所以 162k24（1+4k2）?120，可得 k2，x1+x2，x1x2，所以 y1+y2k（x1+x2）+4+4，因为+，所以（x1+x2，y1+y2）（，），所以 M（，），代入椭圆的方程（）2+4（）2 4，整理可得16k456k2150，解得 k，符合判别式大于0 的条件，所以 k 的值为21已知函数f（x）ax2+lnx，a R（）当a1 时，求 f（x）的单调区间；（）若，证明：不等式f（x）+a（1x）lnx 在 1，+）上恒成立【分析】（）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）问题转化为a，令 g（x），根据函数的单调性求出a，从而证明结论成立解：（）a1 时，f（x）x2+lnx，x0（x）2x+，令 f（x）0，解得：x，令 f（x）0，解得：x或 x，故 f（x）在（0，）递增，在（，+）递减；（）证明：不等式f（x）+a（1x）lnx 在 1，+）上恒成立，即 a（x21）xlnx 在 x 1，+）恒成立，x 1 时，显然成立，x 1 时，a，令 g（x），（x 1）则 g（x），令 h（x）x21lnx（x2+1），（x1），h（x）x 2xlnx，h（x）2lnx 1，显然 h（x）在（1，+）递减，h（x）h（1）0，则 h（x）在（1，+）递减，h（x）h（1）0，h（x）在（1，+）递减，h（x）h（1）0，即 g（x）0，g（x）在（1，+）递减，而，故 a，故时不等式f（x）+a（1 x）lnx 在1，+）上恒成立（二）选考题：共10 分，请考生在第22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22 cos2（）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（）已知点P 是曲线 C 上的任意一点，当点P 到直线 l 的距离最大时，求经过点P 且与直线 l 平行的直线l的方程【分析】（）把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线C 的直角坐标方程；（）设出与直线l 平行的直线方程xy+m0，由圆心到直线的距离求解m，则答案可求解：（）由（t 为参数），即，消去参数t，可得直线l 的普通方程为xy+30由 22 cos 2，结合 2x2+y2，x cos，可得曲线C 的直角坐标方程为x2+y22x20；（）曲线C 的方程为x2+y22x20，即（x1）2+y23表示以（1，0）为圆心，以为半径的圆设直线 l的方程为xy+m0由，可得 m或 m当点P 到直线l 的距离最大时，经过点P 且与直线l 平行的直线l的方程为xy选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x）|x 1|ax2a|（其中 a R）（）若a1，求不等式的解集；（）若不等式f（x）x+4 0 对任意 x 2，11）恒成立，求a 的取值范围【分析】（）a 1 时，不等式f（x）化为|x1|x2|，利用分类讨论法去掉绝对值，求出不等式的解集；（）不等式f（x）x+40 对?x 2，11）恒成立，等价于|a|（）min，利用y在区间 2，11）上单调递减求得ymin，求出 a 的取值范围解：（）f（x）|x1|ax2a|，若 a1，则不等式f（x）化为：|x1|x2|，当 x1 时，不等式为1x（2x），即 1，成立；当 1x 2 时，不等式为x1（2x），即 x，成立；当 x2 时，x1（x2），即 1，不成立；综上所述，若a1，则不等式f（x）1 的解集为（，）；（）因为x 2，11），所以f（x）|x 1|ax2a|x 1|a|（x2），故不等式f（x）x+40 对?x 2，11）恒成立?x1|a|（x 2）x+40 恒成立，即|a|（）min，因为 y在区间 2，11）上单调递减，所以|a|，解得：a，即 a 的取值范围为，