2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟(八)数学(文)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 18 页2020 届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟（八）数学（文）试题一、单选题1已知集合|2,Ax xn nZ，1,0,2,3,6,8B，则()ABRIe（）A1,2,6B0,1,2C1,3D1,6【答案】C【解析】由条件可知A 为偶数集，求出RC A，即可得到()RC ABI.【详解】由条件可知A为偶数集，故()1,3RC ABI.故选：C.【点睛】本题考查集合的混合运算，属于基础题.2已知 i 是虚数单位，则2331iii（）A32iB3 3iC24iD22i【答案】B【解析】根据虚数单位i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简【详解】()()()22231i3i3iii12ii33i1i2轾-骣-犏?-=+=-+=-?犏?桫+臌故选 B.【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化3已知2sin3，则3tansin2（）A23B23C53D53【答案】A 第 2 页 共 18 页【解析】利用诱导公式及同角的三角函数基本关系式即可化简求值【详解】已知2sin3,则由三角函数的诱导公式可得()()32tansintancossin23ppaaaaa骣?+=-=-=-?桫.故选 A.【点睛】本题考查的知识点是运用诱导公式化简求值，属于基础题4已知椭圆222210 xyabab的离心率为12，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆为方程为（）A22142xyB22184xyC221164xyD2211612xy【答案】D【解析】利用已知条件求出a，b，即可求解椭圆方程【详解】设椭圆的焦距为2c，由条件可得12ca，故2ac，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得()24ac-=，即2ac，所以，4a，2c，故22212bac，故该椭圆的方程为2211612xy.【点睛】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，是基本知识的考查5公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.14159263.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把 3.1415926 称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的 7 位数字 1,4,1,5,9,2,6 随机选取两位数字，整数部分3 不变，那么得到的数字大于 3.14 的概率为（）A2831B1921C2231D1721【答案】A 第 3 页 共 18 页【解析】选择数字的方法有：5 6 131 种，其中得到的数字不大于3.14 的数字为：3.11,3.12,3.14，据此可得：得到的数字大于3.14 的概率为32813131p.本题选择 A 选项.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便6运行如图所示的程序，输出的结果为（）A8 B 6 C5 D4【答案】D【解析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】所给程序的运行过程如下：1b，3a；2b，7a；3b，15a；4b，31a=，不满足30a，1cos2B.由sin3sinBA可得3ba，由余弦定理可得2222cosbacacB，即2229aacac=+-，解之得33116ac-=（舍去负值）.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属中档题.三、解答题17已知等比数列na满足：112a，且895618aaaa.（1）求na的通项公式及前n 项和；第 10 页 共 18 页（2）若nnbna，求nb的前n项和nT.【答案】（1）112nnS=-（2）222nnnT【解析】（1）设na的公比为q，由895618aaaa可得12q，由此可求na的通项公式及前 n 项和；2）由（1）可得2nnnb，则231232222nnnTL，利用错位相减法可求nb的前 n 项和nT.【详解】（1）设na的公比为q，由895618aaaa可得318q，12q，12nna，11112211212nnnS.（2）由（1）可得2nnnb，则231232222nnnTL所以，2341112322222nnnTL由-可得2311111111111222112222222212nnnnnnnnnTL，所以，222nnnT.【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和；以及利用错位相减法求和，属基础题.18如图，三棱锥PABC中，PABABC平面平面，PAPB，且ABPC.（1）求证：CACB；（2）若2,11PAPBABPC，求三棱锥PABC的体积.第 11 页 共 18 页【答案】（1）见解析（2）2 63【解析】（1）取AB的中点 O，连接PO，PC.易证AB平面POC，又OC平面POC，ABOC，而 O 是AB的中点，CACB.（2）由平面PAB平面ABC，PO可证平面ABC，由条件可得3PO，2 2OC.则2 2ABCSV，则三棱锥PABC的体积可求【详解】（1）取AB的中点 O，连接PO，PC.PAPB，POAB，ABPC，PCPOP，PC，PO平面POC，AB平面POC，又 OC平面POC，ABOC，而 O 是AB的中点，CACB.（2）平面PAB平面ABC，PO平面PAB，平面PAB平面ABCAB，PO平面ABC，由条件可得3PO，222 2OCPCPO.则1122 22 222ABCSAB OCV，三棱锥PABC的体积为：112 6223333ABCVSPOV.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，属中档题.19 某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费第 12 页 共 18 页情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.（1）试根据所给数据计算每小时点击次数的均值方差并分析两组数据的特征；（2）若把乙公司设置的每次点击价格为x，每小时点击次数为y，则点（x，y）近似在一条直线附近.试根据前 5 次价格与每小时点击次数的关系，求y 关于 x 的回归直线?ybxa.（附：回归方程系数公式：1221?,niiiniix ynxybaybxxnx）【答案】（1）见解析（2）1.41.2yx=+$【解析】（1）结合图象分别求出甲、乙公司的平均数和方差，根据其大小判断结论即可；（2）求出平均数，计算回归方程的系数，求出回归方程即可【详解】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙公司每小时点击次数为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.甲公司每小时点击次数的平均数为：9578768677710 x甲，乙公司每小时点击次数的平均数为：24687789910710 x乙.甲公司每小时点击次数的方差为：2222221222 121401.210S甲；乙公司每小时点击次数的方差为：2222222215312 1223205.410S乙，由计算已知，甲、乙公司每小时点击次数的均值相同，但是甲的方差较小，所以，甲公司每小时点击次数更加稳定.（2）根据折线图可得数据如下：点击次数y 2 4 6 8 7 点击价格x 1 2 3 4 5 第 13 页 共 18 页则3x，5.4y，则5125211.4?5iiiiix yxybxn x，?1.2a，所求回归直线方程为：1.4.2?1yx.【点睛】本题考查了均值和方程的求法，考查回归方程问题，是一道中档题20如图，直线:210lxy与 y 轴交于点A，与抛物线2:20C xpy p交于 P，Q，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，连接QB，BP 并延长分别与x 轴交于点M，N.（1）若4 3PQ，求抛物线C 的方程；（2）若4 33MN，求BMN外接圆的方程.【答案】（1）24xy（2）22149636xy骣?+=?桫【解析】（1）联立22102xyxpy可得22220 xpxp，设点11,P xy，22,Q xy，由0，可得1p，122 2xxp，122x xp，表示出22 6PQpp.利用4 3PQ，可得2p，即可可得到抛物线方程；（2）设直线BN，BM的斜率分别为1k，2k点，由1111ykx，2221ykx，可得120kk.则直线BN的方程为：11yk x，直线BM的方程为：21yk x，由此可得21114 33MNkk，结合120kk可得，132k，232k，第 14 页 共 18 页且120k k，故3tantan2BNMBMN，即BMNV是等腰三角形，且1OB，则BMNV的外接圆的圆心一定在y 轴上，设为0,t，由圆心到点M，B 的距离相等可解得16t，于是得到外接圆方程.【详解】（1）由22102xyxpy可得22 220 xpxp，设点11,P xy，22,Q xy，则22 280pp，即1p，122 2xxp，122x xp，故22212121212343 882 6PQxxxxx xpppp.由22 64 3pp可得2p（舍去负值），抛物线 C 的方程为24xy.（2）设直线BN，BM的斜率分别为1k，2k点，21221111212111111122222xyxpxx xxxpkxxpxpxp，22222221221222221122222xyxpxx xxxpkxxpxpxp，120kk.直线BN的方程为：11yk x，直线BM的方程为：21yk x，则11,0Nk，21,0Mk，则122112114 33kkMNkkk k，由120kk可得12kk，12124 33kk，132k，232k，且120k k，故3tantan2BNMBMN，即BMNV是等腰三角形，且1OB，则BMNV的外接圆的圆心一定在y 轴上，设为第 15 页 共 18 页0,t，由圆心到点M，B 的距离相等可得2222 313tt，解之得16t，外接圆方程为22149636xy.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线方程的求法，考查圆的方程等知识，属难题.21已知函数2lnfxxaxaR.（1）若yfx的图像在2x处的切线与x轴平行，求fx的极值；（2）若函数1g xfxx在0,内单调递增，求实数a的取值范围【答案】（1）极大值1ln 22，无极小值；（2）1,)8.【解析】试题分析：（1）求出fx，由12402fa求得18a，研究函数的单调性，即可求得fx的极值；（2）化简2ln1g xxaxx，可得2210axxgxxx，对求实数a分三种情况000aaa，讨论，分别利用导数研究函数的单调性，验证函数g x在0,内是否单调递增即可得结果.试题解析：（1）因为2lnfxxax，所以1=20fxax xx由条件可得12402fa，解之得18a，所以21ln8fxxx，114fxxx2204xxxx令0fx可得2x或2x（舍去）当02x时，0fx；当2x时，0fx，所以fx在0,2内单调递增，在2,内单调递减，故fx有极大值12ln22f，无极小值；（2）2ln1g xxaxx，则121gxaxx2210axxxx设221h xaxx，第 16 页 共 18 页当0a时，1xgxx，当01x时，0gx，当1x时，0gx，所以g x在0,1内单调递增，在1,内单调递减，不满足条件；当0a时，221h xaxx是开口向下的抛物线，方程2210axx有两个实根，设较大实根为0 x 当0 xx时，有0h x，即0gx，所以g x在0,x内单调递减，故不符合条件；当0a时，由0gx可得2210h xaxx在0,内恒成立，故只需0010400haa或0，即101041800aaa或1 800aa，解之得18a综上可知，实数a的取值范围是1,822以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为253cos28，直线 l 的参数方程为2222xmtyt（其中 t 为参数）.（1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l 与曲线 C 有两个公共点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2214xy（2）5,5【解析】（1）曲线 C 的极坐标方程化为42-32cos2=4，由此能求出曲线C 的普通方程（2）把2222xmtyt代入2214xy，得 5x2-8mx+4m2-4=0，由直线l 与曲线 C 有两个公共点，能求出实数m 的取值范围【详解】（1）方程253cos28可化为2253 2cos18，即22243cos4，把222xycosx代入可得222434xyx，整理可得第 17 页 共 18 页2214xy.（2）把2222xmtyt代入2214xy可得2252 2280tmtm，由条件可得222220 280mm，解之得55m，即实数m 的取值范围是5,5.【点睛】本题考查曲线的普通方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查根据的判别式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题23已知函数12fxxx.（1）关于 x 的不等式2fx的解集为M，且,12mmM，求实数m 的取值范围；（2）求22g xfxxx的最小值，及对应的x 的取值范围.【答案】（1）10,3（2）1,2【解析】（1）分当1x时和当1x时两种情况解不等式2fx，得到解集M，由,12mmM，可得12121mmm可解得实数m 的取值范围；（2）利用三角不等式可得2212121g xfxxxxxxx，可得22g xfxxx的最小值，及对应的x 的取值范围.【详解】（1）当1x时，不等式2fx可变为122xx，解之得1x，1x；当1x时，不等式2fx可变为122xx，解之得1x，x 不存在.综上可知，不等式2fx的解集为,1M.由,12mmM，可得12121mmm，解之得103m，即实数m 的取值范围是第 18 页 共 18 页10,3.（2）2212121g xfxxxxxxx，当且仅当120 xx，即12x时，g x取得最小值1，此时，实数 x的取值范围是1,2.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，三角不等式等知识，属中档题.