2020届河南省鹤壁市高级中学高三下学期线上第二次模拟数学(文)试题(解析版).pdf
第 1 页 共 19 页2020 届河南省鹤壁市高级中学高三下学期线上第二次模拟数学（文）试题一、单选题1集合0,1,2,3,4,5U，1,2A，2|30 xxBxN,，则UBAUe（）A0,1,2,3B0,4,5C1,2,4D4,5【答案】D【解析】根据集合的交、并、补运算得解.【详解】由题意得0,1,2,3B，所以0,1,2,3AB所以4,5UABe故选 D.【点睛】本题考查集合的交、并、补运算，属于基础题.2i为虚数单位，若复数512zii，则z（）A 1iB1iC1iD1i【答案】B【解析】对等式512zii进行复数四则运算得1iz，其共轭复数1iz【详解】因为51 2zii，所以55()512112iziiii，所以1iz，故选 B.【点睛】本题考查复数四则运算、共轭复数概念，考查基本运算能力，注意题目求的是复数z的共轭复数，而不是求复数z 3中国铁路总公司相关负责人表示，到2018 年底，全国铁路营业里程达到13.1 万公里，其中高铁营业里程2.9 万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014 年到 2018 年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）第 2 页 共 19 页A每相邻两年相比较，2014 年到 2015 年铁路运营里程增加最显著B从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程与年价正相关C2018 年高铁运营里程比2014 年高铁运营里程增长80%以上D从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程数依次成等差数列【答案】D【解析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项A，B显然正确；对于C，2.91.60.81.6，选项C正确；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9 不是等差数列，故D错.故选：D【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题4已知向量av，bv的夹角为60o，且2av，213abvv，bavv，则bv（）A3B3C2D4【答案】A【解析】对213abrr两边平方，转化成关于|br的二次方程，根据bavv，得到|3br【详解】因为213abrr，所以222244134|4|cos60|13aa bbaabborr rrrrrr，所以2|4|30bbrr，解得：|3br或1br|=，由bavv，所以|3br，故选 A.【点睛】第 3 页 共 19 页本题考查向量数量积的运算，考查方程思想，注意等式22|aarr的灵活运用5要得到函数sin 23 cos2yxx的图象，只需把函数3cos2sin 2yxx的图象（）A向左平移2个单位B向左平移23个单位C向右平移56个单位D向右平移3个单位【答案】A【解析】利用三角恒等变换思想化简三角函数的解析式，利用图象平移规律可得出结论.【详解】13sin23 cos22sin2cos22sin2223yxxxxx，函数2sin 22siin 2323cos2sin2232s n3yxxxxx，把函数3cos2sin 2yxx的图象向左平移2个单位，可得到函数sin23cos 2yxx的图象.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查推理能力，属于基础题.6若变量x，y满足约束条件103020 xyxyx，则yx的最大值是（）A13B12C-2 D32【答案】B【解析】作出不等式组对应平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论【详解】画出不等式组表示的可行域，第 4 页 共 19 页yx表示通过可行域内的点,x y与坐标原点的直线的斜率，又3020 xyx解得 C2,1，由图可知：点 C2,1与坐标原点0,0的连线斜率最大，即max1122yx.故选：B【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键7数列na的通项公式cos2nnan，其前n项和为nS，则2020S（）A1010B2020C5050D 0【答案】A【解析】计算出43424142kkkkaaaa，再由20204 505可得出2020S的值.【详解】对任意的kN，4342414kkkkaaaa343 cos 242 cos 241 cos 24 cos222kkkkkkkk第 5 页 共 19 页4242kk，20204 505Q，因此，20202 5051010S.故选：A.【点睛】本题考查数列求和，计算出43424142kkkkaaaa是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.8下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A12B13C41D42【答案】C【解析】令圆的半径为1，则2241SPS，故选 C。9 设等差数列na的前n项和为nS，若675SSS，则满足10nnS S的正整数n的值为（）A10 B 11 C12 D13【答案】C【解析】675SSS，111657654675222adadad，70a，670aa，113137131302aaSa，112126712602aaSaa，满足10nnS S的正整数n的值为 12，故选 C.10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）第 6 页 共 19 页A412B13C1D14【答案】A【解析】根据三视图判断出几何体的直观图，结合三视图的数据可计算出该几何体的体积.【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体可看作两个几何体的组合体，左侧是四分之一圆锥，右侧是四棱锥，圆锥的底面半径为1，高为1，棱锥的底面是边长为1的正方形，一条侧棱垂直于底面，且长度为1所以，该几何体的体积为211411133412VS h.故选：A.【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题11设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，P是双曲线C上的点，且1PF与x轴垂直，12PF F的内切圆的方程为22(1)(1)1xy，则双曲线第 7 页 共 19 页C的渐近线方程为（）A33yxB3yxC12yxD2yx【答案】B【解析】设内切圆的圆心为M，利用平几相关知识得211tan3MF F，再由倍角公式得213tan4PF F，从而得到1|3PF，利用双曲线的定义和222cab，求得3,1ba，代入渐近线方程得：3yx。【详解】设内切圆22(1)(1)1xy的圆心为M，如图所示：点12(2,0),(2,0),FF则2MF为21PF F的角平分线，所以211tan3MF F，所以212121222tan3tantan21tan4MF FPF FMF FMF F，所以1112|3|3|4PFPFF F，在12Rt PF F中，2|5PF，所以212|21aPFPFa，所以2,3cb，所以双曲线的渐近线方程为3byxxa，故选 B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，求解过程中灵活运用平面几何知识，能使运算量大大减少，使问题的求解更简洁。12 设奇函数fx的定义域为,22，且fx的图象是连续不间断，,02x，有cossin0fxxfxx，若2cos3fmfm，则m的取值范围是（）第 8 页 共 19 页A,23B0,3C,23D,32【答案】D【解析】构造函数cosfxg xx，可知该函数为奇函数，利用导数可判断出函数yg x在区间,02上为减函数，进而得出该函数在定义域,22上为减函数，将所求不等式变形为3g mg，利用函数yg x的单调性可解出所求不等式.【详解】令cosfxg xx，定义域为,22，因为函数yfx为奇函数，coscosfxfxgxg xxx，则函数cosfxg xx是定义在,22上的奇函数，2cossincosfxxfxxgxx，因为,02x，有cossin0fxxfxx，当,02x时，0gx，则cosfxg xx在,02上单调递减.则函数cosfxg xx是,22上的奇函数并且单调递减，又2cos3fmfm等价于3coscos3ffmm，即3g mg，3m，又22m，因此，32m.故选：D.【点睛】本题主要考查利用构造函数求解函数不等式，根据导数不等式的结构构造新函数是解答第 9 页 共 19 页的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13已知 2a=5b=m,且11ab=1,则 m=_.【答案】10【解析】因为 2a=5b=m,所以 a=log2m,b=log5m,由换底公式可得11ab=logm2+logm5=logm10=1,则 m=10.点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧14椭圆221164xy上的点到直线220 xy的最大距离是_【答案】10【解析】设与220 xy平行且与椭圆221164xy相切的直线方程为20 xyc，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0 求得 c 的值，把椭圆上的点到直线的最大距离转化为与椭圆的相切的的直线和其平行线间的距离.【详解】设直线20 xyc与椭圆221164xy相切由2220,1,164xycxy消去 x 整理得2284160ycyc.由216 320c得4 2c.当4 2c时符合题意(4 2c舍去)即 x+2y+4 2=0 与椭圆221164xy相切,椭圆221164xy上的点到直线第 10 页 共 19 页220 xy的最大距离即为两条平行线之间的距离:2224 21012d【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的关系，体现了数学转化思想方法，解答本题的关键是理解椭圆上的点到直线的最大距离，与这条直线和它平行且与椭圆的相切的直线间的距离的关系.15已知函数21,0,()log,0,xxf xx x在函数()1yff x的零点个数 _【答案】4【解析】当()10yff x时，()1ff x，所以()2f x，或1()2fx，本题转化为上述方程有几解，当()2f x时，3x或14x，当1()2f x时，12x或2x，所以共有四个解，因此零点个数为4 个，故填：416已知l为曲线lnaxyx在(1,)a处的切线，当直线l与坐标轴围成的三角形面积为12时，实数a的值为 _.【答案】0 或34【解析】求出函数的导数，求得在点(1,)a处的切线方程，令0 x求出y的值，令0y求出x的值，再由三角形的面积公式，得到关于a的方程，从而求得0 或34。【详解】因为21lnaxyx，所以(1)1ya，所以切线的方程为：(1)(1)yaax，令0 x得：21ya；令0y得：121axa，所以211|21|1|22|1|2aSxya，解得：a0 或34，故填：0 或34。【点睛】本题考查导数的几何意义、曲线在某点处的切线方程，考查运算求解能力。第 11 页 共 19 页三、解答题17在ABC中，三边a，b，c的对角分别为A，B，C，已知3a，coscoscos3sincosBACaBCb.（1）若2 3c，求sin A；（2）若AB边上的中线长为372，求ABC的面积.【答案】（1）34；（2）3 3.【解析】（1）利用正弦定理把等式coscoscos3sincosBACaBCb中的边化成角，利用三角恒等变换得到3C，再利用正弦定理sinsinacAC，求得3sin4A；（2）设AB边上的中线为CD，利用向量加法法则得2CDCACBuuu vuu u vuuu v，对式子两边平方转化成代数运算，求得4b，再利用三角形的面积公式1sin2ABCSabC求面积的值【详解】（1）因为coscoscos3sincosBACaBCb，由正弦定理，得coscoscos3sinsincossinBACABCB，所以cos()coscos3sinsincossinACACABCB.所以sinsin3 sincosACAC.又因为sin0A，所以tan3C.因为(0,)C，所以3C.又因为sinsinacAC，所以32 3sin32A，所以3sin4A.（2）设AB边上的中线为CD，则2CDCACBuuu vuu u vuuu v，所以22224()2cosCDCACBbaabCuu u vuu u vu u u v，即23793bb，23280bb.第 12 页 共 19 页解得4b或7b（舍去）.所以113sin433 3222ABCSabC.【点睛】本题考查正弦定理、面积公式在解三角形中的运用，解题过程中向量关系2CDCACBuuu vuu u vuu u v的两边平方后，本质是余弦定理18 如图，在矩形ABCD中，2AB，3BC，点E是边AD上的一点，且2AEED，点H是BE的中点，将ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SCSD.（1）证明：SHBCDE平面.（2）求四棱锥SBCDE 的体积.【答案】（1）见解析；（2）4 23【解析】（1）取CD的中点M，连接HM，SM，推导出SMCD，HMCD，由此能证明CDSHM平面，可得CDSH，结合SHBE证得SHBCDE平面.（2）由（1）结合垂直关系可计算四棱锥的高及底面的面积，能求出SBCDE的体积【详解】（1）取CD的中点M，连接HM，SM，由已知得2AEAB，2SESB，又点H是BE的中点，SHBE.因为SCSD，点M是线段CD的中点，SMCD.又因为/HMBC，HMCD，从而CD平面SHM，CDSH，又CD，BE不平行，SH平面BCDE.第 13 页 共 19 页（2）由（1）知2 sin452SHAH，113DEBC，底面BCDE的面积为13 1242S，四棱锥SBCDE的体积14 24233V.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查了空间思维能力，是中档题19某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务.现从全市已挂牌照的50000电动车中随机抽取100 辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图.（1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9 辆，再从这9 辆中随机抽取 2 辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；（2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：电动自行车每辆补助300元；电动汽车每辆补助500元；对电池需要更换的电动车每辆额外补助400 元.试求抽取的100 辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算.【答案】（1）56；（2）20800000.【解析】（1）根据频数图，利用分层抽样得电动自行车应抽取4 辆，电动汽车应抽取5第 14 页 共 19 页辆，再利用古典概型和对立事件求得：至少有一辆为电动汽车的概率为56；（2）由频数图，计算样本中100辆电动车共补助41600元，算出每辆电动车平均需补助的钱乘以50000可得估计出市政府执行此方案的预算。【详解】（1）根据分层抽样的原理，电动自行车应抽取20942025（辆），电动汽车应抽取25952025（辆）.从 9 辆电动车中抽取2 辆，设电动汽车和电动自行车分别为1a，2a，3a，4a，5a，1b，2b，3b，4b，可得抽法总数为36 种，其中 2 辆均为电动自行车的有1a2a,1a3a,1a4a,2a3a,2a4a,3a4a,共 6 种.“设从这 9辆中随机抽取2 辆，至少有一辆为电动汽车”为事件A，则65()1()1366P AP A.（2）由条件可知，这100 辆电动车中电动自行车60 辆，电动汽车40 辆，其中电池需要更换的电动自行车8 辆，电动汽车1 辆.根据补助方案可知，这100 辆电动车共补助60 30040 500940041600（元）.由样本估计总体，市政府执行此方案的预算大约需要416005000020800000100（元）.即为所求.【点睛】本题考查从图中抽取数据信息、古典概型计算概率、样本估计总体思想，考查基本数据处理能力。20已知动点P到直线54y的距离比到定点10,4的距离大1.（1）求动点P的轨迹C的方程.（2）若M为直线2yx上一动点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点为A，B，N为AB的中点.求证：MNx轴；直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）2xy；（2）证明见解析；1,22.第 15 页 共 19 页【解析】（1）由题意知，动点P到直线14y的距离等于到定点10,4的距离，符合抛物线的定义，求轨迹C的方程为2xy；（2）设动点(,2)M t t，211,A x x，222,B x x，利用导数求出切线,MA MB的方程分别为：21112yxxxx、22222yxxxx，从而有1x，2x为方程2220 xtxt的两根，证明点N的横坐标与点M的横坐标相等，从而证得MNx轴；由中的结论，把直线AB的方程写成含有参数t的形式，即2222()yttt xt并把方程看成关于t的一次函数，从而得到定点为1,22。【详解】（1）由动点P到直线54y的距离比到定点10,4的距离大1 得，动点P到直线14y的距离等于到定点10,4的距离，所以点P的轨迹为顶点在原点、开口向上的抛物线，其中12p，轨迹方程为2xy.（2）设切点211,A x x，222,B x x，2yx，所以切线MA的斜率为12x，切线2111:2MA yxxxx.设(,2)M t t，则有211122txx tx，化简得211220 xtxt.同理可得222220 xtxt.所以1x，2x为方程2220 xtxt的两根.则有122xxt，122x xt，所以122NMxxxtx.因此MNx轴.因为221212Nyxx2212121222xxx xtt，第 16 页 共 19 页所以2,22N ttt.又因为221212122ABxxkxxtxx，所以直线2:222()AByttt xt，即1222ytx.即直线过定点1,22.【点睛】本题考查抛物线的定义求方程、利用导数求切线方程、直线与抛物线相切、直线过定点等知识，考查运算求解和逻辑推理能力。特别是在求证直线过定点进，也可以有另外的思路，即把直线设成ykxb 的形式，然后寻找,k b的关系，再把直线方程转化成只含变量k或变量b的方程。21已知函数21()(1)ln2f xxaxax.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意的3,5a，1x，2121,3xxx，恒有1212fxfxxx，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）62 5,.【解析】（1）对函数进行求导后得到()fx(1)()(0)xxaxx，对a分情况进行讨论：1a、1a、01a、0a,；（2）由（1）知()f x 在1,3上单调递减，不妨设12xx，从而把不等式中的绝对值去掉得：1122fxxfxx，进而构造函数()()(13)h xf xxx剟，把问题转化为恒成立问题，求得实数的取值范围【详解】（1）()1afxxax2(1)xaxax(1)()(0)xxaxx，当1a时，2(1)()0 xfxx，所以()f x 在(0,)上单调递增；当1a时，(0,1)x或(,)a，()0fx，所以()f x 在(0,1)，(,)a上单调递增；(1,)xa，()0fx，所以()f x 在(1,)a上单调递减.当01a时，(0,)xa或(1,)，()0fx，所以()f x 在(0,)a，(1,)上单调第 17 页 共 19 页递增；(,1)xa，()0fx，所以()f x 在(,1)a上单调递减.当0a,时，(0,1)x，()0fx，所以()f x 在(0,1)上单调递减；(1,)x，()0fx，所以()f x 在(1,)上单调递增.（2）因为3,5a，由（1）得，()f x 在1,3上单调递减，不妨设12xx，由1212fxfxxx得1221fxfxxx，即1122fxxfxx.令()()(13)h xf xxx剟，()1ah xxax，只需()10ah xxax恒成立，即111axx(3,5,1,3)ax恒成立，即15 11xx，即56xx.因为5662 5xx（当且仅当5x时取等号），所以实数的取值范围是62 5,.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、全称量词和存在量词的综合、不等式恒成立问题等，对分类讨论思想的要求较高，在第（2）问的求解时，去掉绝对值后，构造新函数，再利用导数研究新函数是解决问题的难点22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1C的参数方程为cossinxtyt（t为参数），曲线2C的参数方程为3cos1sinxy（为参数）.（1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当4时，求曲线1C，2C的极坐标方程；（2）若曲线1C与曲线2C交于A，B两点（不重合），求|OAOB的取值范围.第 18 页 共 19 页【答案】（1）()4R,22sin2 3 cos30；（2）2 3,4.【解析】（1）把曲线1C，2C先化成普通方程，再化成极坐标方程；（2）把cos,sinxtyt（为参数）代人22311xy，利用参数的几何意义得12OAOBtt2sin2 3 cos4sin3，再根据直线与圆相交的几何性质得03，从而得以式子的取值范围2 3,4。【详解】（1）当4时，直线1C的极坐标方程为()4R.由23cos,:1sinxCy（为参数），得22311xy.极坐标方程为22sin2 3cos30.（2）把cos,sinxtyt（为参数）代人22311xy，得22sin2 3 cos30tt.设A，B对应的参数分别为1t，2t，则122sin2 3costt（由几何性质得03），12OAOBtt2sin2 3cos4sin3.因为03，所以2333.所以2 34sin43,.OAOB 的取值范围为2 3,4.【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程互化、参数的几何意义求范围，考查运算求解能力及转化与化归思想，在利用参数和的几何意义解题时，注意直线的参数方程的定点及标准形式问题。23己知0a，函数fxxa.（1）若2a，解不等式35fxfx；第 19 页 共 19 页（2）若函数2g xfxfxa，且存在0 xR使得202g xaa成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）|23xx；（2）(0,4【解析】（1）零点分段解不等式即可（2）等价于2max2g xac，由2xaxaxaxaa，得不等式即可求解【详解】（1）当2a时，12,13213,1221,2x xfxfxxxxxx，当1x时，由1 25x，解得21x；当12x时，由35，解得12x；当2x时，由215x，解得23x.综上可知，原不等式的解集为|23xx.（2）2g xfxfxaxaxa.存在0 xR使得202g xaa成立，等价于2max2g xaa.又因为2xaxaxaxaa，所以222aaa，即240aa.解得04a，结合0a，所以实数a的取值范围为0,4.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题
