2020年黑龙江省部分学校高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(解析版).pdf

2020 年高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）一、选择题（共12 小题）.1若集合Mx|x2，Nx|x26，则 MN（）A(-?，?)B(-，-?)C（，2）D(-，-?)(?，?)2设 z2+（3i）2，则?=（）A6+10iB610iC10+6iD10 6i3已知P 为椭圆?23+?22=1 短轴的一个端点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则PF1F2的面积为（）A2B4C?D2?42020 年 1 月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的70 名患者中了解到以下数据：潜伏期2 天3 天5 天6 天7 天9 天10 天12 天人数248101616104根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（）A6 天B7 天C8 天D9 天5若函数f（x）3x+log2（x2），则?(?)+?(103)=（）A24B25C26D276函数 f（x）|1+2sin2 x|的最小正周期为（）A?2BC3?2D27在平行四边形ABCD 中，若?=?，则?=（）A-45?+?B45?-?C-?+45?D-34?+?8已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且?=?，若 mS32S8+S24，则 m（）A715B12C815D7169已知双曲线?：?2?2-?2?2=?(?，?)的右顶点为A，直线?=32(?+?)与 C 的一条渐近线在第一象限相交于点P，若 PA 与 x 轴垂直，则C 的离心率为（）A?B?C2D310已知函数f（x）=-?-?+?，?-?-?，?，若关于x 的方程（f（x）-?）（f（x）m）0 恰有 5 个不同的实根，则m 的取值范围为（）A（1，2）B（2，5）1C1，5D2，5）111 某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A25?4B64?3C25D3212已知定义域为R 的函数 f（x）满足?(12)=12，?(?)+?，其中f（x）为 f（x）的导函数，则不等式f（sinx）cos2x0 的解集为（）A-?3+?，?3+?，?B-?6+?，?6+?，?C?3+?，2?3+?，?D?6+?，5?6+?，?二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13(?-1?3)?的展开式的第2 项的系数为14设 x，y 满足约束条件?-?+?+?+?-?，则当 z2x+y 取得最大值时，y15在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E 为棱 BC 的中点，若BD1与该正四棱柱的每个面所成角都相等，则异面直线C1E 与 BD1所成角的余弦值为16定义 p（n）为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如p（555）1，p（93）2，p（1714）3在等差数列an中，a29，a10 25，则 an，数列 p（an）的前 100 项和为三、解答题：本大题共5 小题，共70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分17设 a，b，c 分别为 ABC 内角 A，B，C 的对边已知acosBbcosA+c，（1）证明：ABC 是直角三角形（2）若 D 是 AC 边上一点，且CD3，BD5，BC6，求 ABD 的面积18甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2 倍，丙的命中率等于甲与乙的命中率之和若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为 0.18（1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率；（2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为X，求 X 的分布列及数学期望19如图，已知四棱锥PABCD 的底面 ABCD 为菱形，且PA底面 ABCD（1）证明：平面PBD平面 PAC（2）若 BAD 60，且平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为2 77，求 PCA的大小20设抛物线y22px（p0）的焦点为F，直线 l 与抛物线交于M，N 两点（1）若 l 过点 F，且|MN|3p，求 l 的斜率；（2）若?(?2，?)，且 l 的斜率为 1，当 P?l 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围（用p表示），并证明MPN 的平分线始终与y 轴平行21已知函数f（x）ex12lnx+x（1）求 f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）（x2）33（x2）（二）选考题：共10 分请考生从第22，23 两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一个题目计分选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy 中，曲线C：y k|x3|以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为?+27?=?(?+?)（1）求 E 的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线 E 与 C 恰有 4 个公共点，求k 的取值范围选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x5|2x+1|（1）求不等式f（x）1 的解集；（2）若不等式f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 对任意 x R，任意 t R 恒成立，求m 的取值范围参考答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合Mx|x2，Nx|x26，则 MN（）A(-?，?)B(-，-?)C（，2）D(-，-?)(?，?)【分析】求出集合M，N，由此能求出MN解：集合Mx|x2，Nx|x2 6，?=(-，-?)(?，+)，?=(-，-?)故选：B2设 z2+（3i）2，则?=（）A6+10iB610iC10+6iD10 6i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解：因为z2+86i10 6i，所以?=10+6i故选：C3已知P 为椭圆?23+?22=1 短轴的一个端点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则PF1F2的面积为（）A2B4C?D2?【分析】根据方程可得到b，c 的值，进而可求出面积解：根据条件可得b22，c232 1，则 b=?，c1，则 PF1F2的面积=12 2cbbc=?，故选：C42020 年 1 月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的70 名患者中了解到以下数据：潜伏期2 天3 天5 天6 天7 天9 天10 天12 天人数248101616104根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（）A6 天B7 天C8 天D9 天【分析】利用平均值的定义求解解：因为?=2 2+3 4+5 8+6 10+7 16+9 16+10 10+12 4707，所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7 天，故选：B5若函数f（x）3x+log2（x2），则?(?)+?(103)=（）A24B25C26D27【分析】直接把变量代入解析式，再结合对数的运算性质即可求解解：因为f（x）3x+log2（x 2），?(?)=?+?，?(103)=?+?43，所以?(?)+?(102)=?+?=?故选：D6函数 f（x）|1+2sin2 x|的最小正周期为（）A?2BC3?2D2【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的图象的变换的应用求出结果解：设函数g（x）sin2x，则函数的最小正周期为2?2=?，所以函数f（x）|1+2sin2x|的图象相当于函数的图象把x 轴下面的翻上去，所以函数的图象的翻折没有影响函数的的最小正周期，故最小正周期为 故选：B7在平行四边形ABCD 中，若?=?，则?=（）A-45?+?B45?-?C-?+45?D-34?+?【分析】利用向量三角形法则、向量的线性运算求出结果解：在平行四边形ABCD中，若?=?，所以?=45?，则?=?+?=?+45?=-45?+?故选：A8已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且?=?，若 mS32S8+S24，则 m（）A715B12C815D716【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得q4=?10?6=?，进而结合等比数列的前n 项和公式可得m?1(1-?32)1-?=?1(1-?8)1-?+?1(1-?24)1-?，解可得m 的值，即可得答案解：根据题意，等比数列an中?=?，则 q4=?10?6=?，则有 q8 2；若 mS32 S8+S24，则有 m?1(1-?32)1-?=?1(1-?8)1-?+?1(1-?24)1-?，变形可得：m（116）（1 2）+（18），即 15m8，解可得m=815；故选：C9已知双曲线?：?2?2-?2?2=?(?，?)的右顶点为A，直线?=32(?+?)与 C 的一条渐近线在第一象限相交于点P，若 PA 与 x 轴垂直，则C 的离心率为（）A?B?C2D3【分析】利用已知条件列出方程组，求出a，b 关系式，然后求解双曲线的离心率即可解：依题意，联立?=?，?=?，?=32(?+?)，得?=?，即 b23a2，所以 c2a23a2，即 c2 4a2，所以?=?=?故选：C10已知函数f（x）=-?-?+?，?-?-?，?，若关于x 的方程（f（x）-?）（f（x）m）0 恰有 5 个不同的实根，则m 的取值范围为（）A（1，2）B（2，5）1C1，5D2，5）1【分析】化简方程，求出函数的值，画出函数的图象，利用数形结合，求解函数的实数根，推出m 的范围即可解：函数?(?)=-?-?+?，?-?-?，?，关于 x 的方程(?(?)-?)(?(?)-?)=?，可得 f（x）=?或 f（x）m作出函数yf（x）的图象，如图所示：方程f（x）=?有3 个实数根，所以方程f（x）m 有 2 个实数根，故m 的取值范围：2，5）1 故选：D11 某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A25?4B64?3C25D32【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是三棱锥，底面三角形ABC 是边长为2的等边三角形，PA底面 ABC，找出三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是三棱锥，底面三角形ABC 是边长为2 的等边三角形，PA底面 ABC，设底面三角形ABC 的外心为 G，过 G作底面的垂线GO，且使 GO=12AP则 O 为三棱锥PABC 外接球的球心，连接OB，GB=233，OG2，三棱锥外接球的半径ROB=?+(233)?=433该几何体外接球的表面积为4(433)?=64?3故选：B12已知定义域为R 的函数 f（x）满足?(12)=12，?(?)+?，其中f（x）为 f（x）的导函数，则不等式f（sinx）cos2x0 的解集为（）A-?3+?，?3+?，?B-?6+?，?6+?，?C?3+?，2?3+?，?D?6+?，5?6+?，?【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论解：设 g（x）f（x）+2x21，g（x）f（x）+4x0 在 R 上恒成立，g（x）在 R 上单调递增，不等式f（sinx）cos2x f（sinx）+2sin2x1，且 g（12）0，不等式 f（sinx）cos2x0g（sinx）g（12），sinx12，?6+2kx x5?6+?，k Z故选：D二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13(?-1?3)?的展开式的第2 项的系数为20【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，求出展开式的第2 项的系数解：(?-1?3)?的展开式的第2 项的系数为?(-?)=-?，故答案为：2014设 x，y 满足约束条件?-?+?+?+?-?，则当 z2x+y 取得最大值时，y4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z2x+y得 y 2x+z，平移直线y 2x+z，当直线 y 2x+z 经过 A 点时，直线 y 2x+z 的截距最大，此时z 最大，A（3，4），则 z2x+y 23+410，此时 y4故答案为：415在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E 为棱 BC 的中点，若BD1与该正四棱柱的每个面所成角都相等，则异面直线C1E 与 BD1所成角的余弦值为 155【分析】推丑陋同该正四棱柱为正方体，取B1C1的中点 F，连结 BF，D1F，BD1，则FBD1是异面直线C1E 与 BD1所成角，由此能求出异面直线C1E 与 BD1所成角的余弦值解：BD1与该正四棱柱的每个面所成角都相等，该正四棱柱为正方体，取 B1C1的中点 F，连结 BF，D1F，BD1，则 FBD1是异面直线C1E 与 BD1所成角，设 AB2，则 BF D1F=?，BD1 2?，cos FBD1=5+12-52235=155异面直线C1E 与 BD1所成角的余弦值为 155故答案为：15516定义 p（n）为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如p（555）1，p（93）2，p（1714）3在等差数列 an中，a29，a10 25，则 an2n+5，数列 p（an）的前 100 项和为227【分析】在等差数列an中，a2 9，a1025，公差d2，利用通项公式可得an可得a17，a100205an为奇数，通过分类讨论：p（an）1p（an）2p（an）3即可得出解：在等差数列 an中，a29，a1025，公差 d=25-910-2=2，an9+2（n2）2n+5a17，a100 205an为奇数，an7，9，11，33，55，77，99，111 时，p（an）1an101，113，115，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181，191，199 时，p（an）2在an中，小于100 的项共有47 项，这 47 项中满足p（an）2 的共有 47740 项，故数列 p（an）的前 100 项和为：18+2（40+17）+3（10084017）227故答案为：2n+5，227三、解答题：本大题共5 小题，共70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分17设 a，b，c 分别为 ABC 内角 A，B，C 的对边已知acosBbcosA+c，（1）证明：ABC 是直角三角形（2）若 D 是 AC 边上一点，且CD3，BD5，BC6，求 ABD 的面积【分析】（1）利用正弦定理化角，然后由三角函数值相等得到角之间的关系，即可求出A 是直角；（2）先在 DBC 中利用余弦定理求出C 角，然后再在直角三角形ABC 中求出 AB，AC，则面积可求【解答】解（1）由正弦定理acosBbcosA+c 化为：sinAcosBsinBcosA+sinC，sinAcosB sinBcosAsinC，sin（AB）sinC，AB（，），C（0，），ABC 或 AB C（舍）AB+C，?=?2即 ABC 是直角三角形（2）在 RtBCD 中，CD3，BD5，BC6，由余弦定理得?=?2+?2-?22?=59?=2149?=?=103，AD ACCD=13，又?=?=4143?=12?=214918甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2 倍，丙的命中率等于甲与乙的命中率之和若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为 0.18（1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率；（2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为X，求 X 的分布列及数学期望【分析】（1）设甲的命中率为p，则根据题意可得，p2p 0.18，求出即可；（2）根据题意，X 可能取得值为0，1，2，3，求出 X 的分布列和数学期望，得出答案解：（1）设甲的命中率为p，则根据题意可得，p2p0.18，p 0.3，故甲乙丙投篮的命中率分别为0.3，0.6，0.9；（2）根据题意，X 可能取得值为0，1，2，3，则 P（X0）（10.3）（10.6）（10.9）0.028，P（X 1）0.3（10.6）（10.9）+（1 0.3）0.6（10.9）+（10.3）（10.6）0.90.306，P（X2）0.30.6（10.9）+（10.3）0.60.9+0.3（10.6）0.90.504，P（X 3）0.30.60.90.162，故 X 的分布列为：X0123P0.0280.3060.5040.162EX00.028+10.306+20.504+30.1621.819如图，已知四棱锥PABCD 的底面 ABCD 为菱形，且PA底面 ABCD（1）证明：平面PBD平面 PAC（2）若 BAD 60，且平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为2 77，求 PCA的大小【分析】（1）证明 BD ACPABD推出 BD 平面 PAC即可证明平面PBD平面 PAC（2）设 AC 与 BD 交于点 O，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz，如图所示，求出平面PAB 的法向量，平面PCD 的法向量，设平面PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角为，通过空间向量的数量积求解即可【解答】（1）证明：因为底面ABCD为菱形，所以 BDAC因为 PA底面 ABCD，所以 PABD又 ACPA A，所以 BD平面 PAC因为 BD?平面 PBD，所以平面PBD平面 PAC（2）解：设AC 与 BD 交于点 O，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，设 AB2，PA t（t0），则?(-?，?，?)，?(-?，?，?)，?(?，?，?)，?(?，-?，?)，?(?，?，?)，则?=(?，?，-?)，?=?=(?，?，?)，?=(?，-?，-?)设平面 PAB 的法向量为?=(?，?，?)，则?=-?=?，?=?+?=?，令 x1，得?=(?，-?，?)设平面 PCD 的法向量为?=(?，?，?)，则?=?-?-?=?，?=?+?=?，令 xt，得?=(?，-?，?)设平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角为，则?=|?|?|?|=4?24?2+12=277，解得 t2，则?=?23=33，故 PCA 3020设抛物线y22px（p0）的焦点为F，直线 l 与抛物线交于M，N 两点（1）若 l 过点 F，且|MN|3p，求 l 的斜率；（2）若?(?2，?)，且 l 的斜率为 1，当 P?l 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围（用p表示），并证明MPN 的平分线始终与y 轴平行【分析】（1）当直线 l 的斜率不存在时，判断是否满足题意；设其方程为?=?(?-?2)(?)联立直线与抛物线方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），通过韦达定理以及抛物线的性质，求解即可（2）设直线 l 的方程为y x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）直线代入抛物线方程，利用韦达定理以及判别式，转化求解kPM+kPN 0，说明直线PM，PN 的斜率互补，从而MPN 的平分线始终与y 轴平行解：（1）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为?=?2，代入抛物线方程可得y2 p2，即 y p，所以|MN|2p，但|MN|3p，故直线 l 的斜率存在，设其方程为?=?(?-?2)(?)由?=?(?-?2)，?=?，得?-(?+?)?+?2?24=?，设 M（x1，y1），N（x2，y2），则?+?=?2?+2?2，所以|?|=|?|+|?|=?+?2+?+?2=?+?+?=?2?+2?2+?=?，解得?=?，所以直线l 的斜率为?（2）设直线 l 的方程为y x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）得 x2（2m+2p）x+m2 0，则?+?=?+?，?=?由（2m+2p）24m20，得?-?2又-?2+?，所以?3?2，从而l 在 y 轴上的截距的取值范围为(-?2，3?2)(3?2，+)?+?=?1-?1-?2+?2-?2-?2=(?1-?)(?2-?2)+(?2-?)(?1-?2)(?1-?2)(?2-?2)=(-?1+?-?)(?2-?2)+(-?2+?-?)(?1-?2)(?1-?2)(?2-?2)=-2?1?2+(?-?2)(?1+?2)-?(?-?)(?1-?2)(?2-?2)=-2?2+(?-?2)(2?+2?)-?(?-?)(?1-?2)(?2-?2)=?，所以直线PM，PN 的斜率互补，从而 MPN 的平分线始终与y 轴平行21已知函数f（x）ex12lnx+x（1）求 f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）（x2）33（x2）【分析】（1）求导，令f（x）0，求得单调减区间，令f（x）0，求得单调增区间；（2）当 0 x 3时，易得 f（x）（x2）33（x 2），当 x 3 时，通过多次求导，进而判断函数单调性，由此求得最值，由此即可得证解：（1）f（x）的定义域为（0，+），?(?)=?-?-2?+?，易知?(?)=?-?-2?+?在（0，+）上单调递增，且f（1）0，令 f（x）0，解得 0 x 1，则 f（x）的单调递减区间为（0，1）；令 f（x）0，解得 x1，则 f（x）的单调递增区间为（1，+）；（2）证明：设 g（x）（x2）33（x2）（x0），g（x）3（x1）（x3），令 g（x）0，解得 1x3，令 g（x）0，解得 0 x1 或 x3，当 x1 时，g（x）取得极大值，且极大值为2，由（1）知，f（x）minf（1）2，故当 0 x3 时，f（x）（x 2）33（x 2），设 h（x）f（x）g（x）ex12lnx（x 2）3+4x6（x 3），则?(?)=?-?-2?-?(?-?)?+?，设?(?)=?(?)，?(?)=?-?+2?2-?(?-?)，设?(?)=?(?)，?(?)=?-?-4?3-?，易知 q（x）在（3，+）上单调递增，则?(?)?(?)=?-427-?，则 q（x）在（3，+）上单调递增，从而?(?)?(?)=?+29-?，则 h（x）在（3，+）上单调递增，所以?(?)?(?)=?+13?，则 h（x）在（3，+）上单调递增，于是 h（x）h（3）e2+52ln30，故当 x3 时，f（x）（x2）33（x2）；综上，f（x）（x 2）3 3（x2）一、选择题22在直角坐标系xOy 中，曲线C：y k|x3|以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为?+27?=?(?+?)（1）求 E 的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线 E 与 C 恰有 4 个公共点，求k 的取值范围【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果解：（1）曲线E 的极坐标方程为?+27?=?(?+?)转换为直角坐标方程为x2+y26x12y+270，整理得（x3）2+（y6）218（2）易知曲线C 过定点 M（3，0）其图象关于直线x3 对称的“V”字形由于曲线E 是以（3，6）为圆心 3?为半径的圆，所以 k0，当 x3 时，曲线C 的方程为ykx 3k，即 kx y3k 0，则圆心（3，6）到直线的距离d=|3?-6-3?|1+?2=61+?2?，解得 k2 1，由于 k 0，所以 k1选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x5|2x+1|（1）求不等式f（x）1 的解集；（2）若不等式f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 对任意 x R，任意 t R 恒成立，求m 的取值范围【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）原不等式等价为|2x5|+|2x+1|t m|t+4|+m，由绝对值不等式的性质分别求得此不等式的左右两边的最小值和最大值，解绝对值不等式，可得所求范围解：（1）|2x 5|2x+1|1 等价为?-12?-?+?+?或-12?52?-?-?-?或?52?-?-?-?，解得 x-12或-12x34或 x?，所以原不等式的解集为（，34）；（2）不等式 f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 等价为|2x5|+|2x+1|tm|t+4|+m，可令 h（x）|2x 5|+|2x+1|，则 h（x）|2x 52x1|6，当且仅当（2x5）（2x+1）0，取得等号，即h（x）min6，而|tm|t+4|+m|tmt4|+mm+|m+4|，由题意可得6 m+|m+4|，即 m6m+46m，解得 m1，则 m 的取值范围是（，1）