2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第51课-简单的轨迹方程Word版含解析.pdf

1 第 51 课简单的轨迹方程1.了解曲线与方程的对应关系.2.了解求轨迹方程的一些常见方法：定义法、直接法、相关点法，并能学会运用这些方法求简单轨迹(方程).1.阅读：选修21 教材第 6065 页.2.解悟：求曲线方程的一般步骤是什么？你能用流程图表示出来吗？建立圆、椭圆、双曲线、抛物线方程的过程，查看教材相应内容；求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么.3.践习：在教材空白处，完成选修21 第 64 页练习 1，2.基础诊断1.已知点 P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(xy，xy)的轨迹方程为y12x212，x 2，2.解析：因为点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上，所以x2y21.设点 Q(x0，y0)(xy，xy)，则x0 xy，y0 xy，所以 x20 x22xyy21 2y0，即点Q 的轨迹方程为y12x212.因为xy2x2y2222，所以 xy2，2，即 x0 2，2，所以点Q 的轨迹方程为y12x212，x2，2.2.两条直线xmy10 与 mxy1 0 的交点的轨迹方程是x2y2xy0(x2y2 0).解析：设交点坐标为(a，b)，则坐标满足方程组abm10，amb10，解得ma 1b，m1 ba，即a1b1ba，则 a2b2ab0，故交点的轨迹方程为x2y2xy0(x2y20).3.若分别过点A1(1，0)，A2(1，0)作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是x2y21.解析：交点M 的轨迹是以A1A2为直径的圆，所以圆心为(0，0)，半径为1，轨迹方程为 x2y21.4.若动圆 M 过点 P(0，2)且与直线y 2 相切，则圆心M 的轨迹方程是x2 8y.解析：根据题意动圆的圆心M 到点 P(0，2)与到直线y 2 的距离相等，则M 的轨迹为以 P(0，2)为焦点，直线y 2 为准线的抛物线，则其轨迹方程为x28y.范例导航考向?直接法求轨迹方程2 例 1已知线段AB 长为 2，动点 M 到 A，B 两点的距离的平方和为10，求点 M 的轨迹方程.解析：以 AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则点 A，B 的坐标分别为(1，0)，(1，0).设动点 M 的坐标为(x，y)，因为动点 M 到 A，B 两点的距离的平方和为10，所以 MA2 MB210，所以(x1)2y2(x1)2y210，化简得 x2y2 4.在平面直角坐标系xOy 中，点 B 与点 A(1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与 BP 的斜率之积等于13，求动点 P 的轨迹方程.解析：因为点B 与点 A(1，1)关于原点 O 对称，所以点 B 的坐标为(1，1).设点 P 的坐标为(x，y).因为直线 AP 与 BP 的斜率之积等于13，所以y 1x 1y1x113(x 1)，化简得 x23y24(x 1).故所求动点P的轨迹方程为x23y24(x 1).考向?相关点法求轨迹方程例 2已知 B 是椭圆x2a2y2b21 上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB 的中点 M 的轨迹方程.解析：设动点M 的坐标为(x，y)，设点 B 的坐标为(x0，y0)，由 M 为线段 AB 的中点，得x02a2x，y002y，所以x02x2a，y02y，即点 B 的坐标为(2x2a，2y).又 B 是椭圆x2a2y2b21 上的动点，所以x20a2y20b21，将点 B 的坐标为(2x2a，2y)代入得（2x2a）2a2（2y）2b21，整理得点 M 的轨迹方程为4（x a）2a24y2b21.如图，设 0，点 A 的坐标为(1，1)，点 B 在抛物线yx2上运动，且满足BQ QA，3 经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点M，点 P 满足 QM MP，求点 P 的轨迹方程.解析：由 QM MP知，Q，M，P三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则 x2y0(y x2)，所以 y0(1)x2y.设点 B(x1，y1)，由 BQ QA得(xx1，y0y1)(1 x，1y0)，从而x1（1）x，y1（1）y0.将式代入式，消去y0，得x1（1）x，y1（1）2x2（1）y.又点 B 在抛物线yx2上，所以 y1x21，将式代入得(1)2x2(1)y (1)x2，化简整理得2(1)x (1)y(1)0，又 0，两边同除以(1)，得 2xy10.故所求点 P 的轨迹方程为y2x 1.自测反馈1.已知定点A(3，0)和定圆 C：(x3)2y216，动圆 P 与圆 C 相外切，并且过点A，则动圆圆心P 的轨迹方程为x24y251(x2).解析：设点P 的坐标为(x，y).因为圆 C 与圆 P相外切且圆P 过点 A，所以 PCPA4.因为 AC 64，所以点P 的轨迹是以A，C 为焦点的双曲线的右支.因为 a2，c3，所以b2c2a25，所以动圆圆心P的轨迹方程为x24y251(x2).2.设 F(1，0)，点 M 在 x 轴上，点P 在 y 轴上，且 MN2MP，PM PF，当点 P 在 y轴上运动时，则点N 的轨迹方程为y24x.解析：设点M(m，0)，P(0，n)，N(x，y)，由 MN 2MP得(xm，y)2(m，n)，则x m 2m，y 2n，解得m x，ny2.又因为 PMPF，PM(m，n)，PF(1，n)，所以 mn20，即 xy240，即 y24x.故点 N 的轨迹方程为y24x.4 3.与两定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为1 2 的点 M 的轨迹方程为x2y22x30.解析：设点M(x，y)，由题意知OM12AM，由两点间距离公式得x2y214(x3)2y2，化简整理得x2y22x30.4.已知点 A(2，0)，B(3，0)，且动点P(x，y)满足 PA PBx2，则点 P 的轨迹方程为y2x6.解析：由题意得PA(2x，y)，PB(3x，y).又因为 PA PBx2，所以(2x)(3x)y2 x2，化简得y2x6，故点 P的轨迹方程为y2x6.1.求曲线的方程一般有建系、设点、列式、化简、证明五个步骤，最后的证明可以省略，如有特殊情况，可作适当的说明，要注意挖去或补上一些点.2.将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即可得到动点的轨迹方程.3.你还有哪些体悟，写下来：5