2021年高考数学椭圆复习题(9).pdf

第 1 页 共 1 页2021 年高考数学椭圆复习题9已知椭圆C1：?2?2+?2?2=1（ab0）的右顶点与抛物线C2：y22px（p 0）的焦点重合C1的离心率为12，过 C1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截C2所得的弦长为4 2（1）求椭圆 C1和抛物线C2的方程；（2）过点 M（3，0）的直线 l 与椭圆 C1交于 A，B 两点，点 B 关于 x 轴的对称点为点E，证明：直线AE 过定点【解答】解：（1）由 C1 的离心率为12，可得?=12，所以 a2c，因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，所以a=?2，p2a，所以可得p4c，过 C1的右焦点F 且垂直于 x 轴的直线截C2所得的弦长为4 2，令 xc 代入抛物线的方程：可得y22p?c，所以|y|=2?=2 2c，即 4 2=2?2 2?，解得 c1，所以 a 2，p4c4由 b2a2 c2可得 b2413，所以椭圆C1和抛物线C2的方程分别为：?24+?23=1，y2 8x；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：x my+3，设 A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得E（x2，y2），直线与椭圆联立：?=?+33?2+4?2-12=0，整理可得：（4+3m2）y2+18my+150，182m24（4+3m2）?150，可得 m27，y1+y2=-18?4+3?2，y1y2=154+3?2，直线AE 的方程为：y y1=?1+?2?1-?2（x x1），整理可得：y=?1+?2?1-?2x-?1?1+?2?1?1-?2+?1?1-?1?2?1-?2=?1+?2?(?1-?2)x-?2(?1+3)+?1(?2+3)?(?1-?2)=-18(?1-?2)(4+3?2)x+24(?1-?2)(4+3?2)=-18(?1-?2)(4+3?2)（x-43）所以当 x=43时，y0，即过定点（43，0），所以可证直线AE 过定点（43，0）