【精编版】高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)第八章抛物线教学案新人教A版.pdf

1 抛_物_线 知识能否忆起 1抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y2 2px(p 0)图形范围x0，yRx0，yR对称轴x轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标p2，0p2，0准线方程xp2xp2离心率e1 标准方程x22py(p0)x2 2py(p 0)图形范围y0，xRy0，xR对称轴y轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标0，p20，p22 准线方程yp2yp2离心率e1 小题能否全取 1(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程是()Ax2 12yB x212yCy2 12xD y212x解析：选 A p23，p 6，x2 12y.2(教材习题改编)抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值是()A.18B18C8 D 8 解析：选 B 抛物线的标准方程为x21ay.则a0 且 214a，得a18.3已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为()A4 B6 C10 D16 解析：选 D 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点F(0，1)，准线方程是y 1，直线l：y3x1，由y3x1，x2 4y，消去x得y214y10，y1y214，|AB|AF|BF|(y11)(y21)(y1y2)2 16.4(2012郑州模拟)已知斜率为2 的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且与y轴相交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为_解析：依题意得，|OF|a4，又直线l的斜率为2，可知|AO|2|OF|a2，AOF的面积等于12|AO|OF|a216 4，则a264.又a 0，所以a 8，该抛物线的方程是y28x.答案：y28x5设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_解析：其准线方程为x 2，又由点P到y轴的距离为4，则P点横坐标xP4，由定3 义知|PF|xPp26.答案：6 1.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助2用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用3由y2mx(m0)或x2my(m0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可抛物线的定义及应用典题导入 例 1(1)(2011 辽宁高考)已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B 1 C.54D.74(2)(2 012曲阜师大附中质检)在抛物线C：y 2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A(2,1)B(1,2)C(2,1)D(1,2)自主解答 (1)如图，由抛物线的定义知，|AM|BN|AF|BF|3，|CD|32，所以中点C的横坐标为321454.(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x 1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)答案 (1)C(2)B 由题悟法4 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解以题试法1(2012安徽高考)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知，点A到准线x 1 的距离为3，点A的横坐标为2.将x2 代入y24x得y28，由图知，y22，A(2,22)，直线AF的方程为y 22(x1)又y22x1，y24x，解得x12，y2，或x 2，y 22.由图知，点B的坐标为12，2，|BF|12(1)32.答案：32抛物线的标准方程及几何性质典题导入 例 2(1)(2012 山东高考)已知双曲线C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2 2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2833yB x21633yCx28yD x216y(2)(2012 四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A22 B 23 C4 D 25 5 自主解答 (1)双曲线C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为2，caa2b2a 2，b3a，双曲线的渐近线方程为3xy0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的距离为30p222，p 8.所求的抛物线方程为x2 16y.(2)依题意，设抛物线方程是y22px(p0)，则有 2p23，得p2，故抛物线方程是y24x，点M的坐标是(2，22)，|OM|22823.答案 (1)D(2)B 由题悟法1求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式2研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用以题试法2(2012南京模拟)已知抛物线x24y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|32|MN|，则NMF_.()解析：过N作准线的垂线，垂足为H，则|NF|NH|32|MN|，如图 cos MNH32，MNH6，NMF6.答案：6直线与抛物线的位置关系典题导入 例 3(2012福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上(1)求抛物线E的方程；6(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y 1 相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点 自主解答 (1)依题意，|OB|83，BOy30.设B(x，y)，则x|OB|sin 30 43，y|OB|cos 30 12.因为点B(43，12)在x22py上，所以(43)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证明：由(1)知y14x2，y12x.设P(x0，y0)，则x00，y014x20，且l的方程为yy012x0(xx0)，即y12x0 x14x20.由y12x0 x14x20，y 1，得xx2042x0，y 1.所以Q为x2042x0，1.设M(0，y1)，令MPMQ0 对满足y014x20(x00)的x0，y0恒成立由于MP(x0，y0y1)，MQx2042x0，1y1，由MPMQ0，得x2042y0y0y1y1y210，即(y21y12)(1 y1)y00.(*)由于(*)式对满足y014x20(x00)的y0恒成立，所以1y10，y21y120，解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)由题悟法1设抛物线方程为y22px(p0)，直线AxByC0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0.(1)若m0，当0 时，直线与抛物线有两个公共点；当0 时，直线与抛物线只有一个公共点；当0 时，直线与抛物线没有公共点(2)若m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行7 2与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)(1)y1y2p2，x1x2p24.(2)|AB|x1x2p2psin2(为AB的倾斜角)(3)SAOBp22sin(为AB的倾斜角)(4)1|AF|1|BF|为定值2p.(5)以AB为直径的圆与准线相切(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切(7)CFD90.以题试法3(2012泉州模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y24x的焦点F.(1)若点O到直线l的距离为12，求直线l的方程；(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明解：(1)抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x 1不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，即kxyk 0.所以，|k|1k212，解得k33.故直线l的方程为：y33(x1)，即x3y10.(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：设A(x0，y0)，则y204x0.因为|BF|AF|x01，所以B(x0,0)所以直线AB的方程为：yy02x0(xx0)，整理得：x2x0yy0 x0把方程代入y24x得：y0y28x0y 4x0y00，64x2016x0y2064x2064x200，所以直线AB与抛物线相切8 1(2012济南模拟)抛物线的焦点为椭圆x24y291 的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()Ax2 45yBy2 45xCx2 413yDy2 413x解析：选A 由椭圆方程知，a29，b24，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，c)，其中ca2b25.抛物线焦点坐标为(0，5)，抛物线方程为x2 45y.2(2012东北三校联考)若抛物线y22px(p0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10 和 6，则p的值为()A2 B18 C2 或 18 D4 或 16 解析：选 C 设P(x0，y0)，则x0p210，|y0|6，y202px0，362p10p2，即p220p 360，解得p2 或 18.3(2013大同模拟)已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70 相切，则p的值为()A2 B1 C.12D.14解析：选 A 注意到抛物线y22px的准线方程是xp2，曲线x2y26x70，即(x 3)2y216 是圆心为(3,0)，半径为4 的圆于是依题意有p23 4.又p0，因此有p234，解得p2.4(2012郑州模拟)已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.6或56B.4或349 C.3或23D.2解析：选 B 由焦点弦长公式|AB|2psin2得6sin212，所以 sin 22，所以4或34.5(2012唐山模拟)抛物线y22px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)若点F恰为ABC的重心，则直线BC的方程为()Axy0 Bxy0 C2xy10 D2xy10 解析：选 C 点A在抛物线上，42p，p2，抛物线方程为y24x，焦点F(1,0)设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有y214x1，y22 4x2，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)得kBCy1y2x1x24y1y2.又y1y2230，y1y2 2，kBC 2.又x1x2131，x1x2 2，BC中点为(1，1)，则BC所在直线方程为y1 2(x1)，即 2xy10.6(2013湖北模拟)已知直线yk(xm)与抛物线y22px(p0)交于A、B两点，且OAOB，ODAB于D.若动点D的坐标满足方程x2y24x0，则m()A1 B 2 C3 D 4 解析：选 D 设点D(a，b)，则由ODAB于D，得ba1k，bkam，则bkm1k2，abk；又动点D的坐标满足方程x2y24x0，即a2b24a0，将abk代入上式，得b2k2b2 4bk 0，即bk2b4k0，k3m1k2km1k2 4k0，又k0，则(1 k2)(4 m)0，因此m 4.7(2012乌鲁木齐模拟)过抛物线y24x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足OB,OA,OF,(O为坐标原点)，则BOF的面积是 _解析：由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为yk(x1)(可知k存在)，则A(0，10 k)，B(1，k)，由点B在抛物线上，得k24，k2，即B(1，2)，SBOF12|OF|yB|1212 1.答案：1 8(2012渭南模拟)已知抛物线C：y14x2，则过抛物线焦点F且斜率为12的直线l被抛物线截得的线段长为_解析：由题意得l的方程为y12x1，即x2(y1)代入抛物线方程得y(y 1)2，即y23y10.设线段端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段长度为y1y2p5.答案：5 9(2012广州模拟)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线y28x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|2|FB|，则k的值为 _解析：直线yk(x2)恰好经过抛物线y2 8x的焦点F(2,0)，由y28x，ykx2可得ky28y16k 0，因为|FA|2|FB|，所以yA 2yB，则yAyB 2yByB8k，所以yB8k，yAyB 16，所以 2y2B 16，即yB22，又k0，故k22.答案：22 10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为 22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的准线的距离为54.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分(1)求p，t的值；(2)求ABP面积的最大值解：(1)由题意知2pt1，1p254，得p12，t1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)，设直线AB的斜率为k(k0)由y21x1，y22x2，得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，所以直线AB的方程为ym12m(xm)，即x2my 2m2m0.由x2my2m2m0，y2x，消去x，整理得y2 2my2m2m0，所以4m4m20，y1y22m，y1y2 2m2m.从而|AB|11k2|y1y2|14m24m4m2.设点P到直线AB的距离为d，则d|1 2m 2m2|14m2，设ABP的面积为S，则S12|AB|d|1 2(mm2)|mm2.由4m 4m20，得 0m1.令umm2，0u12，则Su2u3，14 S(u)16u2.由S(u)0，得u66 0，12，所以S(u)maxS6669.故ABP面积的最大值为69.1(2012北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为 _解析：直线l的方程为y3(x1)，即x33y1，代入抛物线方程得y2433y40，解得yA433163 16223(yB 0，舍去)，故OAF的面积为121233.答案：3 2(2012东城模拟)已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A12，m，A点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程；(2)设M(x0，y0)为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条相互垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点(x02，y0)；(3)直线xmy1 0 与抛物线交于E，F两点，问在抛物线上是否存在点N，使得NEF为以EF为斜边的直角三角形？若有，求出该点存在时需满足的条件；若无，请说明理由解：(1)由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则由抛物线的定义可得p2121，即p1，所以该抛物线的方程为y22x.(2)由题意知直线PQ与x轴不平行，设直线PQ的方程为xmyn，代入y22x得y22my2n 0.所以y1y22m，y1y2 2n，其中y1，y2分别是P，Q的纵坐标，x1，x2分别是P，Q的横坐标因为MPMQ，所以kMPkMQ 1.15 即y1y0 x1x0y2y0 x2x0 1，又由x1y212，x2y222，x0y202，代入上式得2y1y02y2y0 1，所以(y1y0)(y2y0)4.即y1y2(y1y2)y0y2040，所以(2n)2my0 2x040，即nmy0 x02.所以直线PQ的方程为xmymy0 x02，所以直线PQ恒过定点(x02，y0)(3)假设存在点N(x0，y0)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)由y22x，xmy10，消去x得y22my20，则y1y2 2m，y1y22，且(2m)280，即m22.由于NENF，所以y1y0 x1x0y2y0 x2x0 1，又点E，F，N在抛物线上，所以x1y212，x2y222，x0y202，代入y1y0 x1x0y2y0 x2x0 1，得2y1y02y2y0 1，即(y1y0)(y2y0)4，即y1y2y0(y1y2)y2040，将y1y2 2m，y1y22 代入并整理得y202my060，只要 4m2240，即m26，该方程即有实数解所以只要m26 就存在满足条件的点N，当m26时不存在满足条件的点N.