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隐函数导数、参数式函数导数隐函数导数、参数式函数导数12021/2/22第三节第三节 高高 阶阶 导导 数数高等数学高等数学22021/2/223.3.间接法间接法:常用高阶导数公式常用高阶导数公式 利用的高阶导数公式利用的高阶导数公式,通过四那么通过四那么运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.32021/2/22例例解解42021/2/22例例解解假设直接求导假设直接求导,将是很复杂的将是很复杂的,且不易找出规且不易找出规律律,所以将式子恒等变形所以将式子恒等变形.52021/2/22例例解解 分析分析此函数是此函数是6次多项式次多项式,故不需将函数因式全乘出来故不需将函数因式全乘出来.因为因为其中其中为为x的的6次多项式次多项式,故故又是求又是求6阶导数阶导数,62021/2/22练习练习1.1.如何求以下函数的如何求以下函数的 n n 阶导数阶导数?解解:解解:72021/2/222.试从试从 导出导出解：解：同样可求同样可求(见见 P103 题题4)82021/2/22第四节第四节 隐函隐函 数数 的导数的导数 参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数的导数的导数高等数学高等数学第二章第二章92021/2/22例例 求圆周求圆周 在点在点 处的切线方程处的切线方程解法一：由解法一：由 得得取正号取正号引引 例例一、隐函数的导数一、隐函数的导数102021/2/22所以所以切线方程为切线方程为即即 该解法需要解出一个变量，确定一个函数化该解法需要解出一个变量，确定一个函数化隐函数为显函数，假如求解方程困难，此解法失隐函数为显函数，假如求解方程困难，此解法失效。效。假如不解出一个变量，而能求解，是一个不错假如不解出一个变量，而能求解，是一个不错的想法，下面给出隐函数求导方法。的想法，下面给出隐函数求导方法。112021/2/22解法二：方程解法二：方程 两边关于两边关于 求导求导解之得解之得所以所以 以下步骤同解法一略以下步骤同解法一略122021/2/22一、隐函数的导数一、隐函数的导数称形如称形如为显函数。为显函数。其特点是：方程左边是因变量，而右边那么是含其特点是：方程左边是因变量，而右边那么是含有自变量的一个表达式。有自变量的一个表达式。而方程而方程确定了一个确定了一个 y 关于关于 x 函数函数同样同样称之为隐函数。称之为隐函数。定义定义:由方程由方程所确定的函数所确定的函数 y=y(x)，称之为隐函数。，称之为隐函数。也确定了一个也确定了一个 y 关于关于 x 函数函数132021/2/22问题问题:隐函数不易显化或不能显化时如何求导隐函数不易显化或不能显化时如何求导?有些隐函数可以显化，如方程有些隐函数可以显化，如方程有些那么不能，如方程有些那么不能，如方程隐函数的显化隐函数的显化隐函数求导法那隐函数求导法那么么 用复合函数求导法那用复合函数求导法那么么,并注意到其中并注意到其中将方程两边对将方程两边对x求导求导.变量变量y是是x的函数的函数.142021/2/22例例解解注意注意 y=y(x)代入上式代入上式解得解得152021/2/22隐函数的求导步骤：隐函数的求导步骤：因为因为y是是x的函数的函数,所以所以 是是x的复合函数的复合函数,162021/2/22例例解解)23,23(22)23,23(xyxyy-=所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点.172021/2/22例例 (1)解：解：方程两边对方程两边对x求导，得求导，得(1)式两边对式两边对x求导，得求导，得将将(2)式代入，得式代入，得182021/2/22例例 (2)(2)解解192021/2/22作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单求导变得更为简单.适适用用于于方方方方 法法法法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,-对数求导法对数求导法 然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导法求出导数求导法求出导数.二、对数求导法二、对数求导法202021/2/22例例解解 等式两边取对数得等式两边取对数得 隐函数隐函数212021/2/22两边对两边对x求导得求导得等式两边取对数得等式两边取对数得)(ln)(xuxv.222021/2/22例例解解等式两边取对数得等式两边取对数得232021/2/22注注复合函数复合函数改写成改写成只要将只要将幂指函数也可以利用对数性质化为幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导再求导,242021/2/22有些显函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便.例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对x x求导求导x xb b+252021/2/22练习练习解答解答 等式两边取对数等式两边取对数262021/2/22解答解答272021/2/22三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?282021/2/22由复合函数及反函数的求导法那么得由复合函数及反函数的求导法那么得292021/2/22？302021/2/22例例解解 所求切线方程为所求切线方程为分子分母不要颠倒分子分母不要颠倒312021/2/22例例解解322021/2/22例例解解用第二个方程用隐函数求导法求用第二个方程用隐函数求导法求332021/2/22四、小结四、小结隐函数求导法那么隐函数求导法那么:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法那么求导导法那么求导;参数方程求导参数方程求导:本质上是利用复合函数求导法那本质上是利用复合函数求导法那么么;342021/2/22提示提示:1.求以下函数的求以下函数的 n 阶导数阶导数?考虑与练习考虑与练习352021/2/22 任意阶可导任意阶可导,且且时时提示提示:那么那么当当2.填空题填空题362021/2/223.3.设设求求提示提示:分别用对数求导法求分别用对数求导法求答案答案:372021/2/224.4.设设由方程由方程确定确定 ,解解:方程两边对方程两边对 x 求导求导,得得再求导再求导,得得当当时时,故由故由 得得再代入再代入 得得 求求382021/2/22
