大学物理-静电场练习题及答案.docx

练习题 7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大?解: 这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q，则另一个点电荷带电， 两点电荷之间的库仑力为由极值条件，得又因为<0这表明两电荷平分电荷Q时，它们之间的相互作用力最大。 7-2 两个相同的小球，质量都是m，带等值同号的电荷q，各用长为l的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2很小。（1）试证平衡时有下列的近似等式成立：式中x为两球平衡时的距离。(2)如果l= 1.20 m，m=10 g，x=5.0 cm，则每个小球上的电荷量q是多少? (3)如果每个球以的变化率失去电 图7-43 练习题7-2图荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率dx/dt是多少?解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有由此二式可得因为很小，可有，再考虑到可解得 （2）由上式解出（3） 由于带入数据解得合力的大小为令，即有由此解得粒子受力最大的位置为llll+ q+ qP- q- qOx图7-45 练习题7-4用图7-4 由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。图7-45所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的和均为已知，对图7-44中的点(平行于正方形的一边)，证明当x » l时其中，p=ql 称电偶极矩。解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在P点产生的场强分别为E左和E右，由教材例题7-3可知其中，p=ql。点处的合场强为由于x » l上式可简化为证毕。7-5 如图7-46所示，长为l的细直线OA带电线密度为，求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点O点为b的P点的电场强度： (1)为常量，且>0；(2) =kx，k为大于零的常量，(0x1)。bxAOP图7-46 练习题7-5用图解：(1)将带电直线分割成无数个长度元dx，dx的坐标是x。它所带的电荷元dq=dx，dq在P点产生的电场强度的大小为因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法相加。于是带电直线在P点产生的电场强度为方向沿x轴的负方向。 (2) 同样取电荷微元dq=dx=kxdx同理方向沿x轴的负方向。7-6 一个半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q，求环心处的电场强度。解：分析在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线在弧线上取线元dl，其电荷，此电荷元可视为点电荷，它在O点的电场强度为因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有点O的合电场强度为 习题7-6用图其中，负号表示场强方向及y方向相反。 将，带入上式，积分得负号表示场强方向及y方向相反7-7 一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x处的任一点的电场强度；（2）当R时，P点的电场强度为多少?（3）当x » R时，P点的电场强度又为多少? 练习题7-7用图解：（1）在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为r+dr的细圆环，如图所示。利用教材中例题7-5的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场强为于是，整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为（1） 当时，R » x。此时，上式可化为即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。（3）当x » R时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P点电场强度为7-8 图7-47为两个分别带有电荷的同心球壳系统。设半径为和的球壳上分别带有电荷和，求：（1）I、II 、III三个区域中的场强；R1R2Q1Q2IIIIII图7-47 练习题7-8用图（2）若 =，各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分布曲线 (即 关系曲线)。解：（1）在区域I，做半径为rR1的球形高斯面。因为高斯面内无电荷，根据高斯定理即 可得区域I中的电场强度为E1= 0在区域II，以为半径做球形高斯面。因为此高斯面内的电荷为Q1，由高斯定理得由此可解得区域II的电场强度为在区域III，做半径rR2的球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为Q1+Q2，由高斯定理可得E3 =0 rR2R1E E r关系曲线（2）当 =时，根据以上结果易知区域I的场强为 E1= 0 区域II的场强为区域III的场强为E3= 0根据上述结果可画出如图所示关系曲线。7-12 水分子的电偶极矩为，如果这个电偶极矩是由一对点电荷±e引起的(e为电子电量)，那么，它们的距离是多少?如果电偶极矩的取向及强度为的电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成及电场相反的方向需要多少能量(用eV表示)? 解：（1）由电偶极矩的定义得（2）若使电偶极矩倒转需要能量为A，则7-13 计算练习题7-8中、区域中的电势。R1R2Q1Q2IIIIII解：（1）根据题7-8所得、区域中的电场分布，可得区域I的电势为由此解得区域的电势分布为区域的电势分布为（2）若，则区域的电势为区域的电势为区域的电势为 7-14 “无限长”均匀带电圆柱面，半径为R，单位长度上带电量为+。试求其电势分布。(提示：选取距带电圆柱面轴线为的点为电势零点) 解：由于电荷分布具有轴对称性，所以应用高斯定理很容易求出电场强度分布为 0 ( R )E= （ R ）电场强度方向垂直于带电圆柱面沿径向。选某一距带电直线为的点为电势零点，如本题解图所示。当 R时这个结果可以一般地表示为当 R 时R1R2图7-49 练习题7-16用图7-16 同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如图749所示。设内圆柱体的电势为，半径为；外圆柱体的电势为，外圆柱体的内半径为，两圆柱体之间为空气。求内圆柱体的解：（1）设内圆柱体单位长度的电量为。在内外圆柱体之间做半径()，长度为l的圆柱闭合高斯面，应用高斯定理可得距轴心为处场强为于是，两圆柱间电压为即第 54 页