正弦定理和余弦定理知识点总结学案附复习资料.docx
高频考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在ABC中，a2，b，A45°，那么满足条件的三角形有()A1个B2个C0个D无法确定(2)在ABC中，sinAsinB1，c2b2bc，那么三内角A，B，C的度数依次是_(3)(2021 ·广东)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.假设a，sinB，C，那么b_.答案(1)B(2)45°，30°，105°(3)1解析(1)bsinA×，bsinA<a<b.满足条件的三角形有2个(2)由题意知ab，a2b2c22bccosA，即2b2b2c22bccosA，又c2b2bc，cosA，A45°，sinB，B30°，C105°.【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数(2)三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数【变式探究】(1)在ABC中，ax，b2，B45°，假设三角形有两解，那么x的取值范围是()Ax2Bx2C2x2D2x2(2)在ABC中，A60°，AC2，BC，那么AB_.答案(1)C(2)1解析(1)假设三角形有两解，那么必有ab，x2，又由sinAsinB×1，可得x2，x的取值范围是2x2.(2)A60°，AC2，BC，设ABx，由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·ABcosA，化简得x22x10，x1，即AB1.高频考点二和三角形面积有关的问题例2、(2021 ·浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A，b2a2c2.(1)求tanC的值；(2)假设ABC的面积为3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos2Bsin2C.又由A，即BC，得cos2Bcos2cossin2C2sinCcosC，由解得tanC2.【感悟提升】(1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是哪一个角就使用哪一个公式(2)及面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进展边和角的转化【变式探究】四边形ABCD的内角A及C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积解(1)由题设A及C互补及余弦定理得BD2BC2CD22BC·CDcosC1312cosC，BD2AB2DA22AB·DAcosA54cosC由得cosC，BD，因为C为三角形内角，故C60°.(2)四边形ABCD的面积SAB·DAsinABC·CDsinCsin60°2.高频考点三正弦、余弦定理的简单应用例3、(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设<cosA，那么ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形(2)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，那么ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案(1)A(2)B【举一反三】(2021 ·课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)假设AD1，DC，求BD和AC的长解(1)SABDAB·ADsinBAD，SADCAC·ADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22AD·BDcosADB，AC2AD2DC22AD·DCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1. 【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意根据的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理【变式探究】(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，假设cacosB(2ab)cosA，那么ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形(2)如图，在ABC中，点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，那么BD的长为_答案(1)D(2)(2)sinBACsin(BAD)cosBAD，cosBAD.BD2AB2AD22AB·ADcosBAD(3)2322×3×3×，即BD23，BD.1ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，假设A，b2acosB，c1，那么ABC的面积等于()A. B.C. D.2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设C2B，那么为()A2sinC B2cosBC2sinB D2cosC解析：由于C2B，故sinCsin2B2sinBcosB，所以2cosB，由正弦定理可得2cosB，应选B。答案：B3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，那么B()A. B.C. D.解析：由sinA，sinB，sinC，代入整理得：c2b2aca2，所以a2c2b2ac，即cosB，所以B。答案：C4在ABC中，假设lg(ac)lg(ac)lgblg，那么A()A90° B60°C120° D150°5在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.假设3a2b，那么的值为()A B.C1 D.解析：由正弦定理可得221221，因为3a2b，所以，所以2×21。答案：D6在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinAacosC，那么sinAsinB的最大值是()A1 B.C. D3解析：由csinAacosC，所以sinCsinAsinAcosC，即sinCcosC，所以tanC，C，AB，所以sinAsinBsinsinBsin，0B，B，当B，即B时，sinAsinB的最大值为.应选C。答案：C7.在ABC中,假设A=3,B=4,BC=32,那么AC=()A.32B.335【答案】C。【解析】由正弦定理可得:BCsinA=ACsinB,即有AC=BC·sinBsinA=32×sin4sin3=23.8.在ABC中,假设a2+b2<c2,那么ABC的形状是()【答案】C【解析】由余弦定理:a2+b2-2abcosC=c2,因为a2+b2<c2,所以2abcosC<0,所以C为钝角,ABC是钝角三角形.9.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c-bc-a=sinAsinC+sinB,那么B=()A.6B.4C.3D.34【答案】C. 10.在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.假设C=120°,c=2a,那么()A.a>bB.a<bC.a=b【答案】A【解析】由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,即ba2+ba-1=0,ba=-1+52<1,故b<a.11.在ABC中,a=15,b=10,A=60°,那么cosB=.【解析】由正弦定理可得1532=10sinB,所以sinB=33,再由b<a,可得B为锐角,所以cosB=1-sin2B=63.答案:6312.在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,假设sin2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC,那么B=.【解析】在ABC中,因为sin2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC,所以利用正弦定理得:a2+c2-b2=3ac,所以cosB=a2+c2-b22ac=32,所以B=6.答案:613.ABC中,点D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC.(2)假设BAC=60°,求B.【解析】(1)如图,由正弦定理得:ADsinB=BDsinBAD,ADsinC=DCsinCAD,因为AD平分BAC,BD=2DC,所以sinBsinC=DCBD=12.(2)因为C=180°-(BAC+B),BAC=60°,所以sinC=sin(BAC+B)=32cosB+12sinB,由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=33,即B=30°.14.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)假设BA·BC=2,且b=22,求a和c的值.【解析】(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,那么2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.又sinA0,因此cosB=13.(2)由BA·BC=2,可得accosB=2,又cosB=13,故ac=6,由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=6.15.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点(a,b)在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上. (1)求角C的值. (2)假设2cos2A2-2sin2B2=32,且A<B,求ca.(2)因为2cos2A2-2sin2B2=1+cosA-1+cosB=cosA+cos23-A=12cosA+32sinA=sinA+6=32,因为A+B=23,且A<B,所以0<A<3,所以6<A+6<2,即A+6=3,所以A=6,B=2,C=3,那么ca=sinCsinA=3212=3.16.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cosCAD的值.(2)假设cosBAD=-714,sinCBA=216,求BC的长.于是sin=sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=32114×277-714×217=32.在ABC中,由正弦定理得,BCsin=ACsinCBA.故BC=AC·sinsinCBA=7×32216=3.第 8 页
