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小学奥数工程问题分类讲解工程问题是小学数学应用题教学中重点，是分数应用题引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1应用题，它具有抽象性，学生认知起来比拟困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题关键。一 工程问题根本概念定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系问题。工作总量：一般抽象成单位“1工作效率：单位时间内完成工作量三个根本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面： 具备整数应用题解题能力，解决整数应用题根本知识，如概念、性质、法那么、公式等广泛应用于分数、百分数应用题； 在理解、掌握分数意义和性质前提下灵活运用； 学会画线段示意图线段示意图能直观地提醒“量与“百分率之间对应关系，发现量与百分率之间隐蔽条件，可以帮助我们在复杂条件与问题中理清思路，正确地进展分析、综合、判断和推理； 学会多角度、多侧面思考问题方法分数、百分数应用题条件与问题之间关系变化多端，单靠统一思路模式有时很难找到正确解题方法因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路三、利用常见数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量和“时间，抓住题目给出工作效率之间数量关系，转化出与所求相关工作效率，最后再利用先前假设“把整个工程看成一个单位，求得问题答案一般情况下，工程问题求是时间熟练掌握工程问题根本数量关系与一般解法；（1） 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；（2） 根据题目中实际情况能够正确进展单位“1统一和转换；（3） 工程问题中常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中应用例题精讲一、 周期性工程问题【例 1】 一件工程，甲单独做要小时，乙单独做要小时，如果接甲、乙、甲、乙顺序交替工作，每次小时，那么需要多长时间完成？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 甲小时完成整个工程，乙小时完成整个工程，交替干活时两个小时完成整个工程，甲、乙各干小时后完成整个工程，还剩下，甲再干小时完成整个工程，还剩下，乙花小时即分钟即可完成所以需要小时分钟来完成整个工程【答案】小时分钟【巩固】 一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。甲乙合做1小时后，由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，甲、乙如此交替下去，那么完成该工程共用_小时。【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2021年，希望杯，第六届，五年级，一试【解析】 甲乙合做1小时后，还剩下：，甲乙单独做2小时，共做，还需要做2×5=10小时，还剩下，需要甲做1小时，还有，乙还需要做【答案】天【例 2】 一项工程，乙单独做要天完成如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流做法多用半天完工问：甲单独做需要几天？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做如果设甲、乙工作效率分别为和，那么，所以，乙单独做要用天，甲工作效率是乙倍，所以甲单独做需要天【答案】天【巩固】 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样工程只需要小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据题意，有：，可知，甲做小时与乙做小时工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时工作量所以，乙单独工作需要小时【答案】小时【例 3】 蓄水池有一条进水管和一条排水管要灌满一池水，单开进水管需小时；排光一池水，单开排水管需小时现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水顺序轮流各开小时问：多长时间后水池水刚好排完？(准确到分钟)【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 法一：小时排水比小时进水多，说明排水开了小时后实际加上进水3小时，已经过去小时了，水池还剩一池子水，再过小时，水池里水为一池子水，把这些水排完需要小时，不到1小时，所以共需要 小时小时分法二：小时排水比小时进水多，说明小时以后，水池水全部排完，并且多排了一池子水，排一池子需要小时，排一池子水需要小时，所以实际需要小时小时分【答案】小时分【巩固】 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需小时，单开丙管需要小时，要排光一池水，单开乙管需要小时，单开丁管需要小时，现在池内有水，假设按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁顺序轮流翻开小时，问多少时间后水开场溢出水池？【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 甲乙丙丁顺序循环各开小时可进水：，循环次后水池还空：，工作量由甲管注水需要：(小时)，所以经过小时后水开场溢出水池【答案】二、 水管问题【例 4】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满乙单独开几小时可以灌满？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于甲、乙和乙、丙工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满，我们可以把乙管6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水可以计算出乙单独灌水工作量为，所以乙工作效率为：，所以整池水由乙管单独灌水，需要小时【答案】小时【巩固】 某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，假设要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时翻开时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 要想同时开时间最小，那么根据工效，让甲“满负荷地做，才可能使得同时开放时间最小所以，乙开放时间为(小时)，即甲、乙最少要同时开放4小时【答案】4小时【例 5】 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果翻开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果翻开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在翻开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240立方米.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷ 5× 150- 8 × 90= 8立方米，8个水龙头1个半小时放出水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400立方米.翻开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存水，放空原存5400，需要5400 ÷8 × 13- 4=54分钟.所以翻开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中水，有两局部，原存有水与新流入水，就需要分开考虑，解此题关键是先求出池中原存有水.这在题目中却是隐含着.【答案】54分钟【巩固】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入当池中有一半水时，如果翻开9个出水口，9小时可以把水排空如果翻开7个出水口，18小时可以把水排空如果是一满池水，翻开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】比照思想方法【解析】 此题是牛吃草问题变形设每个出水口每小时出水量为1，那么进水口每小时进水量为：，半池水量为：，所以一池水量为72如果翻开全部15个出水口，排空水池所需要时间为小时，即7小时12分钟【答案】小时分钟【例 6】 一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水假设只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；假设只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量2倍那么该水箱最多可容纳多少吨水？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量2倍那么甲管注入18吨水时间是乙管注入吨水时间，那么甲管注入18吨水时间与乙管注入27吨水时间比是那么在这两种情况下丙管注水时间比为，而且前一种情况比后一种情况多注入吨水，那么甲管注入18吨水时，丙管注入水吨所以该水箱最多可容纳水吨【答案】吨【巩固】 一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只翻开甲、丙两管，甲管注入吨水时，水箱已满；如果只翻开乙、丙两管，乙管注入吨水时，水箱才满乙管每分钟注水量是甲管倍，那么该水箱注满时可容纳 吨水【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 方法一：乙注入40吨水时间相当于甲注入吨水时间，甲注入30吨水，丙可注水量为，那么，乙注40吨水丙可注水量为，所以，解得，吨为水箱容量。方法二：如果只翻开甲、丙两管，注满水时甲管注入了30吨水；如果只翻开乙、丙两管，注满水时乙管注入了40吨水由于乙管每分钟注水量是甲管倍，所以在甲管注入30吨水时间内，乙管可以注入吨水，而在只翻开乙、丙两管情况下乙管共注入了40吨水，可见翻开甲、丙两管注满水所用时间是翻开乙、丙两管所用时间倍可以假设翻开乙、丙两管情况下丙管注了吨水，那么翻开甲、丙两管情况下丙管注了吨水，所以有，得到，所以水箱注满时可容纳吨水在得到第一种情况所用时间是第二种情况所用时间倍之后，可以假设第二种情况此时乙、丙两管继续注水，总时间为注满水所需时间倍，也就是与第一种情况所用时间一样此时，注入水量也是水箱容积倍，即比第一种情况多了倍然而此时注水时间一样，所以丙管注入水量一样，乙管那么注入吨水，比甲管多注了吨，所以这15吨就是水箱容积，那么水箱容积为吨【答案】吨【例 7】 放满一个水池，如果同时翻开1，2号阀门，那么12分钟可以完成；如果同时翻开1，3号阀门，那么15分钟可以完成；如果单独翻开1号阀门，那么20分钟可以完成；那么，如果同时翻开1，2，3号阀门， 分钟可以完成。【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2021年，学而思杯，6年级【解析】 单独翻开1号门，20分钟可以完成，说明1号门每分钟完成，而同时翻开1、2号闸门12分钟可以完成，说明2号闸门每分钟完成，而现在同时翻开1、3号闸门，15分钟可以完成，说明3号闸门每分钟完成，那么同时翻开1、2、3号闸门，需要分钟。【答案】分钟【巩固】 放满一个水池，如果同时翻开1，2，3号阀门，那么20分钟可以完成；如果同时翻开2，3，4阀门，那么21分钟可以完成；如果同时翻开1，3，4号阀门，那么28分钟可以完成；如果同时翻开1，2，4号阀门，那么30分钟可以完成问：如果同时翻开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据条件，列表如下画表示阀门翻开，画×表示阀门关闭：1号2号3号4号工作效率××××从表中可以看出，每个阀门都翻开了三次，所以这4个阀门工作效率之和为：，那么同时翻开这4个阀门，需要分钟【答案】分钟三、 比例法及工资分配问题【例 8】 有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费，甲、乙两队合作，天可以全部完工，共需要支付元，由乙、丙两队合作，天可以完工，共需要支付元，由甲、丙两队合作，天可以完成，共需要支付，如果该工程只需要一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快比最慢会早完工_天.需要支付速度最快队伍_元. 【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2021年，学而思杯，5年级【解析】 甲乙丙工效和为，所以甲工效为，乙工效为，丙工效为，所以从时间上考虑，应该选择甲，会比丙早完工天，同样道理，甲乙丙每日工资之和是 元，所以甲每日费用为元，乙费用为元，丙费用为元，所以需要支付速度最快队伍元【巩固】 甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资按两队原方案工作效率，乙队应获5040元实际上从第5天开场，甲队工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原方案多获得960元那么两队原方案完成修路任务要多少天？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 开场时甲队拿到元，甲、乙工资比等于甲、乙工效比，即为；甲提高工效后，甲、乙总工资及工效比为设甲开场时工效为“2，那么乙工效为“3，设甲在提高工效后还需天才能完成任务有，化简为，解得工程总量为，所以原方案天完成【答案】天【例 9】 一项工程，甲15天做了后，乙参加进来，甲、乙一起又做了，这时丙也参加进甲、乙、丙一起做完乙、丙工作效率比为3：5，整个过程中，乙、丙工作天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天 【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：先把整个工程分为三个阶段：；且易知甲工作效率为又乙、丙工作天数之比为(+)：=2：1，所以有阶段和阶段所需时间相等即甲、乙合作完成工程与甲、乙、丙合作完成工程所需时间相等所以对于工作效率有：(甲+乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=又有乙、丙工作效率比为3：5易知乙工作效率为丙工作效率为：那么这种情形下完成整个工程所需时间为：天.方法二：显然甲工作效率为设乙工作效率为，那么丙工作效率为所以有乙工作天数为丙工作天数为且有即解得所以乙工作效率为丙工作效率为高那么这种情形下完成整个工程所需时间为：天.【答案】天【巩固】 某工地用种型号卡车运送土方甲、乙、丙三种卡车载重量之比为，速度比为，运送土方路程之比为，三种车辆数之比为工程开场时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了天完成任务那么，甲种车完成工作量与总工作量之比是多少？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2007年，二中【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方路程之比为，速度之比为，所以它们运送次所需时间之比为，一样时间内它们运送次数比为：在前天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙数量之比为由于三种卡车载重量之比为，所以三种卡车总载重量之比为那么三种卡车在前天内工作量之比为：在后天，由于甲车全部投入使用，所以在后天里工作量之比为所以在这天内，甲工作量与总工作量之比为：【答案】【例 10】 一项工程，甲、乙两队合干需天，需支付工程款元；乙、丙两队合干需天，需支付工程款元；甲、丙两队合干需天，需支付工程款元如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 甲、乙一天完成工程；乙、丙一天完成工程；甲、丙一天完成工程所以，甲工效为；乙工效为；丙工效为甲、乙一天需工程款(元)；乙、丙一天需工程款(元)；甲、丙一天需工程款(元)所以，甲一天工程款为(元)；乙一天工程款为(元)丙一天工程款为(元)单独完成整个工程，甲队需工程款(元)；乙队需工程款(元)；丙队需工程款(元)所以应该选择乙队【答案】乙队【巩固】 甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2021年，清华附中【解析】 根据题意可知，甲、乙两人工作效率之和为；乙、丙两人工作效率之和为；甲、乙、丙三人工作效率之和为分别可求得甲工作效率为，乙工作效率为，丙工作效率为，那么甲完成工程量为：，乙完成工程量为：，丙完成工程量为：，三人所完成工作量之比为所以，甲应得元，乙应得元，丙应得元【答案】甲应得元，乙应得元，丙应得元【随练1】 为了创立绿色学校，科学俱乐部同学设计了一个回收食堂洗菜水来浇花草水池，要求单独翻开进水管3小时可以把水池注满，单独翻开出水管4小时可以排完满池水。水池建成后，发现水池漏水。这时，假设同时翻开进水管和出水管14小时才能把水池注满。那么当池水注满，并且关闭进水管与出水管时，经过 小时池水就会漏完。【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】希望杯 【解析】 设满水池水位单位“1，水池漏水相当于一个工作效率为出水管，因此关闭进水管与出水管，经过84小时池水就会漏完【答案】84小时【随练2】 公园水池每周需换一次水水池有甲、乙、丙三根进水管第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、顺序轮流翻开1小时，恰好在翻开水管整数小时后灌满空水池第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲顺序轮流翻开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲顺序轮流翻开1小时，比第一周多用了15分钟第四周他三个管同时翻开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只翻开甲管，那么灌满一池水需用_小时【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2007年，迎春杯，高年级，初赛【解析】 考虑水池减去甲乙丙两小时总和后容积，那么此局部按照甲乙丙顺序灌刚好在整数小时后灌满，按照乙丙甲顺序灌少用15分钟，按照丙乙甲顺序灌多用15分钟，三个一起灌用20分钟所以速度应该是乙最快，甲居中，丙最慢也就是说，此局部是甲灌1个小时后灌满甲灌1个小时水=乙灌45分钟水=丙灌1个小时水+乙灌15分钟水所以灌水速度甲乙丙，也就是甲刚好是平均数所以只用甲管灌满需要7小时【答案】7小时【随练3】 一项工程，假设请甲工程队单独做需个月完成，每月要耗资万元；假设请乙工程队单独做此项工程需个月完成，每月耗资万元请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？现要求最迟个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 甲、乙两工程队每月完成工程量分别占全部工程、，那么甲、乙合作所需时间为：个月；甲、乙合作个月所耗资金为：(万元)甲工程队完成全部工作要耗资万元，乙工程队完成全部工作要耗资万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一局部工程所以，在五个月内完成最好方案为：乙工程做个月，甲工程队做个月，即：甲、乙两工程队合作个月后，乙工程队再单独做个月【答案】万元 甲、乙两工程队合作个月后，乙工程队再单独做个月【作业1】 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成假设甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 假设甲、乙两人合作共需多少小时？ 小时 甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ 余下由甲独做需要多少小时？ 小时 共用了多少小时？ 小时在工程问题中，转换条件是常用手法此题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1小时，也就是每2小时，相当于两人合做1小时这样先算一下一共进展了多少个这样2小时，余下局部问题就好解决了【答案】小时【作业2】 一项工程，甲、乙合作小时可以完成，假设第小时甲做，第小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；假设第小时乙做，第小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 假设第一种做法最后一小时是乙做，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用时间应与第一种做法一样，不会多小时，与题意不符所以第一种做法最后一小时是甲做，第二种做法中最后小时是甲做，而这小时之前一小时是乙做，所以乙甲甲，得乙甲甲、乙工作效率之和为：，甲工作效率为：， 所以甲单独做时间为(小时)【答案】小时【作业3】 一项工程，甲队单独完成需40天。假设乙队先做10天，余下工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成。如果乙队单独完成此工程，那么需_天。【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2021年，希望杯，第六届，六年级，一试【解析】 甲每天完成，甲乙合作中，甲一共完成，所以乙也一共完成，乙每天完成，乙单独做要60天.【答案】60天【作业4】 有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天那么丙休息了 天【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2007年，十一学校【解析】 设甲、乙工作了天，丙工作了天，那么有：，化简得由于和720都是15倍数，所以也是15倍数，而，所以，所以丙休息了天【答案】天【作业5】 一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为一样出水管。开场进水管以均匀速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也翻开，使池内水再全部排光。如果把8根出水管全部翻开，需要3小时可将池内水排光；而假设仅翻开3根出水管，那么需要18小时。问如果想要在8小时内将池中水全部排光，最少要翻开几根出水管？【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】比照思想方法【解析】 设根排水管小时排水为“，进水速度为，原有水量为，如果想要在小时内将池中水全部排光，最少要翻开根出水管，每根出水管1小时排水1份，又出水管根数是整数，故最少要翻开5根出水管。【答案】根【作业6】 某市有一项工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标三家公司竞标条件如下：公司名称单独完成工程所需天数每天工资/万元甲10乙15丙30 如果想尽快完工，应该选择哪两家公司合作？需要多少天完成？ 如果想尽量降低工资本钱，应该选择哪两家公司合作？完工时要付工资多少元？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2021年，十三分，入学测试【解析】 如果要想尽快完工，应该选择效率较高两家公司由于甲、乙、丙三家公司单独做时，每天完成工作量分别为、，所以应该选择甲、乙这两家公司合作甲、乙两公司合作，完成工程需要时间为天；如果想尽量降低工资本钱，应该选择完成全部工程所需总工资较少两家公司由于甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所需要工资本钱分别为万元、万元、万元，所以应中选择甲、丙这两家公司合作甲、丙两公司合作需要天才能完成工程，完工时要付工资为：元【答案】元