中考数学压轴题解题策略五相似三角形的存在性问题.docx
中考数学压轴题解题策略相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）例题解析例 如图1-1，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C动直线（轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段上以每秒2个单位的速度向原点O运动是否存在t，使得与相似若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由图1-1【解析】与有公共角B，那么我们梳理两个三角形中夹B的两条边是确定的由，可得A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)于是得到4，还可得到中，2t，那么的长用含t的式子表示出来，问题就解决了在中，t，2t，所以因此于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：当时，解得（如图1-2）当时，解得（如图1-3） 图1-2 图1-3例 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y2（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，2，120°（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结，求的大小；（3）如果点C在x轴上，且与相似，求点C的坐标 图2-1 【解析】与中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第（2）题求的大小作铺垫；求得了的大小，第（3）题暗示了要在中寻找与相等的角（1）如图2-2，过点A作y轴，垂足为H容易得到A再由A、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为（2）由，得顶点M 所以所以30°所以150°图2-2（3）由A、B(2,0)，可得30°因此当点C在点B右侧时，150°所以与相似，存在两种情况：当时，此时C(4,0)（如图2-3）当时，此时C(8,0)（如图2-4） 图2-3 图2-4例 如图3-1，抛物线y23与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D，顶点为C（1）求此抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由图3-1【解析】是直角三角形，因此必须先证明是直角三角形一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程（1）抛物线的解析式为yx24x3（2）由yx24x3(x2)21，得D(0,3)，C(2, 1)如图3-2，由B(3, 0)、D(0,3)、C(2, 1)，可知45°，45°所以90°，且图3-2 图3-3 图3-4设点M、N的横坐标为x，那么，而的长要分N在A的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当N在A右侧时，x1，分两种情况列方程：当时，解得此时M（如图3-3）当时，解得x6此时M(6,15)（如图3-5）当N在A左侧时，1x，也要分两种情况列方程：当时，解得1，不符合题意（如图3-4）当时，解得x0，此时M(0,3)（如图3-6）图3-5 图3-6例 如图4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C在x轴上，平分点P在直线上，直线与y轴交于点F，如果与相似，求直线的解析式图4-1【解析】首先求得点C(3,0)与中，相等的角在哪里啊？如图4-2，当点P在线段上时，与中，与是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此与是垂直的可以求得F(0,4)，于是直线()为如图4-3，当点P在的延长线上时，与有公共角P于是A，可以求得F(0, 4)，因此直线()为如图4-4，当点P在的延长线上时，B与不可能相等在中，根据大边对大角，B；又是的一个外角，图4-2 图4-3 图4-4例 如图5-1，二次函数yx23x的图象经过点A(1)，线段平行于x轴，交抛物线于点D在y轴上取一点C(0, 2)，直线交抛物线于点B，连结、求坐标平面内使的点E的坐标；图5-1【解法一】点A、D、B都是确定的，可以求得A(1, 4)，D(4, 4)，B(2,2)所以，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程由，得所以，设点E的坐标为(x, y)，根据268，2180，列方程组解得 所以点E的坐标为(8,2)或(2, 8)上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系【解法二】如图5-2，是确定的，与有公共点O，12，90°如果，我们可以把绕着点O顺时针旋转，使得点B落在上，此时旋转角为90°，点B恰好落在的中点按照这个运动规则，点A(1, 4) 绕着点O顺时针旋转90°，得到点A(4,1)，点A是线段的中点，因此点E的坐标为(8,2)如图5-3，点E(8,2)关于直线（即直线yx）对称的点为E(2,8)图5-2 图5-3例 如图6-1，在中，4，8A的半径为2，动点P从点B出发沿方向以每秒1个单位的速度向点C运动延长交A于点D，连结交A于点E，连结并延长交于点F设点P运动的时间为t秒，当与相似时，求t的值图6-1【解析】是等腰直角三角形，A是确定的，先按照题意把图形补充完整如图6-2，容易发现与有公共角B，如果根据对应边成比例列方程或，其中4，t，42，但是用含t的式子表示困难重重啊！图6-2 图6-3 图6-4我们另起炉灶，按照判定定理1来解决与有公共角B，我们以D为分类标准，分两种情况讨论它们相似：第一种情况，如图6-3，D是不可能的，这是因为是等腰三角形的外角，2D第二种情况，如图6-4，当D时，在中，由于2D2，因此45°3180°解得45°此时是等腰直角三角形，P与C重合，所以t8解答这道题目，如果选取点P的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究在讨论第二种情况D时，我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导，以为图6-2中“锐角D”与“钝角”不可能相等
