近世代数期末考试试卷及复习资料.docx
一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。3,aaeD、3,aeC、ea,B、aA、2、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群A、G 为整数集合，*为加法B、G 为偶数集合，*为加法C、G 为有理数集合，*为加法D、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,bC、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|=（24）2=（12）（23）（13），1是三个置换，其中3、2、14、设=（）3=（1324），则3（14），EMBED2D、22EMBED Equation.32C、1B、12A、Equation.315、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。的阶等于-。4a的阶等于 50，则a中的元素G3、已知群4、a 的阶若是一个有限整数 n，那么 G 及-同构。5、A=B=2.5.6 那么 AB=-。为-。既是单射又是满射，则称6、若映射使 得naaa,10的-F的 一 个 代 数 元，如 果 存 在F叫 做 域7、。010nnaaa为-a，则称xax均成立Ax的元素，对任何)0,(A是代数系统a8、-。作成一个群，如果G9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合对于乘法封闭；结合律成立、-。G满足10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是-。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A=1,2,3G 是 A 上的置换群，H 是 G 的子群，H=I,(1 2)，写出 H 的所有陪集。”是 E 中的运”是数的乘法，则“2、设 E 是所有偶数做成的集合，“）是不是群，为什么？）是一个代数系统，问（E，算，（E，3、a=493,b=391,求(a,b),a,b 与 p,q。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25分）1、若是群，则对于任意的 a、bG，必有惟一的 xG 使得 a*xb。2、设 m 是一个正整数，利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系：ab 当且仅当 mab。近世代数模拟试题三近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2 阶B、3 阶C、4 阶D、6 阶2、设 G 是群，G 有（）个元素，则不能肯定 G 是交换群。A、4 个B、5 个C、6 个D、7 个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。A、偶数B、奇数C、4 的倍数D、2 的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）B、（Z,A、（N,)C、（2,3,4,6,12,|（整除关系）D、(P(A),5、设 S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在 S3 中可以及(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3 中的所有元素二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。-aff1的一个元，则A是a间的一一映射，A及A是f2、如果-。的单位元是-。,minbaba3、区间1，2上的运算4、可换群 G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。5、环 Z8的零因子有-。6、一个子群 H 的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的-。存在整除关系为-n及m，那么ean，如果m的阶为a中元素G9、设群-。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是 A 的子环，则 S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？。6)456)(234(S，)1245)(1345(3、设有置换；1与1求的奇偶性。1与2确定置换四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想与单位理想。2、M 为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a与ab2a=e。近世代数模拟试题一近世代数模拟试题一参考答案参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。；2、单位元；3、交换环；4、整数环；1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,11、5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I 或 S=R；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）写成不相杂轮换的乘积：与1、解：把)6)(57)(48)(123()8)(247)(1653(可以写成如下对换的乘积：与为偶置换。为奇置换，可知)57)(48)(12)(13()27)(24)(16)(15)(13(2、解：设 A 是任意方阵，令，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称矩阵，分别为对称矩阵与反对称矩1C与1B，这里11CBA。若令有CBA且，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于CCBB11阵，则，所以，表示法唯一。1CC，1BB 是两边必须都等于 0，即：中有两个不同的单位元素 0 与 m。mM）不是群，因为m，mM3、答：（四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25分）yxxyxyxy111)(，所以exy2)(1、对于 G 中任意元 x，y，由于）。1 xx可得ex 2（对每个 x，从2、证明在 F 里)0,(11bRbabaabab)0,(bRbabaQ所有有意义，作 F 的子集显然是 R 的一个商域证毕。Q近世代数模拟试题二近世代数模拟试题二参考答案参考答案一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：H 的 3 个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3)，(1 3)，(1 32)，(2 3)H 的 3 个左陪集为：I,(1 2)，(1 2 3)，(2 3)，(1 3 2)，(13)）中无单位元。）不是群，因为（E，2、答：（E，3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3102+85102=185+17由此得到(a,b)=17,a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4,q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25分）1、证明 设 e 是群的幺元。令 xa1*b，则 a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b 是 a*xb 的解。若 xG 也是 a*xb 的解，则 xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b 是 a*xb 的惟一解。2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合
