数学模型统计回归模型课件.ppt

福福 州州 大大 学学12023/3/29第十章第十章 统计回归模型统计回归模型10.1牙膏的销售量牙膏的销售量10.2软件开发人员的薪金软件开发人员的薪金10.3酶促反应酶促反应10.4投资额与国民生产总值和投资额与国民生产总值和物价指数物价指数福福 州州 大大 学学22023/3/29回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型不涉及回归分析的数学原理和方法不涉及回归分析的数学原理和方法通过实例讨论如何选择不同类型的模型通过实例讨论如何选择不同类型的模型对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。律的数学模型。福福 州州 大大 学学32023/3/2910.1 牙膏的销售量牙膏的销售量 问问题题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量收集了收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量销售量(百万支百万支)价格差价格差（元）（元）广告费用广告费用(百万元百万元)其它厂家其它厂家价格价格(元元)本公司价本公司价格格(元元)销售销售周期周期福福 州州 大大 学学42023/3/29基本模型基本模型y 公司牙膏销售量公司牙膏销售量x1其它厂家与本公司其它厂家与本公司价格差价格差x2公司广告费用公司广告费用x2yx1yx1,x2解释变量解释变量(回归变量回归变量,自变量自变量)y被解释变量（因变量）被解释变量（因变量）0,1,2,3 回归系数回归系数 随机随机误差（误差（均值为零的均值为零的正态分布随机变量）正态分布随机变量）福福 州州 大大 学学5福福 州州 大大 学学62023/3/29结果分析结果分析y的的90.54%可由模型确定可由模型确定参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间17.32445.728228.92061.30700.68291.9311-3.6956-7.49890.10770.34860.03790.6594R2=0.9054F=82.9409p=0.0000 0 1 2 3F远超过远超过F检验的临界值检验的临界值p远小于远小于=0.05 2的置信区间包含零点的置信区间包含零点(右端点距零点很近右端点距零点很近)x2对因变量对因变量y 的的影响不太显著影响不太显著x22项显著项显著可将可将x2保留在模型中保留在模型中模型从整体上看成立模型从整体上看成立福福 州州 大大 学学72023/3/29销售量预测销售量预测 价格差价格差x1=其它厂家其它厂家价格价格x3-本公司本公司价格价格x4估计估计x3调整调整x4控制价格差控制价格差x1=0.2元，投入广告费元，投入广告费x2=650万元万元销售量预测区间为销售量预测区间为7.8230，8.7636（置信度（置信度95%）上限用作库存管理的目标值上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流下限用来把握公司的现金流若估计若估计x3=3.9，设定，设定x4=3.7，则可以，则可以95%的把握知的把握知道销售额在道销售额在7.8320 3.7 29（百万元）以上（百万元）以上控制控制x1通过通过x1,x2预测预测y(百万支百万支)福福 州州 大大 学学82023/3/29模型改进模型改进x1和和x2对对y的的影响独立影响独立参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间17.32445.728228.92061.30700.68291.9311-3.6956-7.49890.10770.34860.03790.6594R2=0.9054F=82.9409p=0.0000 0 1 2 3参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间29.113313.701344.525211.13421.977820.2906-7.6080-12.6932-2.52280.67120.25381.0887-1.4777-2.8518-0.1037R2=0.9209F=72.7771p=0.0000 3 0 1 2 4x1和和x2对对y的影响有的影响有交互作用交互作用福福 州州 大大 学学9福福 州州 大大 学学102023/3/29x2=6.5x1=0.2x1x1x2x2两模型两模型 与与x1,x2关系的关系的比较比较福福 州州 大大 学学112023/3/29交互作用影响的讨论交互作用影响的讨论价格差价格差x1=0.1价格差价格差x1=0.3加大广告投入使销售量增加加大广告投入使销售量增加（x2大于大于6百万元）百万元）价格差较小时增加价格差较小时增加的速率更大的速率更大x2价格优势会使销售量增加价格优势会使销售量增加价格差较小时更需要靠广告价格差较小时更需要靠广告来吸引顾客的眼球来吸引顾客的眼球福福 州州 大大 学学12福福 州州 大大 学学132023/3/2910.2软件开发人员的薪金软件开发人员的薪金资历资历 从事专业工作的年数；管理从事专业工作的年数；管理 1=管理人员，管理人员，0=非管理人非管理人员；教育员；教育 1=中学，中学，2=大学，大学，3=更高程度更高程度建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考编编号号薪金薪金资资历历管管理理教教育育0113876111021160810303187011130411283102编编号号薪金薪金资资历历管管理理教教育育422783716124318838160244174831601451920717024619346200146名软件开发人员的档案资料名软件开发人员的档案资料福福 州州 大大 学学14福福 州州 大大 学学152023/3/29模型求解模型求解参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间a0110321025811807a1546484608a2688362487517a3-2994-3826-2162a4148-636931R2=0.957F=226 p=0.000R2,F,p模型整体上可用模型整体上可用资历增加资历增加1年薪年薪金增长金增长546管理人员薪金多管理人员薪金多6883中学程度薪金比更中学程度薪金比更高的少高的少2994大学程度薪金比更大学程度薪金比更高的多高的多148a4置信区间包含零点，置信区间包含零点，解释不可靠解释不可靠!中学：中学：x3=1,x4=0;大大学：学：x3=0,x4=1;更高：更高：x3=0,x4=0.x2=1 管理，管理，x2=0 非管理非管理x1资历资历(年年)福福 州州 大大 学学162023/3/29残差分析方法残差分析方法结果分析结果分析残差残差e 与资历与资历x1的关系的关系e与管理与管理教育组合的关系教育组合的关系残差全为正，或全为负，管理残差全为正，或全为负，管理教教育组合处理不当育组合处理不当残差大概分成残差大概分成3个水平，个水平，6种管理种管理教育组合混在教育组合混在一起，未正确反映一起，未正确反映。应在模型中增加管理应在模型中增加管理x2与教育与教育x3,x4的交互项的交互项组合组合123456管理管理010101教育教育112233管理与教育的组合管理与教育的组合福福 州州 大大 学学17福福 州州 大大 学学182023/3/29去掉异常数据后去掉异常数据后的结果的结果参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间a0112001113911261a1498494503a2704169627120a3-1737-1818-1656a4-356-431281a5-3056-31712942a6199718942100R2=0.9998F=36701p=0.0000e x1e 组合组合R2：0.9570.9990.9998F：226 55436701置信区间长度更短置信区间长度更短残差残差图十分正常图十分正常最终模型的结果可以应用最终模型的结果可以应用福福 州州 大大 学学192023/3/29模型应用模型应用 制订制订6种管理种管理教育组合人员的教育组合人员的“基础基础”薪金薪金(资历为资历为0）组合组合管理管理教育教育系数系数“基础基础”薪金薪金101a0+a39463211a0+a2+a3+a513448302a0+a410844412a0+a2+a4+a619882503a011200613a0+a218241中学：中学：x3=1,x4=0；大学：；大学：x3=0,x4=1；更高：更高：x3=0,x4=0 x1=0；x2=1 管理，管理，x2=0 非管理非管理大学程度管理人员比更高程度管理人员的薪金高大学程度管理人员比更高程度管理人员的薪金高大学程度非管理人员比更高程度非管理人员的薪金略低大学程度非管理人员比更高程度非管理人员的薪金略低福福 州州 大大 学学202023/3/29对定性因素对定性因素(如管理、教育如管理、教育)，可以，可以引入引入0-1变量变量处理，处理，0-1变量的个数应比定性因素的水平少变量的个数应比定性因素的水平少1软件开发人员的薪金软件开发人员的薪金残差分析方法残差分析方法可以发现模型的缺陷，可以发现模型的缺陷，引入交互作用项引入交互作用项常常能够改善模型常常能够改善模型剔除异常数据剔除异常数据，有助于得到更好的结果，有助于得到更好的结果注：可以直接对注：可以直接对6种管理种管理教育组合引入教育组合引入5个个0-1变量变量福福 州州 大大 学学212023/3/2910.3 酶促反应酶促反应 问问题题研究酶促反应（研究酶促反应（酶催化反应）酶催化反应）中嘌呤霉素对反中嘌呤霉素对反应速度与底物应速度与底物（反应物）（反应物）浓度之间关系的影响浓度之间关系的影响 建立数学模型，反映该酶促反应的速度与底建立数学模型，反映该酶促反应的速度与底物浓度以及经嘌呤霉素处理与否之间的关系物浓度以及经嘌呤霉素处理与否之间的关系 设计了两个实验设计了两个实验：酶经过嘌呤霉素处理；酶未：酶经过嘌呤霉素处理；酶未经嘌呤霉素处理。实验数据见下表经嘌呤霉素处理。实验数据见下表:方方案案底物浓度底物浓度(ppm)0.020.060.110.220.561.10反反应应速度速度处处理理764797107123139159152191201207200未未处处理理6751848698115131124144158160/福福 州州 大大 学学222023/3/29线性化模型线性化模型 经嘌呤霉素处理后实验数据的估计结果经嘌呤霉素处理后实验数据的估计结果 参数参数参数估参数估计值计值（10-3）置信区置信区间间（10-3）15.1073.539 6.676 20.2470.176 0.319R2=0.8557 F=59.2975 p=0.0000对对 1,2非线性非线性 对对 1,2线性线性 福福 州州 大大 学学23福福 州州 大大 学学242023/3/29beta,R,J=nlinfit(x,y,model,beta0)beta的置信区间的置信区间MATLAB统计工具箱统计工具箱输入输入x自自变变量量数据矩阵数据矩阵y 因变量数据向量因变量数据向量beta 参数的估计值参数的估计值R 残差，残差，J 估计预估计预测误差的测误差的Jacobi矩阵矩阵 model 模型的函数模型的函数M文件名文件名beta0 给定的参数初值给定的参数初值 输出输出betaci=nlparci(beta,R,J)非线性模型参数估计非线性模型参数估计function y=f1(beta,x)y=beta(1)*x./(beta(2)+x);x=;y=;beta0=195.8027 0.04841;beta,R,J=nlinfit(x,y,f1,beta0);betaci=nlparci(beta,R,J);beta,betaci beta0线性化线性化模型估计结果模型估计结果 福福 州州 大大 学学252023/3/29非线性模型结果分析非线性模型结果分析参数参数参数估参数估计值计值置信区置信区间间 1212.6819197.2029 228.1609 20.06410.0457 0.0826 画面左下方的画面左下方的Export 输出其它统计结果。输出其它统计结果。拖动画面的十字线，得拖动画面的十字线，得y的预测值和预测区间的预测值和预测区间剩余标准差剩余标准差s=10.9337最终反应速度为最终反应速度为半速度点半速度点(达到最终速度一半达到最终速度一半时的时的x值值)为为其它输出其它输出命令命令nlintool 给出交互画面给出交互画面o 原始数据原始数据+拟合结果拟合结果 福福 州州 大大 学学262023/3/29混合反应模型混合反应模型 x1为底物浓度，为底物浓度，x2为一示性变量为一示性变量x2=1表示经过处理，表示经过处理，x2=0表示未经处理表示未经处理1是未经处理的最终反应速度是未经处理的最终反应速度 1是经处理后最终反应速度的增长值是经处理后最终反应速度的增长值 2是未经处理的反应的半速度点是未经处理的反应的半速度点2是经处理后反应的半速度点的增长值是经处理后反应的半速度点的增长值 在同一模型中考虑嘌在同一模型中考虑嘌pio呤呤lng霉素处理的影响霉素处理的影响福福 州州 大大 学学27福福 州州 大大 学学282023/3/29o 原始数据原始数据+拟合结果拟合结果 未经未经处理处理经处理经处理简化的混合模型简化的混合模型 简化的混合模型简化的混合模型形式简单，形式简单，参数置信区参数置信区间间不含零点不含零点剩余标准差剩余标准差 s=10.5851，比一般混合模型略大，比一般混合模型略大 估计结果和预测估计结果和预测参参数数参数估参数估计值计值置信区置信区间间 1166.6025154.4886 178.7164 20.05800.0456 0.0703 142.025228.9419 55.1085福福 州州 大大 学学292023/3/29一般混合模型与简化混合模型预测比较一般混合模型与简化混合模型预测比较实际实际值值一般模型一般模型预测预测值值(一般一般模型模型）简简化模型化模型预测预测值值(简简化化模型模型）6747.34439.207842.73585.44465147.34439.207842.73585.44468489.28569.571084.73567.0478191190.83299.1484189.05748.8438201190.83299.1484189.05748.8438207200.968811.0447198.183710.1812200200.968811.0447198.183710.1812简化混合模型的预测区间较短，更为实用、有效简化混合模型的预测区间较短，更为实用、有效预测区间为预测区间为预测值预测值 福福 州州 大大 学学30福福 州州 大大 学学312023/3/2910.4投资额与国民生产总值和物价指数投资额与国民生产总值和物价指数 问问题题建立投资额模型，研究建立投资额模型，研究某地区某地区实际投资额与国民实际投资额与国民生产总值生产总值(GNP)及物价指数及物价指数(PI)的关系的关系2.06883073.0424.5201.00001185.9195.0101.95142954.7474.9190.96011077.6166.491.78422631.7401.9180.9145992.7144.281.63422417.8423.0170.8679944.0149.371.50422163.9386.6160.8254873.4133.361.40051918.3324.1150.7906799.0122.851.32341718.0257.9140.7676756.0125.741.25791549.2206.1130.7436691.1113.531.15081434.2228.7120.7277637.797.421.05751326.4229.8110.7167596.790.91物价物价指数指数国民生国民生产总值产总值投投资额资额年份年份序号序号物价物价指数指数国民生国民生产产总值总值投投资额资额年份年份序号序号根据对未来根据对未来GNP及及PI的估计，预测未来投资额的估计，预测未来投资额 该地区该地区连续连续20年的统计数据年的统计数据 福福 州州 大大 学学322023/3/29时间序列中同一变量的顺序观测值之间存在时间序列中同一变量的顺序观测值之间存在自相关自相关以时间为序的数据，称为以时间为序的数据，称为时间序列时间序列 分分析析许多经济数据在时间上有一定的许多经济数据在时间上有一定的滞后滞后性性 需要诊断并消除数据的自相关性，建立新的模型需要诊断并消除数据的自相关性，建立新的模型若采用普通回归模型直接处理，将会出现不良后果若采用普通回归模型直接处理，将会出现不良后果 投资额与国民生产总值和物价指数投资额与国民生产总值和物价指数 1.32341718.0257.9140.7676756.0125.741.25791549.2206.1130.7436691.1113.531.15081434.2228.7120.7277637.797.421.05751326.4229.8110.7167596.790.91物价物价指数指数国民生国民生产总值产总值投投资额资额年份年份序号序号物价物价指数指数国民生国民生产产总值总值投投资额资额年份年份序号序号福福 州州 大大 学学332023/3/29基本回归模型基本回归模型投资额与投资额与 GNP及物价指数间均有很强的线性关系及物价指数间均有很强的线性关系t 年份，年份，yt 投资额，投资额，x1t GNP,x2t 物价指数物价指数 0,1,2 回归系数回归系数x1tytx2tyt t 对对t相互相互独立的零均值正态随机变量独立的零均值正态随机变量福福 州州 大大 学学342023/3/29基本回归模型的结果与分析基本回归模型的结果与分析 MATLAB统计工具箱统计工具箱参数参数参数估参数估计值计值置信区置信区间间 0322.7250224.3386 421.1114 10.61850.4773 0.7596 2-859.4790-1121.4757 -597.4823 R2=0.9908 F=919.8529 p=0.0000剩余标准差剩余标准差 s=12.7164没有考虑时间序列数据的没有考虑时间序列数据的滞后性影响滞后性影响R20.9908，拟合度高，拟合度高模型优点模型优点模型缺点模型缺点可能忽视了随机误差存在可能忽视了随机误差存在自相关自相关；如果；如果存在自相关性，用此模型会有不良后果存在自相关性，用此模型会有不良后果福福 州州 大大 学学352023/3/29自相关性的定性诊断自相关性的定性诊断 残差诊断法残差诊断法模型残差模型残差作残差作残差 etet-1散点图散点图大部分点落在第大部分点落在第1,3象限象限 t 存在正的自相关存在正的自相关 大部分点落在第大部分点落在第2,4象限象限 自相关性直观判断自相关性直观判断在在MATLAB工作区中输出工作区中输出et为随机误差为随机误差 t 的估计值的估计值 et-1et t 存在负的自相关存在负的自相关 基本回归基本回归模型的随机误模型的随机误差项差项 t 存在正的自相关存在正的自相关 福福 州州 大大 学学362023/3/29自回归自回归性性的的定量诊断定量诊断自回归模型自回归模型自相关系数自相关系数 0,1,2 回归系数回归系数=0无无自相关性自相关性 0 0如何估计如何估计 如何消除自相关如何消除自相关性性D-W统计量统计量D-W检验检验 ut 对对t相互相互独立的零均值正态随机变量独立的零均值正态随机变量存在负存在负自相关性自相关性存在正存在正自相关性自相关性广义差分法广义差分法 福福 州州 大大 学学372023/3/29D-W统计量与统计量与D-W检验检验 检验水平检验水平,样本容量，样本容量，回归变量数目回归变量数目D-W分布分布表表n较大较大DW4-dU44-dLdUdL20正正自自相相关关负负自自相相关关不不能能确确定定不不能能确确定定无无自自相相关关检验检验临界值临界值dL和和dU由由DW值的大小确定值的大小确定自相关性自相关性福福 州州 大大 学学382023/3/29广义差分变换广义差分变换 以以*0,1,2 为为回归系数的普通回归模型回归系数的普通回归模型原模型原模型 DW值值 D-W检验检验无自相关无自相关 有自相关有自相关 广义广义差分差分继续此继续此过程过程原模型原模型 新模型新模型 新模型新模型 步骤步骤 原模型原模型变换变换不能确定不能确定增加数据量；增加数据量；选用其它方法选用其它方法 福福 州州 大大 学学392023/3/29投资额新模型的建立投资额新模型的建立 DWold dL 作变换作变换 原模型原模型残差残差et样本容量样本容量n=20，回归，回归变量数目变量数目k=3，=0.05 查表查表临界值临界值dL=1.10,dU=1.54DWold=0.8754原模型有原模型有正自相关正自相关DW4-dU44-dLdUdL20正正自自相相关关负负自自相相关关不不能能确确定定不不能能确确定定无无自自相相关关福福 州州 大大 学学402023/3/29参数参数参数估参数估计值计值置信区置信区间间*0163.49051265.4592 2005.2178 10.69900.5751 0.8247 2-1009.0333-1235.9392 -782.1274R2=0.9772 F=342.8988 p=0.0000总体效果良好总体效果良好 剩余标准差剩余标准差 snew=9.8277 sold=12.7164投资额新模型的建立投资额新模型的建立 福福 州州 大大 学学412023/3/29新模型的自相关性检验新模型的自相关性检验dU DWnew 4-dU 新模型新模型残差残差et样本容量样本容量n=19，回归，回归变量数目变量数目k=3，=0.05 查表查表临界值临界值dL=1.08,dU=1.53DWnew=1.5751新模型无自相关性新模型无自相关性DW4-dU44-dLdUdL20正正自自相相关关负负自自相相关关不不能能确确定定不不能能确确定定无无自自相相关关新模型新模型还原为还原为原始变量原始变量一阶自回归模型一阶自回归模型福福 州州 大大 学学422023/3/29一阶自回归一阶自回归模型残差模型残差et比比基本回归基本回归模型要小模型要小新模型新模型 et*，原模型原模型 et+残差图比较残差图比较新模型新模型 t *，新模型新模型 t +拟合图比较拟合图比较模型结果比较模型结果比较基本回归模型基本回归模型一阶自回归模型一阶自回归模型福福 州州 大大 学学432023/3/29投资额预测投资额预测对未来投资额对未来投资额yt 作预测，需先作预测，需先估计出未来的国民估计出未来的国民生产总值生产总值x1t 和物价指数和物价指数x2t设已知设已知t=21时，时，x1t=3312，x2t=2.1938一阶自回归模型一阶自回归模型2.06883073.0424.5201.95142954.7474.9191.78422631.7401.9180.7436691.1113.530.7277637.797.420.7167596.790.91物价物价指数指数国民生国民生产总值产总值投投资额资额年份年份序号序号物价物价指数指数国民生国民生产产总值总值投投资额资额年份年份序号序号一阶自回归模型一阶自回归模型基本回归模型基本回归模型t 较小是由于较小是由于yt-1=424.5过小所致过小所致福福 州州 大大 学学44蛛蛛网网模模型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0 福福 州州 大大 学学45xy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点xy0y0 x0P0fg 曲线斜率曲线斜率蛛蛛网网模模型型 福福 州州 大大 学学46在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线P0稳定稳定P0不稳定不稳定方方程程模模型型方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致福福 州州 大大 学学47 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 ,的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格经济稳定经济稳定结果解释结果解释福福 州州 大大 学学48经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1.使使 尽量小，如尽量小，如=0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直福福 州州 大大 学学49模型的推广模型的推广生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件福福 州州 大大 学学50方程通解方程通解(c1,c2由初始条件确定由初始条件确定)1,2特征根，即方程特征根，即方程的根的根平衡点稳定，即平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件:平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件放宽了放宽了模型的推广模型的推广福福 州州 大大 学学517.2减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25超重超重;BMI30肥胖肥胖.福福 州州 大大 学学52模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。福福 州州 大大 学学53某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。福福 州州 大大 学学54确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡w=100千克不变千克不变福福 州州 大大 学学55第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1千克千克,c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划福福 州州 大大 学学56第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型基本模型福福 州州 大大 学学57第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,体重按体重按减少至减少至75千克。千克。福福 州州 大大 学学58运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量(千卡千卡):跑步跑步跳舞跳舞乒乓乒乓自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.03.04.42.57.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)基本基本模型模型福福 州州 大大 学学593）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变不运动不运动运动运动(内容同前内容同前)福福 州州 大大 学学607.3差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型(Logistic模型模型)t,xN,x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t)某种群某种群t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N,则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N 是平衡点是平衡点福福 州州 大大 学学61离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程(1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x*的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点福福 州州 大大 学学62(1)的平衡点的平衡点x*代数方程代数方程x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点x*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点x*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性福福 州州 大大 学学6301的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点稳定性稳定性x*稳定稳定x*不不稳定稳定另一平衡另一平衡点为点为x=0不稳定不稳定福福 州州 大大 学学6401/2101的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性福福 州州 大大 学学65初值初值x0=0.2数值计算结果数值计算结果b 3.57,不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周期收敛福福 州州 大大 学学69的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象b福福 州州 大大 学学707.4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模假设与建模种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,n时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di,存活率存活率为为si=1-di福福 州州 大大 学学71假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)(设至少设至少1个个bi0)福福 州州 大大 学学72稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识L矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征根 1，若若L矩阵存在矩阵存在bi,bi+10,则则P的第的第1列是列是x*特征向量特征向量,c是由是由bi,si,x(0)决定的常数决定的常数且且解解释释L对角化对角化福福 州州 大大 学学73稳态分析稳态分析k充分大充分大种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布,与初始分布无关。与初始分布无关。各年龄组种群数量按同一各年龄组种群数量按同一倍数增减，倍数增减，称固有增长率称固有增长率与基本模型与基本模型比较比较3）=1时时各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变福福 州州 大大 学学741个个体在整个存活个个体在整个存活期内的繁殖数量为期内的繁殖数量为1稳态分析稳态分析存活率存活率si是同一时段的是同一时段的xi+1与与xi之比之比（与（与si 的定义的定义比较）比较）3）=1时时福福 州州 大大 学学75第八章第八章 离散模型离散模型8.1层次分析模型层次分析模型8.2循环比赛的名次循环比赛的名次8.3社会经济系统的冲量过程社会经济系统的冲量过程8.4 效益的合理分配效益的合理分配y福福 州州 大大 学学76离散模型离散模型 离散模型：差分方程（第离散模型：差分方程（第7 7章）、章）、整数规划（第整数规划（第4 4章）、图论、对策