(完整word版)高中数学不等式知识点总结(2),推荐文档.pdf

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弹性学制数学讲义不等式（4 课时）知识梳理1、不等式的基本性质（对称性）abba（传递性）,ab bcac（可加性）abacbc（同向可加性）dbcadcba,（异向可减性）dbcadcba,（可积性）bcaccba0,bcaccba0,（同向正数可乘性）0,0abcdacbd（异向正数可除性）0,0ababcdcd（平方法则）0(,1)nnababnNn且（开方法则）0(,1)nnabab nNn且（倒数法则）babababa110;1102、几个重要不等式222abab abR，,（当且仅当ab时取号）.变形公式：22.2abab（基本不等式）2abababR，,（当且仅当ab时取到等号）.变形公式：2abab2.2abab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）33abcabc()abcR、（当且仅当abc时取到等号）.222abcabbcca abR，（当且仅当abc时取到等号）.3333(0,0,0)abcabc abc（当且仅当abc时取到等号）.0,2baabab若则（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab若则（当仅当a=b 时取等号）banbnamambab1，（其中000)abmn，规律：小于1 同加则变大，大于1 同加则变小.220;axaxaxaxa当时，或22.xaxaaxa绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式平均不等式：2211222abababab，,a bR（，当且仅当ab时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 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ba ba b向量形式的柯西不等式：设,u r u r是两个向量，则,u r u ru r u r当且仅当u r是零向量，或存在实数k，使ku ru r时，等号成立.排序不等式（排序原理）：设1212.,.nnaaabbb为两组实数.12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列，则12111 122.nnnnna ba ba ba ca ca c1 122.nna ba ba b（反序和乱序和顺序和），当且仅当12.naaa或12.nbbb时，反序和等于顺序和.琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x,对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 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ZM10V2O4H5Q52()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当1a时,()()()()fxg xaaf xg x当01a时,()()()()f xg xaaf xg x规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法当1a时,()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x当01a时,()0log()log()()0.()()aaf xf xg xg xf xg x规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).(0)aaaaa平方法：22()()()().f xg xfxgx同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a(0);xaxaxa a或文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 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HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5()()()()()()0)f xg xg xf xg xg x()()()()()()()0)f xg xf xg xf xg xg x或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20axbxc且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与 0的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a()f xa恒成立max();f xa()f xa恒成立max();f xa()f xa恒成立min();f xa()f xa恒成立min().f xa15、线性规划问题常见的目标函数的类型：文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 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ZM10V2O4H5Q5“截距”型：;zAxBy“斜率”型：yzx或;ybzxa“距离”型：22zxy或22;zxy22()()zxayb或22()().zxayb在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 ZM10V2O4H5Q5文档编码:CL1C3D10Z3X9 HX9G1H4J7N2 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