专题13 概率统计解答题-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）含解析.pdf

2013-2022 十年全国高考数学真题分类汇编十年全国高考数学真题分类汇编专题专题 13概率统计解答题概率统计解答题一、解答题一、解答题1(2022 年全国甲卷理科第 19 题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 05，04，08，各项目的比赛结果相互独立(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望2(2022 年全国乙卷理科第 19 题)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：2m)和材积量(单位：3m)，得到如下数据：样本号12345678910总和根部横截面积ix0040060040080.0800500500700700606材积量iy02504002205405103403604604204039并计算得10101022iiiii=1i=1i=10.038,1.6158,0.2474xyx y(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到 001)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值附：相关系数iii=122iii=1i=1(,1.8961.377)()()()nnnxxyyrxxyy3(2022 新高考全国 II 卷第 19 题)在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40,50)的人口占该地区总人口的16%从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40,50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 00001)4(2022 新高考全国 I 卷第 20 题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 R()证明：(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP A B；()利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用()的结果给出 R 的估计值附22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，2P Kk005000100001k38416635108285(2021 年新高考全国卷第 21 题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)iP Xip i(1)已知01230.4,0.3,0.2,0.1pppp，求()E X；(2)设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：230123pp xp xp xx的一个最小正实根，求证：当()1E X 时，1p，当()1E X 时，1p；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义6(2021 年新高考卷第 18 题)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分：B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 08，能正确回答 B 类问题的概率为 06，且能正确回答问题的概率与回答次序无关(1)若小明先回答 A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由7(2020 年新高考 I 卷(山东卷)第 19 题)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO浓度(单位：3g/m)，得下表：2SOPM2.50,50(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的22列联表：2SOPM2.50,150(150,4750,75(75,115(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，2()P Kk0 0500 0100 001k3 8416 63510 8288(2020 新高考 II 卷(海南卷)第 19 题)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO浓度(单位：3g/m)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的22列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，9(2021 年高考全国乙卷理科第 17 题)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21S和22S(1)求x，y，21S，22S；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2212210SSyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)10(2021 年高考全国甲卷理科第 17 题)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n adbcKa b c d a c b d2P Kk005000100001k384166351082811(2020 年高考数学课标卷理科第 19 题)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为12，(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率12(2020 年高考数学课标卷理科第 18 题)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，20)，其中 xi和 yi分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix，2011200iiy，2021)80iixx（，2021)9000iiyy（，201)800iiixyxy（(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(xi，yi)(i=1，2，20)的相关系数(精确到 001)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由附：相关系数 r=12211)niiiiinniixyxxyyyx（，141413(2020 年高考数学课标卷理科第 18 题)某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级0，200(200，400(400，6001(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的 22 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，P(K2k)005000100001k3.84166351082814(2019 年高考数学课标卷理科第 17 题)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成,A B两组，每组 100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到 P C的估计值为0.70(1)求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)15(2019 年高考数学课标全国卷理科第 18 题)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束 1求2P X；2求事件“4X 且甲获胜”的概率16(2019 年高考数学课标全国卷理科第 21 题)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定，对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为 X(1)求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8)ip i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则08110,1,iiiipppapbpcp(1,2,7i)，其中(1)aP X，(0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8(i)证明：1(0,1,2,7)iippi为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性17(2018 年高考数学课标卷(理)第 18 题)(12 分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种生产方式，为比较两咱生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452110090(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22n adbcKabcdacbd2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818(2018 年高考数学课标卷(理)第 18 题)(12 分)下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 年份200406080100120140160180200220240投资额14192535374242475356122129148171184209220为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型 根据 2000年至 2016 年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型：30.413.5yt；根据 2010 年至2016 年的数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型：9917.5yt(1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19(2018 年高考数学课标卷(理)第 20 题)(12 分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(pp，且各件产品是否为不合格品相互独立(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为)(pf,求)(pf的最大值点0p(2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的0p作为p的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？20(2017 年高考数学新课标卷理科第 19 题)(12 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求(1)P X 及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查()试说明上述监控生产过程方法的合理性；()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：99510129969961001992998100410269911013100292210041005995经计算得16119.9716iixx，161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到 0 01)附：若 随 机 变 量Z服 从 正 态 分 布2(,)N，则(33)0.997 4PZ，160.997 40.959 2，0.0080.0921(2017 年高考数学课标卷理科第 18 题)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关 如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最 高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率()求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位:瓶)的分布列;()设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元)当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?22(2017 年高考数学课标卷理科第 18 题)(12 分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)某频率直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg,新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 001)22()()()()()n adbcKab cd ac bd23(2016 高考数学课标卷理科第 18 题)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.()由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明;()建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据:719.32iiy,7140.17iiit y,721()0.55iiyy,72.646.参考公式:相关系数12211()()()()niiinniiiittyyrttyy回归方程yabt中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:121()()()niiiniittyybtt,aybt.24(2016 高考数学课标卷理科第 18 题)(本题满分 12 分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年 度出险 次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0300150200200100 05(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值25(2016 高考数学课标卷理科第 19 题)(本小题满分 12 分)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：04020891011更换的易损零件数频数以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(I)求X的分布列；(II)若要求()0.5P Xn，确定n的最小值；(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n 与20n 之中选其一，应选用哪个？26(2015 高考数学新课标 2 理科第 18 题)(本题满分 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579()根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；456789AB地区地区()根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率27(2015 高考数学新课标 1 理科第 19 题)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近 8 年的年宣传费ix和年销售量iy(i=1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。xyw821()iixx821(w)iiw81()()iiixxyy81(w)()iiiw yy46 656 36828981614691088表中iiwx，81wiiw。()根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)()根据()的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；()已知这种产品的年利率z与x、y的关系为0.2zyx根据()的结果回答下列问题：(i)年宣传费49x 时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v,22(,)u v，(,)nnu v,其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121(u)(v),.(u)niiiniiuvvuu、28(2014 高考数学课标 2 理科第 19 题)(本小题满分 12 分)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入 y29333644485259()求 y 关于 t 的线性回归方程；()利用()中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：29(2014 高考数学课标 1 理科第 18 题)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s(同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)N,其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差2s(i)利用该正态分布,求(187.8212.2)PZ;(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值为于区间(187 8,212 2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX附:15012.2若Z2(,)N,则()0.6826PZmdmd-+=(22)0.9544PZmdmd-400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，P(K2k)005000100001k3.841663510828【答案】【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；(2)350；(3)有，理由见解析解析：(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为2 16250.43100，等级为2的概率为5 10 120.27100，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100 20300 35500 45350100(3)22列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好2282210033 837 225.8203.84155 45 70 30K，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题【题目栏目】统计相关关系、回归分析与独立性检验独立性检验【题目来源】2020 年高考数学课标卷理科第 18 题14(2019 年高考数学课标卷理科第 17 题)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成,A B两组，每组 100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到 P C的估计值为0.70(1)求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)【答案】(1)0.35a，0.10b；(2)4.05，6.00【官方解析】(1)由已知得0.70=0.200.15a，故0.35a，b1 0.050.150.700.10(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2 0.153 0.204 0.305 0.206 0.107 0.054.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3 0.054 0.105 0.156 0.357 0.208 0.156.00 【点评】本题考查频率分布直方图的相关概念和频率分布直方图中平均数法人计算，属于基础题【题目栏目】统计用样本估计总体用样本的数字特征估计总体的数字特征【题目来源】2019 年高考数学课标卷理科第 17 题15(2019 年高考数学课标全国卷理科第 18 题)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束 1求2P X；2求事件“4X 且甲获胜”的概率【答案】【答案】1 0.5；2 0.1.【官方解析】【官方解析】12X 就是10:10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此 20.5 0.41 0.51 0.40.5P X 24X 且甲获胜，就是10:10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为 0.51 0.41 0.50.40.5 0.40.1【分析】【分析】1本题首先可以通过题意推导出2P X 所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；2本题首先可以通过题意推导出4P X 所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果.【解析】【解析】1由题意可知，2P X 所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，所以()20.5 0.4 0.5 0.60.5P X=+=.2由题意可知，4P X 包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”所以()40.5 0.6 0.5 0.4+0.5 0.4 0.5 0.40.1P X=创创创=.【点评】【点评】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出2P X 以及()4P X=所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题.【题目栏目】概率相互独立事件相互独立事件同时发生的概率【题目来源】2019 年高考数学课标全国卷理科第 18 题16(2019 年高考数学课标全国卷理科第 21 题)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定，对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为 X(1)求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8)ip i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则08110,1,iiiipppapbpcp(1,2,7i)，其中(1)aP X，(0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8(i)证明：1(0,1,2,7)iippi为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性【答案】【答案】(1)解：X 的所有可能取值为1,0,1，(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P XP XP X ，所以X的分布列为X101P(1)(1)(1)(1)(2)(i)由(1)得0.4,0.5,0.1abc因此110.40.5 0.1iiiipppp，故110.1()0.4()iiiipppp，即114()iiiipppp又因为1010ppp，所以1(0,1,2,7)iippi为公比为 4，首项为1p的等比数列(ii)由(i)可得8887761008776101 41()()()3 ppppppppppppppp.由于81p，故18341p，所以44433221101411()()()()3257 pppppppppp4p表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理【题目栏目】概率离散型随机变量的均值、方差【题目来源】2019 年高考数学课标全国卷理科第 21 题17(2018 年高考数学课标卷(理)第 18 题)(12 分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种生产方式，为比较两咱生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452110090(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22n adbcKabcdacbd2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案【答案】【官方解析】(1)第二种生产方式的效率更高理由如下：(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟因此第二种生产方式的效率更高(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 855 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 735 分钟因此第二种生产方式的效率更高(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分(2)由茎叶图知7981802m列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于222()40(15 15 5 5)106.635()()()()20 20 20 20n adbcKab cd ac bd 所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【民间解析】(1)法一：第二种生产方式效率更高，因为第二种多数数据集中在70min80min之间，第一种多数数据集中在80min 90min之间，易知第一种完成任务的平均时间大于第二种，故第二种生产方式的效率更高。法二：第一种生产方式完成任务的平均时间为687276777982838384858687878889909091 91 922012843 12334567789 10 10 11 11 128020 80808420第二种生产完成任务的平均时间为65656668697071727273747576767881 848485902015 15 14 12 11 10988765442 1445 1010680802020 74.7第一种生产方式完成任务的平均时间84第二种生产方式完成任务的平均时间7