湖南省名校联合体2022-2023学年高一下学期第一次联考数学试题含答案.pdf
名校联考联合体名校联考联合体 2023 年春季高一第一次联考年春季高一第一次联考数数 学学 时量：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合Ay yx2，Bx yxlg，则下列结论正确的是()A.ABB.ABC.BAD.ABx x12.若命题 px:0,，xx21，则命题p的否定为()A.x0,0，xx2100 B.x0,0，xx2100 C.x0,0，xx2100 D.x0,，xx213.不等式xaxb02的解集是xx23，则 bxax 102的解集是()A.xx23B.xx32C.xx2311D.xx32114.如图，在ABC中，点D是边BC的中点，AGGD2，则用向量AB，AC表示BG为()A.BGABAC3321B.BGABAC3312C.BGABAC3321D.BGABAC33215.若 tan2，则sin21 cos2()A.32B.23C.43D.346.已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且baB2 sin，则BCcossin的取值范围是()A.0,3 B.1,3C.22,13D.22,3 37.如图，正方形ABCD的边长为2，圆A半径为1，点P在圆A上运动，则BP BD的取值范围是()A.2,6 B.2 2,6 6 C.42 2,42 2 D.2,2 2 8.设函数 yf x在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数 ,4,pf xf xpfxf xp则称函数 pfx为 fx的“p界函数”.若给定函数 221f xxx，2p，则下列结论不成立的是()A.00ppffff B.11ppffff C.22ppffff D.33pffff 二、选择题二、选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目目要求要求，全部全部选对的得选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0 分分.9.下列结论正确的是()A.0.4220.4 B.2lg200ln 2e C.cos1sin1 D6tan15 10.已知向量cos,sin02a，13,22 b，若44abab，则下列结论在确的是()A.ab B.3 C.435ab D.2ab与2ab的夹角为锐角 11.三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断ABC是钝角三角形的有()A.6a，5b，4c B.0AB BC C.sinsinsinabCcbAB D.2222sinsin2coscosbCcBbcBC 12.已知函数 3sincosf xxx，则()A.函数 fx关于y轴对称 B.函数 fx的最小正周期为2 C.函数 fx的值域为3,2 D.方程 f xm在,2上至多有8个实数根 三、填空题三、填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.13.设a，b是两个不共线的向量，2ABkab，BC ab，2CD ab，若A，B，D三点共线，则实数k的值为_.14.已知函数 23logf xxx的零点为0 x，且0,1xn n，nZ，则n_.15.在ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，s表示ABC的面积，若coscosaBbAsincC，22214sbca，则B _.16.已知平面向量a，b，c，若2abab，且224 3cacb，则c的取值范围是_.四、解答题四、解答题：本题共：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)设2sin,cos2OAxx，cos,1OBx，其中0,2x.(1)当OAOB时，求x的值；(2)求 f xOA OB的最大值及取最大值时对应的x的值.18.(本小题满分 12 分)如图，已知角的终边与单位圆交于点A5 5,3 4，将角的终边顺时针旋转35得到角，设角的终边与单位圆交于点B.(1)求2sin5sincos的值；(2)求点B的坐标.19.(本小题满分 12 分)如图，在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acacb222，点D为BC的中点，AD3，记BAD.(1)若6，求AB的值；(2)求ac2的取值范围.20.(本小题满分 12 分)如图，在ABC中，已知4AB，10AC，60BAC，BC边上的中点为M，点N是边AC上的动点(不含端点)，AM，BN相交于点P.(1)求BC；(2)当点N为AC中点时，求：MPN的余弦值；(3)求：NA NB的最小值；当NA NB取得最小值时设BPBN，求的值.21.(本小题满分 12 分)5G技术的价值和意义在自动驾驶、物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：2log1PCWN，其中：C(单位：bit/s)是信道容量或者叫信道支持的最大速度，W(单位；Hz)是信道的带宽，P(单位：dB)是平均信号功率，N(单位：dB)是平均噪声功率，PN叫做信噪比.(1)根据香农公式，如果不改变带宽W，那么将信噪比PN从1023提升到多少时，信道容量C能提升10%？(2)已知信号功率12PPP，证明：122221log1log1log1PPPWWWNNNP；(3)现有3个并行的信道1X，2X，3X，它们的信号功率分别为1P，2P，3123P PPP，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据(2)中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？(只需写出结论)22.(本小题满分 12 分)已知函数 fx，如果存在给定的实数对,a b，使得f axf ax恒成立，则称 fx为“完美函数”.(1)判断函数 1fxx，22xfx 是否是“完美函数”，并说明理由；(2)若 3tanfxx是一个“完美函数”，求出所有满足条件的有序实数对,a b；(3)若定义域为R的函数 fx是“完美函数”，且存在满足条件的有序实数对0,1和1,4，当0,1x时，fx的值域为1,2，求当2022,2022x 时，函数 fx的值域.一、单项选择一、单项选择名校联考联合体名校联考联合体 2023 年春季高一第一次联考数学参考答案年春季高一第一次联考数学参考答案题题 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C A B D C B 二、多项选择题二、多项选择题 9 10 11 12 AB AC BC ACD 三、填空题三、填空题 13.114.215.416.2,4四、解答题四、解答题 17.【解析】【解析】(1)法一：OA OBxxcos2sin20，xtan21.x20,，x42，即x8.法二：由OA OBxxx4cos2sin22cos 20，得x4cos 20，又x4442,5，得x422，即x8.(2)2sin coscos2cos2sin22cos 24f xxxxxxx，由0,2x得52,444x.当244x时，f x取最大值为1，此时0 x.18.【解析】【解析】(1)由题知：3cos5，4sin5，4tan3，原式sincos1tan1cos3.(2)53，513143343 3sinsinsinsincos3322252510，513133434 3coscoscoscossin3322252510.点B的坐标为34 3 43 3,1010.19.【解析】【解析】(1)222acacb，2221cos222acbacBacac，23B，又6，则6ADB，在ABD中，3AD，由正弦定理知：sinsinADABBADB，13sin21sin32ADADBABB.(2)在ABD中，由23B知，0,3，由正弦定理知：22sinsinsin33BDABAD，则4sina，2sin3c，24sin4sin2sin2 3cos4sin33ac，由0,3，可知2,333，则3sin,132，22 3,4ac.20.【解析】【解析】(1)4AB，10AC，60BAC，由余弦定理知：222222cos4102 4 10 cos6076BCABACAB ACBAC，2 19BC.(2)设AB a，AC b，M、N分别为BC、AC的中点，1122AM ab，12BN ab，4a，10b，14 10202a b，21111116201003922424AMab，21116201002124BN ab，又2211111112222244AM BN ababaa bb.124 91cos913921AM BNMPNAMBN.(法 2：建系再利用向量AM，BN求解(优美解)；法 3：利用重心性质，通过解ABP求解；法 4：转化为cosMACBNA求解)(3)设22221,42112NAx NA NBNANAABNANA ABxxxxx，当1x 即1NA 时，NA NB取最小值1，911010BNBABC，2BCBM，01BPBN，919105105BPBABMBABM，A，P，M三点共线，910110511，1011.21.【解析】【解析】(1)当1023PN时，2log 102410CWW，令2log1101 10%PWWN，得2log111PWWN，解得：11212047PN，所以若不改变带宽W，将信噪比从1023提升到2047时，信道容量C能提升10%.(2)证明：右边12121222211log1log1log11log1PPPPPWWWWNNPNNPN11221212222111log1log1log1PNPPPPPPPPWWWNPNNPNNPNN左边，所以原式成立.(3)分配到信道1X上能获得最大的信道容量.理由：由(2)可知当12PPP时，12222log1log1log1PPPWWWNNN，随着P的增大C也会增大，但增加的速度会越来越慢，所以把那一小份分配到信道1X上能获得最大的信道容量.22.【解析】【解析】(1)若 1fxx是“完美函数”，则存在实数对,a b，使得axaxb，即22xab对xR恒成立，而关于x的方程22xab最多有两个解，不符合题意，因此 1fxx不是“完美函数”.若 22xfx 是“完美函数”，则存在实数对,a b，使得2222a xa xab，即存在常数对2,2aa满足条件，因此 22xfx 是“完美函数”.(2)3tanfxx是一个“完美函数”，存在有序实数对,a b满足tantanaxaxb恒成立，当2ak，kZ时，21tantantanaxaxx，不是常数.2ak，kZ，当2ak，kZ时，有2222tantantantantantan1 tantan1tantan1 tantanaxaxaxbaxaxax恒成立，即222tan1 tantan0baxab恒成立.则222,tan10,tan1,4tan011.akkbaaabbb Z 因此满足 3tanfxx是一个“完美函数”时，实数对,14a bk，kZ.(3)函数 f x是“完美函数”，且存在满足条件的有序实数对0,1和1,4，1f xfx，114fxfx，11424fx fxf x fx，1,2x时，20,1x，21,2fx，42,42f xfx，0,2x时，1,4f x，1,24f x fxf x fx 1,42fxf xfxfx 24f xf x.2,4x时，4,16f x，4,6x时，16,64f x，以此类推可知：2,22xkk时，2222,2kkf x，kZ，当2020,2022x时，202020222,2f x，因此当0,2022x时，20221,2f x；当2022,0 x 时，0,2022x，202212,1f xfx.综上可知当2022,2022x 时函数 f x的值域为202220222,2.
