安徽省示范高中2022-2023学年高一上学期期末考试试卷.docx

20222023 学年度安徽省示范高中高一期末考试试卷数 学一、单选题（40 分）1下列函数中与 y = x 是同一个函数的是（ ）A. y = (x )2C y =x2B v = uD m = n2n2设集合M = 1,3,5,7,9 , N = x 2x > 7，则M Ç N = （ ）A7,9B5,7,9C3,5,7,9 D1,3,5,7,9 3. 已知函数 f (x + 2)的定义域为(-3,4 )，则函数 g (x)=f (x)3x -1的定义域为（ ）A æ 1 , 4 öB æ 1 , 2 öC æ 1 ,6 öD æ 1 ,1ö3333ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø54. 函数 y = ax ； y = bx ； y = cx ； y = d x 的图象如图所示，a，b，c，d 分别是下列四个数：4 ， 3 ，1 ， 1中的一个，则 a，b，c，d 的值分别是（ ）32A 5 ， 3 ， 1 ， 1B 3 ， 5 ， 1 ， 1432， ， ，C1135432 ， ， 3D115，2343245. 将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何 运它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只动，只要有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比如圆所示就是等宽曲线其宽就是圆的直径如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线G（又称莱洛三角形），下列关于曲线G 的描述中，正确的有（ ）（1） 曲线G 不是等宽曲线；（2） 曲线G 是等宽曲线且宽为线段 AB 的长；（3） 曲线G 是等宽曲线且宽为弧 AB 的长；（4） 在曲线G 和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5） 若曲线G 和圆的宽相等，则它们的面积相等1A.1 个B2 个C3 个D4 个106. 已知函数 f (x)= ìïa + ax, x ³ 0(a > 0 且a ¹ 1)，则“ a ³ 3 ”是“ f (x)在R 上单调递增”的（）í()ïî3 + a -1 x, x < 0A. 充分不必要条件C充要条件B. 必要不充分条件 D既不充分也不必要条件7已知 55<84，134<85设 a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）Aa<b<cBb<a<cCb<c<aDc<a<b8. 设函数 f (x) = 2sin (wx +j)-1(w > 0)，若对于任意实数j ， f (x) 在区间ép , 3p ù 上至少有 2 个零点，至øøø多有 3 个零点，则w 的取值范围是（）êë 44 úûøA é8 , 16 öB é4, 16 öC é4, 20 öD é8 , 20 ö êë 33 ÷êë3 ÷êë3 ÷êë33 ÷二、多选题（20 分）9. 对于给定实数a ，关于 x 的一元二次不等式(ax -1)(x + 1)< 0 的解集可能是（ ）A ìx | -1 < x < 1 üBx | x ¹ -1C ìx | 1 < x < -1üDíýíýRaîþîaþ10. 已知集合 A =x Î R x2 - 3x -18 < 0 ， B =x Î R x2 + ax + a2 - 27 < 0 ，则下列命题中正确的是（ ）A若 A = B ，则a = -3C若B = Æ ，则a £ -6 或a ³ 6B若 A Í B ，则a = -3D若BA 时，则-6 < a £ -3 或a ³ 611. 已知函数 f (x)= sin4 x + cos2 x ，则下列说法正确的是（ ）A. 最小正周期是p B f (x)是偶函数2C f (x)在æ - p ，0 ö上递增D x = p 是 f (x)图象的一条对称轴ç÷48èø12. 已知 x > 0 ， y > 0 且3x + 2 y = 10 ，则下列结论正确的是（ ）A. xy 的最大值为 625B. +的最大值为23x2y5C. 3 +2 的最小值为 5D. x2 + y2 的最大值为100xy213第 II 卷（非选择题）三、填空题（20 分）13. 若 x > -1 ，则 x +3的最小值是.x +114. 已知sina = 2cos a ，则sin 2a + 2sin a cosa =15. 已知函数 y = lg(x2 - x +1 + ax) 的定义域是R，则实数 a 的取值范围是16若 x, y Î R+， (x - y)2 = (xy)3 ，则 1 + 1 的最小值为.xy四、解答题（70 分）17函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当x ³ 0 时， f (x) = x2 - 2x （1） 求函数 f (x) 在 x Î ( -¥ ,0) 的解析式；（2） 当m > 0时，若| f (m) |= 1，求实数 m 的值18已知函数 f (x)= Asin (wx +j)(A > 0,w > 0,0 £ j < p )的图象如图所示.(1) 求函数 f (x)的解析式；(2) 首先将函数 f (x)的图象上每一点横坐标缩短为原来的1 ，然后将所得函数图象向右平移p个单位，最后28êú再向上平移1个单位得到函数g (x)的图象，求函数g (x)在é0, p ù 内的值域.ë2 û19. 在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC 段可近似地用函数 y = a sin(wx +j) + 20(a > 0,w > 0,0 < j < p) 的图像从最高点 A 到最低点 C 的一段来描述（如图），并且从 C 点到今天的 D 点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF 段所示，且DEF 段与 ABC 段关于直线l : x = 34对称，点B、D 的坐标分别是(12,20) 、(44,12) （1） 请你帮老张确定a、w、j 的值，写出 ABC 段的函数表达式，并指出此时 x 的取值范围；（2） 请你帮老张确定虚线DEF 段的函数表达式，并指出此时 x 的取值范围；（3） 如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？20. 已知，且函数 g (x)=x + b.2x2 + a函数 f (x)= x2 + (2 - a )x + 4 在定义域b -1,b +1上为偶函数；函数 f (x)= ax + b(a > 0)在1,2上的值域为2,4 .在，两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b 的值，并解答本题. (1)判断 g (x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)设h(x)= -x - 2c ，对任意的x1ÎR ，总存在 x2Î-2,2，使得 g (x1)= h(x2)成立，求实数 c 的取值范围.()21. 已知函数 f (x) = log39x + 1+ kx 是偶函数.(1) 当 x ³ 0 ，函数 y = f ( x) - x + a 存在零点，求实数a 的取值范围；()(2) 设函数h(x) = log3m ×3x - 2m ，若函数 f (x) 与h(x) 的图象只有一个公共点，求实数m 的取值范围.m22已知函数 f ( x) = ln(1- x) - ln(1+ x) ， g( x) = 4x + 2x +1 m -（1） 判断函数 f (x) 的奇偶性；+ 1 .2（2） 若存在两不相等的实数a, b ，使 f (a) + f (b) = 0 ，且 g (a) + g (b) ³ 0 ，求实数m 的取值范围.参考答案：1B2B3C4C5B6A7A8B9. AB10. ABC11. ABC12. BC313 2-114 8 #1.653æ -ù15 ç2 ,1úèû16 2217（1） f (x) = x2 + 2x ；（2）1或1+.18(1) f (x)= 2sin æ 2x + p öç÷3èø(2)-1,313pp解：由图象得 A = 2 ，-=T = 3 × 2p，所以w = 2 ，312344w由2 ´ 13p+j = p+ 2kp ，所以j = - 5p+ 2kp (k Î Z )，12230 £ j £ p ，j = p ，3 f (x)= 2sin æ 2x + p öç÷3èø(2)解：将函数 f (x)的图象上每一点横坐标缩短为原来的1ppæöæö，得到 y = 2sin4x +，再将 y = 2sin4x +向pææp öp öç÷ç÷332èøèøæp ö右平移 8 个单位得到 y = 2sin ç 4 ç x - 8 ÷ +3 ÷ = 2sin ç 4x - 6 ÷ ，最后再向上平移1个单位得到èèøøèøy = 2sin æ 4x - p ö +1 ，即 g (x)= 2sin æ 4x - p ö +1ç÷ç÷66ép ù所以4x - p Î éê- p , 11p ùú ，所以sin æ 4x - p öç÷êë0,2 ú 时，6ë66 ûè6 øèøèø当 x ÎÎ -1,1 ，û g (x)Î-1,319（1）a = 8 ， w = p，j = p ， f (x)= 8cosp x + 20 ， x Î0,2424224é p（2） y = 8cos êë 24(68 - x)ù + 20 ， x Î44,68（3）16 天.úû【详解】（1）由图以及B, D 两点的纵坐标可知： a = 20 -12 = 8 ， T = 12 ，可得：T = 48 ，4则 w = 2p = p ，4824由 p ´ 24 +j = 3p + 2kp (k Î Z )解得：j = p2422+ 2kp (k Î Z )，所以k = 0 ，j = p ，2ç 24所以 ABC 段的函数表达式为 f (x)= 8sin æ pèp ö2x +÷ + 20 = 8cosøp x + 20 ， x Î0,2424（2） 由题意结合对称性可知： DEF 段的函数解析式为：é py = 8cos êë 24(68 - x)ù + 20 ， x Î44,68úûê（3） 由8cos é pë 24(68 - x)ù + 20 = 24 解得： x = 60 ，úû所以买入60 - 44 = 16 天后，股票至少是买入价的两倍.20(1)选择条件见解析，a2，b0； g (x)为奇函数，证明见解析；êú(2) é- 7 , 7 ù .ë8 8 û【分析】（1）若选择，利用偶函数的性质求出参数a, b ； 若选择，利用单调性得到关于a, b 的方程，求解即可；将a, b 的值代入到g(x) 的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性；（2）将题中条件转化为“ g(x) 的值域是 f (x) 的值域的子集”即可求解.（1）选择.由 f (x)= x2 + (2 - a )x + 4 在b -1,b +1上是偶函数， 得2 - a = 0，且(b -1)+ (b +1)= 0 ，所以 a2，b0.所以 g (x)= 选择.x.2x2 + 2当a > 0 时， f (x)= ax + b 在1,2上单调递增，则ìa + b = 2ìa = 2，解得，í2a + b = 4í= 0所以 g (x)=x.2x2 + 2g (x)为奇函数.证明如下： g (x)的定义域为 R.îîb因为 g (-x)=（2）-x= -g (x)，所以 g (x)为奇函数.2x2 + 2g (x)=122( )1当 x > 0 时，2x + 2 ，因为2x +x³ 4 ，当且仅当2x =x，即 x1 时等号成立，所以0 < g x £；x4当 x < 0 时，因为 g (x)为奇函数，所以- 1 £ g (x)< 0 ；4êú当 x0 时， g (0)= 0，所以 g (x)的值域为é- 1 , 1 ù .ë44 û因为h(x)= -x - 2c 在-2,2上单调递减，所以函数h(x)的值域是-2 - 2c,2 - 2c.因为对任意的x1Î R ，总存在 x2Î-2,2，使得 g (x1ì-2 - 2c £ - 1)= h (x2)成立，所以é- 1 , 1 ù Í -2 - 2c, 2 - 2c，所以ï4 ,解得- 7 £ c £ 7 .êë4 4 úûí188ï2 - 2c ³ïî4êú所以实数 c 的取值范围是é- 7 , 7 ù .ë8 8 û21(1)-log32,0)(1,+¥)(2) ìï -1 -5 üïïï2íýîþ【分析】（1）利用偶数数的定义 f (-x) = f (x)，即可求出实数k 的值，从而得到 f (x)的解析式；令()f (x) - x + a = 0 ，得-a = f (x) - x ，构造函数g(x) = f (x) - x ，将问题转化为直线 y = -a 与函数 y = g ( x) 的图象有交点，从而求出实数a 的取值范围；（2）依题意等价于关于x 的方程log3(m × 3x - 2m) = log33x + 3- x 只有一个解，令t = 3x，讨论(m -1)t 2 - 2mt - 1 = 0的正根即可（1）解： f (x) 是偶函数， f (- x) = f (x) ，即log3(9- x + 1) - kx = log3(9x + 1) + kx 对任意 xÎ R 恒成立，9- x + 1 2kx = log3(9- x + 1) - log3(9x + 1) = log39x + 1= log33-2 x = -2x ，k = -1()即 f (x) = log39x + 1- x ，因为当 x ³ 0 ，函数 y = f ( x) - x + a 有零点，即方程log3(9x + 1) - 2x = -a 有实数根令 g(x) = log3(9x + 1) - 2x ，则函数 y = g ( x) 与直线 y = -a 有交点，g (x) = log3(9x + 1) - 2x = log3(9x + 1) - log 9x3= log39x + 1 = log 9x3(1+1 ) ， 9x又1+ 1Î(1,2 ， g(x) = log (1+1 ) Î(0,log2 ，9x所以a 的取值范围是-log339x32,0) （2）()()æ 9x +1 ö()，解：因为 f (x) = log39x +1- x = log39x +1- log 3x3= logç3 è3x÷ = logø33x + 3- x()又函数 f (x) 与h(x) 的图象只有一个公共点，则关于 x 的方程log3(m × 3x - 2m) = log33x + 3- x 只有一个解，所以m × 3x - 2m = 3x + 3- x ，令t = 3x(t > 0) ，得(m - 1)t 2 - 2mt - 1 = 0 ，1当m -1 = 0 ，即m = 1时，此方程的解为t = -，不满足题意，2()2m-1当m -1 > 0 ，即m > 1 时，此时D = 4m2 + 4(m -1) = 4m2 + m -1> 0 ，又t + t12= m -1> 0 ， t t1 2=< 0 ，m -1所以此方程有一正一负根，故满足题意，ì4m2 - 4(m -1)´ (-1) = 0ïî当m - 1 < 0 ，即m < 1时，由方程(m - 1)t 2- 2mt - 1 = 0 只有一正根，则需í-2m> 0，-1-5解得m =，2ï2(m -1)综合得，实数m 的取值范围为： ìï -1 -5 üï(1,+¥)ïïíýî2þ22（1） f (x) 为奇函数；（2） m > - 2516【分析】（1）先求出函数 f (x) 的定义域，进而根据奇偶函数的定义，判断即可；（2）易知 f (x) 是定义域内的减函数，由 f (a) + f (b) = 0 ，可知a + b = 0且a Î(-1,0 )题转化为不等式g ( x) + g (- x) ³ 0 在(-1,0 )È(0,1)有解，求m 取值范围，由(0,1)，进而可将原问æ5 ög (x) + g (- x) ³ 0 Û 4x + 4- x + 2 + (2 x + 2- x ) × 2m - m ³ 0 ，令t = 2x + 2- x ，可得t 2 + 2mt - m ³ 0 在t Îç 2, 2 ÷ 上有èø解，进而分离参数得-m £t 2在t Îæ 2, 5 ö 有解，求出 t 2的取值范围，进而可得到m 的取值范围.ç2 ÷2t -1èø2t -1【详解】（1） f ( x) = ln(1- x) - ln(1+ x) ，ì1- x > 0+> í，解得-1 < x < 1 ，î1x0x)f (x)0 ， f (x) 的定义域为(-1,1)，其定义域关于原点对称， 又 f (-x) = ln(1+ x) - ln(1- x) ， f (故 f (x) 为定义域内的奇函数.（2）函数 y = -ln (1+ x), y = ln (1- x)都是(-1,1)上的减函数， f (x) 是定义域内的减函数， f (a) + f (b) = 0 (a ¹ b)，且 f (x) 为定义在(-1,1)的奇函数，(0,1)， a + b = 0且a Î(-1,0 )原问题等价于不等式g ( x) + g (- x) ³ 0 在(-1,0 )È(0,1)有解，求m 取值范围.而 g (x) + g (- x) ³ 0 Û 4x + 4- x + 2 + (2 x + 2- x ) × 2m - m ³ 0 ，令t = 2x + 2- x ， x Î(-1,0 ) (0,1)，则t2 = 4x + 4- x + 2 ，令k = 2x，可知k Îæ 1 ,1ö(1,2)，则t = k + 1 ，2ç÷èø(1,2)，k构造函数h (k )= k + 1 ， k Îæ 1 ,1öç÷2kèø根据对数函数的单调性，可知h (k )在æ 1 ,1ö 上单调递减，在 1,2 上单调递增，ç 2÷èø由h (1)= 2, h æ 1 ö = h (2)= 5 ，可得h (k )Îæ 2, 5 ö ，所以t Îæ 2, 5 ö ，ç 2 ÷2ç2 ÷ç2 ÷èøèøèø所以t 2 + 2mt - m ³ 0 在t Îæ 2, 5 ö 上有解，ç÷2èø2èø注意到当t Îæ 2, 5 ö 时， 2t -1 > 0 ，因此-m £t 2在t Îæ 2, 5 ö 有解.ç÷2t -1ç÷2èø取 s = 2t -1，则s Î(3,4 )， t =s +1t2，从而= 1 æ s + 2 + 1 ö .èsø22t -14 ç÷因此-m £ 1 æ s + 2 + 1 ö在 s Î(3,4 )上有解.ç÷4sèø根据对勾函数的性质，可知函数 y = x + 2 + 1 在(3,4)上单调递增，x所以 1 æ s + 2 + 1 ö < 1 æ 4 + 2 + 1 ö = 25 ，ç÷ç4s44øèøè25÷1625所以-m <，即m > -.1616