中考复习之――蚂蚁爬行的最短路径问题.pdf

1/4 蚂蚁爬行的最短路径问题 专题精讲：当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题 典型例题剖析:一两点之间，线段最短与勾股定理相结合 台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm，3cm 和 1cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短线路是 .圆柱(锥)问题 1.有一圆柱体如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C 处，求蚂蚁爬行的最短距离 .2.有一圆形油罐底面圆的周长为 24m，高为 6m，一只老鼠从距底面 1m 的 A 处爬行到对角 B 处吃食物，它爬行的最短路线长为 .3.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为 30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为 80cm，绕一圈爬行 100cm，它爬行 10 圈到达树顶，则树干高多少？第 1 题 第 2 题 2/4 4.如图，底面半径为 1，母线长为 4 的圆锥，一只小蚂蚁若从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A点，它爬行的最短路线长是 .5.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为 2cm，假若点 B 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线 AC 的中点 P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 .6.已知 O 为圆锥顶点，OA、OB 为圆锥的母线，C 为 OB 中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥侧面爬行到点 A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点 B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示若沿 OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （）第 4 题 第 5 题 A.B.C.D.3/4 14ABA1B1DCD1C12正（长）方体问题 1.如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短距离是 .2.如图，一只小虫沿边长为 1 的正方体的表面从点 A 出发，经过 3 个面爬到点 B如果它运动的路径是最短的，则 AC 的长为 .3.正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 .4.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .5.如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm，高为 5cm若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .变式：如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要 cm 6.（1）如图，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为 BC3cm、AB4cm、AA15cm，盒子的内部顶点 C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点 A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假设昆虫甲在顶点 C1处静止不动，请计算 A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲 C1处的最短路程并画出其最短路径，简要说明画法（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为 ABBC6cm，AA114cm，如图，假设昆虫甲从盒内顶点 C1以 1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱 C1C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点 A 以3 厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 5 题 变式题图 4/4 研究课题：蚂蚁怎样爬最近？研究方法：如图 1，正方体的棱长为 5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点 A 沿着正方体表面爬到点 C1 处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为 AC1 AC2+CC12102+525 5cm这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题 研究实践：（1）如图 2，正四棱柱的底面边长为 5cm，侧棱长为 6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点 A 沿着棱柱表面爬到 C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为 （2）如图 3，圆锥的母线长为 4cm，圆锥的侧面展开图如图 4 所示，且AOA1120，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点 A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 A 求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长（3）如图 5，没有上盖的圆柱盒高为 10cm，底面圆的周长为 32cm，点 A 距离下底面 3cm一只位于圆柱盒外表面点 A 处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点 B 处请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长