全国高考文科数学试题及答案福建.pdf
20102010 年高考试题数学试题（文史类年高考试题数学试题（文史类)福建卷福建卷第第 I I 卷卷(选择题选择题 共共 6060 分分)1.若集合 A=x|1x3，B=x|x2，则 AB 等于A x|2x3B x|x1C x 2x3D x x22.计算 12sin222。5的结果等于A.1/2B。/2C/3D/23.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于A。B。2C。2D.64.i 是虚数单位，（1+i）/(1i)）4等于A.iB。iC.1D.-15.若 x,yR，且，则 z=x+2y 的最小值等于A。2B.3C。5D。96.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于A.2B.3C。4D.57.函数 f（x）=的零点个数为A。2B.2C.1D.08。若向量 a=（x，3）（xR）,则“x=4”是“a|=5的A.充分而不必要B.必要而不充分C 充要条件D。既不充分也不必要条件9。若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是A。91.5 和 91。5B。91.5 和 92C 91 和 91。5D。92 和 9210。将函数f（x）=sin（x+）的图像向左平移/2 个单位，若所得图像与原图像重合，则 的值不可能等于A。4B.6C.8D。1211。若点O 和点 F 分别为椭圆 x2/4+y2/3=1 的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则的最大值为A。2B。3C.6D.812。设非空集合 S=x mxl满足：当 xS 时，有 x2S。给出如下三个命题：若 m=1，则 S=1；若 m=1/2，则 1/4 l 1；l=1/2，则/2m0其中正确命题的个数是A.0B.1C。2D。3第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置.13。若双曲线 x2/4y2/b2=1（b0）的渐近线方程为 y=1/2 x，则 b 等于。14.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组。绘制频率分步直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为 2:3：4:6：4：1，且前三组数据的频率之和等于27，则 n 等于。15。对于平面上的点集，如果连接 中任意两点的线段必定包涵，则称 为平面上的凸集，给出平面上 4 个点集的图形如下（阴影区域及其边界）:其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号)。16.观察下列等式：cos2=2 cos21；cos 4=8 cos48 cos2+1；cos 6=32 cos648 cos418 cos21；cos 8=128 cos8256cos6160 cos432 cos21；cos 10=mcos101280 cos81120cos6ncos4p cos21；可以推测,mn+p=.三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）数列a n中,a 1=1/3，前 n 项和 Sn满足 Sn+1Sn=(1/3）n+1（n）N*.(I）求数列a n的通项公式 a n以及前 n 项和 Sn（II）若 S1，t（S1+S2），3（S2+S3)成等差数列，求实数 t 的值。18。(本小题满分 12 分)设平面向量 am=（m，1)，bn=（2,n），其中 m,n1,2，3,4。（I)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；（II)记“使得 am（ambn）成立的（m，n)”为事件 A，求事件 A 发生的概率。19.(本小题满分 12 分）已知抛物线 C 的方程 C：y2=2 p x（p0）过点 A（1，-2）.（I）求抛物线 C 的方程,并求其准线方程；(II）是否存在平行于OA（O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线OA 与 l 的距离等于？若存在,求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。20。(本小题满分 12 分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E,H 分别是棱 A1B1，D1C1上的点（点E 与 B1不重合）,且 EHA1 D1。过 EH 的平面与棱 BB1，CC1相交，交点分别为 F,G。（I）证明：AD平面 EFGH;（II）设 AB=2AA1=2 a.在长方体 ABCDA1B1C1D1内随机选取一点。记该点取自几何体 A1ABFED1DCGH 内的概率为 p，当点 E，F 分别在棱 A1B1上运动且满足EF=a 时，求 p 的最小值.21。(本小题满分 12 分）某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时，轮船位于港口的 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇.（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（II）为保证小艇在 30 分钟内（含 30 分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（III）是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围;若不存在，请说明理由.22（本小题满分 14 分）已知函数的图像在点P(0，f(0）)处的切线方程为.()求实数 a，b 的值；()设是上的增函数.(）求实数 m 的最大值;（）当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在，说明理由。参考答案参考答案选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分.1。A2.B3。D4。C5.B6。C7.B8。A9.A10。B11。C12.D填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。13.114。6015。16.962三、解答题:本大题共 6 小题;共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想。满分12 分。解：（)由 S n+1 S n=（）n+1 得(nN)；又,故(nN)从而(nN*）.（）由(）可得，从而由 S 1，t(S 1+S 2），3(S 2+S 3)成等差数列可得：，解得 t=2。18。本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识,考查化归与转化思想、必然与或然思想。满分12 分.解:（）有序数组(m，n）的吧所有可能结果为:（1,1）,（1，2），（1,3），（1,4），（2,1),(2，2）,（2,3）,(2，4），(3,1），（3,2)，（3,3），（3，4），（4,1),（4,2），(4,3)，（4，4）,共 16 个.（)由得，即.由于1，2,3，4，故事件 A 包含的基本条件为（2,1）和(3,4)，共 2 个。又基本事件的总数为 16，故所求的概率.19。本小题主要考查直线、抛物线等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分12 分.解：（）将（1,-2)代入，所以.故所求的抛物线 C 的方程为，其准线方程为.()假设存在符合题意的直线l，其方程为 y=2x+t，由，得 y2 2 y 2 t=0。因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以得=4+8 t，解得 t 1/2。另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d=，可得=，解得 t=1.因为1-,），1,),所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x+y1=0。20.本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12 分解法一:（I）证明：在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADA1 D1又EHA1 D1，ADEH.AD平面 EFGHEH 平面 EFGHAD/平面 EFGH。（II）设 BC=b，则长方体 ABCDA1B1C1D1的体积 V=ABADAA1=2a2b，几何体 EB1FHC1G 的体积 V1=（1/2EB1B1F）B1C1=b/2EB1 B1FEB12+B1F2=a2EB12+B1F2（EB12+B1F2）/2=a2/2,当且仅当 EB1=B1F=/2a 时等号成立从而 V1 a2b/4.故 p=1-V1/V 7/8解法二:（I）同解法一（II）设 BC=b,则长方体 ABCDA1B1C1D1的体积 V=ABADAA1=2a2b，几何体 EB1FHC1G 的体积V1=（1/2 EB1 B1F）B1C1=b/2 EB1 B1F设B1EF=（090）,则 EB1=a cos，B1F=a sin故 EB1 B1F=a2 sincos=,当且仅当 sin 2=1 即=45时等号成立.从而p=1-V1/V=7/8，当且仅当 sin 2=1 即=45时等号成立。所以，p 的最小值等于 7/821.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识,考察推断论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。满分 12分.解法一:（I）设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则S=故 t=1/3 时，Smin=，v=30即，小艇以 30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小（）设小艇与轮船在 B 处相遇222由题意可知,（vt）=20 +（30 t)22030tcos（9030),2化简得:v=+900=400+675由于 0t1/2，即 1/t 2,所以当=2 时,取得最小值，即小艇航行速度的最小值为海里/小时.（）由（）知,设，于是。（*）小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根,即:解得。所以的取值范围是。解法二：（）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在 C 处相遇。在中，。又,此时，轮船航行时间，.即，小艇以海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。（）同解法一（）同解法一22.本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想。满分 14 分。解法一：(）由及题设得即.（）（）由得.是上的增函数,在上恒成立,即在上恒成立。设。,即不等式在上恒成立当时，不等式在上恒成立。当时，设，因为，所以函数在上单调递增，因此。，即。又,故。综上，的最大值为 3.（）由（）得，其图像关于点成中心对称。证明如下：因此，.上式表明，若点为函数在图像上的任意一点，则点也一定在函数的图像上。而线段中点恒为点,由此即知函数的图像关于点成中心对称。这也就表明，存在点,使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。解法二：（)同解法一。（）（）由得。是上的增函数，在上恒成立，即在上恒成立。设.，即不等式在上恒成立。所以在上恒成立.令，可得，故,即的最大值为 3。（）由（）得,将函数的图像向左平移 1 个长度单位，再向下平移个长度单位,所得图像相应的函数解析式为,。由于，所以为奇函数，故的图像关于坐标原点成中心对称。由此即得,函数的图像关于点成中心对称。这也表明，存在点，是得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等。
