中考数学压轴题解题策略.pdf
1/6 中考数学压轴题解题策略 直角三角形的存在性问题解题策略 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股 定理列方程 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）例题解析 例 如图 1-1，在ABC 中，ABAC10，cosB45D、E 为线段 BC 上的两个动点，且 DE3（E 在 D 右边），运动初始时 D 和 B 重合，当 E 和 C 重合时运动停止过 E作 EF/AC 交 AB 于 F，连结 DF设 BDx，如果BDF 为直角三角形，求 x 的值 图 1-1【解析】BDF 中，B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形 BDF 存在两种情况 如果把夹B 的两条边用含有 x 的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了 如图 1-2，作 AHBC，垂足为 H，那么 H 是 BC 的中点 在 RtABH 中，AB10，cosB45，所以 BH8所以 BC16 由 EF/AC，得BFBEBABC，即31016BFx所以 BF5(3)8x 图 1-2 图 1-3 图 1-4 如图 1-3，当BDF90时，由4cos5BDBBF，得45BDBF 2/6 解方程45(3)58xx，得 x3 如图 1-4，当BFD90时，由4cos5BFBBD，得45BFBD 解方程5154885xx，得757x 我们看到，在画示意图时，无须受到ABC 的“限制”，只需要取其确定的B 例 如图 2-1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成 ABC，设 ABx，若ABC 为直角三角形，求 x 的值 图 2-1【解析】ABC 的三边长都可以表示出来，AC1，ABx，BC3x 如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种 情况：若 AC 为斜边，则22)3(1xx，即0432 xx，此方程无实根 若 AB 为斜边，则1)3(22xx，解得35x（如图 2-2）若 BC 为斜边，则221)3(xx，解得34x（如图 2-3）因此当35x或34x时，ABC 是直角三角形 图 2-2 图 2-3 例 如图 3-1，已知在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（-2,0），点 B 是点 A 关于原点 的 对称点，P 是函数)0(2xxy图象上的一点，且ABP 是直角三角形，求点 P 的坐标 图 3-1【解析】A、B 两点是确定的，以线段 AB 为分类标准，分三种情况 如果线段 AB 为直角边，那么过点 A 画 AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交3/6 点；过点 B 画 AB 的垂线，有 1 个交点 以 AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可 能是两个交点 由题意，得点 B 的坐标为（2，0），且BAP 不可能成为直角 如图 3-2，当ABP90时，点 P 的坐标为（2，1）方法一：如图 3-3，当APB90时，OP 是 RtAPB 的斜边上的中线，OP2 设 P2(,)xx，由 OP24，得2244xx解得2x 此时 P(2,2)图 3-2 图 3-3 方法二：由勾 股定理，得 PA2PB2AB2 解方程2222222(2)()(2)()4xxxx，得2x 方法 三：如图 3-4，由AHPPHB，得 PH2AHBH 解方程22()(2)(2)xxx，得2x 图 3-4 图 3-5 这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x22)20这个四次方程的解是 x1x22，x3x42，它的几何意义就是以 AB 为直径的圆与双曲线相切于 P、P两点（如图 3-5）例 如图 4-1，已知直线 ykx6 经过点 A(1,4)，与 x 轴相交于点 B若点 Q 是 y轴上一点，且ABQ 为直角三角形，求点 Q 的坐标 图 4-1【解析】和例题 3 一样，过 A、B 两点分别画 AB 的垂线，各有 1 个点 Q 和例题 3 不同，以 AB 为直径画圆，圆与 y 轴有没有交点，一目了然而圆与双曲线有4/6 没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的 将 A(1,4)代入 ykx6，可得 k2所以 y2x6，B(3,0)设 OQ 的长为 m分三种情况讨论直角三角形 ABQ：如图 4-2，当AQB90时，BOQQHA，BOQHOQHA所以341mm 解得 m1 或 m3所以 Q(0,1)或(0,3)如图 4-3，当BAQ90时，QHAAGB，QHAGHAGB所以4214m 解得72m 此时7(0,)2Q 如图 4-4，当ABQ90时，AGBBMQ，AGBMGBMQ所以243m 解得32m 此时3(0,)2Q 图 4-2 图 4-3 图 4-4 三种情况的直角三角形 ABQ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便 已知 A(1,4)、B(3,0)，设 Q(0,n)，那么根据两点间的距离公式可以表示出 AB2，AQ2和 BQ2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了 例 如图 5-1，抛物线233384yxx 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）若直线 l 过点 E(4,0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式 图 5-1【解析】有且只有三个直角三角形 ABM 是什么意思呢？过 A、B 两点分别画 AB 的垂线，与直线 l 各有一个交点，那么第三个直角顶点 M 在哪里？以 AB 为直径的G 与直线 l 相切于点 M 啊！5/6 由23333(4)(2)848yxxxx ，得 A(4,0)、B(2,0)，直径 AB6 如图 5-2，连结 GM，那么 GMl 在 RtEGM 中，GM3，GE5，所以 EM4因此3tan4GEM 设直线 l 与 y 轴交于点 C，那么 OC3所以直线 l（直线 EC）为334yx 根据对称性，直线 l 还可以是334yx 图 5-2 例 如图 6-1，在 ABC 中，CACB，AB8，4cos5A点 D 是 AB 边上的一个动点，点 E 与点 A 关于直线 CD 对称，连结 CE、DE（1）求底边 AB 上的高；（2）设 CE 与 AB 交于点 F，当ACF 为直角三角形时，求 AD 的长；（3）连结 AE，当ADE 是直角三角形时，求 AD 的长 图 6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D看作主动点，那么CE就是从动线段 反过来画图，点 E 在以 CA 为半径的C 上，如果把点 E 看作主动点，再画ACE 的平分线就产生点 D 了（1）如图 6-2，设 AB 边上的高为 CH，那么 A HBH4 在 RtACH 中，AH4，4cos5A，所以 AC5，CH3（2）如图 6-3，当AFC90时，F 是 AB 的中点，AF4，CF3 在 RtDEF 中，EFCECF2，4cos5E，所以52DE 此时52ADDE 如图 6-4，当ACF90时，ACD45，那么ACD 的条件符合“角边角”作 DGAC，垂足为 G设 DGCG3m，那么 AD5m，AG4m 6/6 由 CA5，得 7m5解得57m 此时2557ADm 图 6-2 图 6-3 图 6-4（3）因为 DADE，所以只存在ADE90的情况 如图 6-5，当 E 在 AB 下方时，根据对称性，知CDACDE135，此时CDH是等腰直角三角形，DHCH3所以 ADAHDH1 如图 6-6，当 E 在 AB 上方时，根据对称性，知CDACDE45，此时CDH是等腰直角三角形，DHCH3所以 ADAHDH7 图 6-5 图 6-6
