201411高三期中考试数学正题(理科).pdf
高三数学试卷 第1页（共 4 页）高 三 数 学 试 卷（理科第卷）201411 注意事项：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟 2答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置 3答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效 4如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上 1设全集1,2,3,4,2,3,1,3,4UAB,则()UAB 2已知复数i(,zaba bR),满足32i1iz，则ab 3.已知向量(1,2),(2,3)ab，若()()abab，则=4.“1x”是“2xx”的 条件(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”选填).5.某算法的伪代码如右图所示,则输出的结果是 6.甲盒子里装有四张分别标有数字 1,2,4,7 的卡片，乙盒子里装有两张分别标有数字 1,4 的卡片，若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片，则 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是 7.比较sin2014 cos2014大小（填“”或“”号）8.设向量 a，b 满足：3|1,2aa b，2 2ab，则|b 9.已知函数2,0,()2,0,xxf xxx 则不等式2()f xx的解集为 10.若方程ln2100 xx的解为0 x，则大于0 x的最小整数是 11.已知函数3()tan2f xaxbx，且(2014)1f，则(2014)f=112002PrintsiWhilesiiss iEndWhilei （第 5 题图）高三数学试卷 第2页（共 4 页）12.已知定义域为 R 的函数()f x的导函数满足1()3fx，且(1)1f，则不等式3()2f xx的解集为 13.请在括号内填写一个整数，使得等式()34 3sin40cos40成立，这个整数是 14.已知,x y是正数,且满足(1)4xy xy,则()(1)xy x的最小值为 法：4(1)x xyy，4()(1)14xy xx xyyyy 变题：已知,x y是正数,且满足(1)4xy xy,则(1)(1)xy的最小值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分）已知2()3sin 22cos2f xxx（1）求()f x的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC 中，,a b c分别是角 A，B，C 的对边，若()4,2f Aab，求sinC的值.16（本小题满分 14 分）如图，正三角形ABC的边长为6 3，,E F分别是边,AB AC上的点，且AEmAB，AFnAC，,(0,1)m n,N为BC的中点（1）若13n，求BF AN；（2）设M为线段EF的中点，如果,A M N三点共线，求证：mn.A B C E F M N（第 16 题图）高三数学试卷 第3页（共 4 页）17（本小题满分 14 分）已知实数,a b cR，0a，函数2()f xaxbxc.（1）如果存在实数，使得()0f，证明：方程()0f x 必有两个不等的实根12,x x（12xx），且满足12xx；（2）如果c为非零常数，且1ab，不等式()f xx对任意1,2x恒成立，求实数的取值范围.高三数学试卷 第4页（共 4 页）18（本小题满分 16 分）如图 1，,OA OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与,OA OB平行的栈桥,MG MK，且以,MG MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK.测得200OC m，100OD m，防波堤EF上的任一点P与湖堤,OA OB距离之积恒为 20000 m2.现建立如图 2 所示的直角坐标系，设点M的坐标为(,)s t（栈桥及防波堤都不计宽度）（1）求三角形观光平台MGK面积的最小值；（2）若要使MGK的面积不小于 32000 m2，求t的范围 （第 18 题图）高三数学试卷 第5页（共 4 页）19(本小题满分 16 分)已知,a xR，函数2()|f xxxa.（1）是否存在实数a，使得()f x为偶函数，若存在，请求出实数a，若不存在，请说明理由；（2）求函数()f x在区间1,2上的最小值.20（本小题满分 16 分）已知函数()1lnf xx.（1）在函数()yf x图象上求一点P,使得P到直线0 xy的距离最短,并求出此最小值；（2）是否存在实数,m n，使得()f mn，()f nm同时成立，如果有，请求出所有的,m n；如果没有，请说明理由？20.（理）解：（1）设00(,1ln)P xx，P到直线0 xy距离为 0000|1ln|1ln22xxxxd，3 分 令()1ln,(0,)h xxx x，11()1xh xxx，4 分 当(0,1)x时，()0h x，()h x在(0,1)上单调递减；当(1,)x时，()0h x，()h x在(1,)上单调递增减，5 分 当1x时()h x取得极小值也是最小值min()(1)2h xh，故当(1,1)P时，P到直线0 xy距离最小.6 分（2）若存在实数,m n，使得()f mn，()f nm同时成立，则1lnmn1，1lnnm2，高三数学试卷 第6页（共 4 页）当1mn时，满足使得()f mn，()f nm同时成立.8 分 显然当,1m n，或,(0,1)m n时，12 不能均同时成立.10 分 不妨设(0,1)m，1n.由（1）得1enm，代入（2）得：1ln1ee lneennnnn，3 11 分 设函数()e lneexxF xx(1)x，e1e()e lnee(ln1)(ln1)xxxxxF xxxxxxxxx，12 分 设函数()ln1H xxxx(1)x，()ln1 1ln0H xxx ，13 分 所以()(1,)H xx在上单调递增，()(1)0H xH，14 分()0F x(1,)x在恒成立，()(1,)F xx在上单调递增，()(1)0F xF，（3）式不能成立，15 分 12 不能同时成立，所以有且只有1,1mn时，原式成立.16 分 附加题参考答案 21A.证明：连结AB，则AQEABP，4 分 而OAOB，所以45ABO，8 分 所以45OBPAQEOBPABPAQE 10 分【说明】本题考查了弦切角定理，考查了学生的转化与化归的能力.21B.解：由题意A12121011aacc .1 分21,3,1,1.aacc 3 分 矩阵A的特征多项式为2()(2)3230f.则121,3.5 分 当23，特征方程为3030 xyxy，属于特征值23的一个特征向量为：231，1132311 .7 分 20142014201420141313(2)22121 AAAA.20142014132(1)321 201520142343.10 分 21C.解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为21yx,3 分 2 2sin()4，即2(sincos)，高三数学试卷 第7页（共 4 页）两边同乘以得22(sincos)，得C的直角坐标方程为22(1)(1)2xx,6 分（2）圆心C到直线l的距离22|21 1|2 52521d，所以直线l和C相交.10 分 高三数学试卷 第8页（共 4 页）21D.证明:由柯西不等式可知：222222211(2)(3)()()1()23xyzxyz 5 分 故222242311xyz，当且仅当2311123xyz，即当6412,111111xyz时，8 分 22223xyz取得最小值为2411.10 分 22.解：（1）当1n 时，(1)1f，(1)1g，所以(1)(1)fg；当2n 时，9(2)8f，11(2)8g，所以(2)(2)fg；当3n 时，251(3)216f，312(3)216g，所以(3)(3)fg 3 分（2）由（），猜想()()f ng n，下面用数学归纳法给出证明：当1,2,3n 时，不等式显然成立 假设当(3)nk k时不等式成立，即33332111131123422kk，那么，当1nk时，3231311(1)()(1)22(1)f kf kkkk，因为22332321113131()02(1)2(1)2(1)22(1)kkkkkkkkk，所以231(1)(1)22(1)f kg kk 10 分 23解：（1）2()2(1)ln(1)2g xxxxx，则()2ln(1)2g xxx.令()2ln(1)2h xxx，则22()211xh xxx.1 分 当10 x 时，()0h x，()h x在(1,0)上为增函数.高三数学试卷 第9页（共 4 页）当 x0 时，()0h x，()h x在(0)，上为减函数.3 分 所以 h(x)在x=0 处取得极大值也是最大值，而h(0)=0，所以()0(0)g xx，函数 g(x)在(0)，上为减函数.4 分 当 x0 时，()(0)0g xg 5 分（2）函数()f x的定义域是(1)，22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)xxxxxxxfxxxx，6 分 由（1）知，当10 x 时，2()2(1)ln(1)2(0)0g xxxxxg，当 x0 时，()(0)0g xg，所以，当10 x 时，()0fx，()f x在（1，0）上为增函数.当 x0 时，()0fx,()f x在(0)，上为减函数.8 分 故函数()f x的单调递增区间为（1，0），单调递减区间为(0)，.故 x=0 时()f x有极大值 0 10 分
