中考复习之――胡不归问题.pdf
1/4 中考复习之胡不归问题 从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 AB（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。例 1.（2012 崇安模拟），如图，ABC在平面直角坐标系中，AB=AC，A(0，22），C（1，0），D 为射线AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 ADC，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的 3 倍，要使整个过程运动时间最少，则点 D 的坐标应为-（）A.），（20 B.），（220 C.），（320 D.），（420 例 2.（2016 徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点 A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其中对称轴与 x 轴交于点 D。（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则PDPB21的最小值为 。（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。若平面内存在点 N，使得 A、B、M、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有 个；连接 MA、MB，若AMB 不小于 60，求 t 的取值范围。A D B C 沙 砾 地 带 2/4 练习巩固：1.（2015 无锡二模）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P，BC=6,ABC=150,则 PA+PB+PD 的最小值为 。2.（2015 内江）如图，在ACE中，CA=CE，CAE=30，O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上。（1）试说明 CE 是O 的切线。（2）若ACE中 AE 边上的高为 h,试用含 h 的代数式表示O 的直径 AB;（3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当21CD+OD 的最小值为 6 时，求O 的 AB 的长。3.（2015 日照）如图，抛物线nmxxy221与直线321xy交于 A、B 两点，交 x 轴于 D、C 两点，连接 AC、BC，已知 A（0，3），C（3，0）。（1）抛物线的函数关系式为 ，tanBAC=。（2）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使以 A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出所有符合条件的 P 点坐标，若不存在，请说明理由。（3）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位的速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒2个单位的速度运动到点 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M在整个运动过程中用时最少？3/4 4.（2014 成都）如图，已知抛物线）为常数，0)(4)(2(8kkxxky与 x 轴从左至右依次交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线bxy33与抛物线的另一个交点为 D。（1）若点 D 的横坐标为-5，求抛物线的函数关系式。（2）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标为多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？（3）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A、B、P 为顶点的三角形与ABC 相似，求 k 的值。5.（2017 徐州二模）二次函数cxaxy22图象与 x 轴交于 A、C 两点，点 C（3，0），与 y 轴交于点B（0，-3）。（1）a ，c ；（2）如图，P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，求PCPD 2的最小值。（3）如图，点 M 在抛物线上，若3MBCS，求点 M 的坐标。x y x y M 4/4 6.（2016 随州）已知抛物线）0)(1)(3(axxay，与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 A 的直线bxy3与抛物线的另一个交点为 D。（1）若点 D 的横坐标为 2，则抛物线的函数关系式为 。（2）若在第三象限内的抛物线上有一点 P，使得以 A、B、P 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 P 的坐标。（3）在（1）的条件下，设点 E 是线段 AD 上一点（不含端点），连接 BE，一动点 Q 从点 B 出发，沿线段BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 ED 以每秒332个单位运动到点 D 停止，问当点 E 的坐标为多少时，点 Q 运动的时间最少？
