山东省临沂市郯城县郯城第二中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题含解析.pdf
郯城二中高三上学期期末考试数学试题郯城二中高三上学期期末考试数学试题（答案在最后）（答案在最后）（时间 120 分钟，满分 150 分）一、单项选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 lg(x2)1，则AB（）1已知集合A x y 16 x2，B xA2,3B4,4C2,4D2,42已知复数 z 满足zi 1i，则 z 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知向量a 1,1,b 1,3,c 2,1，且a b/c，则（）A3B322C17D174已知直线x y 2 0与圆x y 2x2ya 0有公共点，则实数 a 的取值范围为（）A,0B0,C0,2D,25良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200 名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200 名学生每天的睡眠时间X N8,1，则每天的睡眠时间为 5-6 小时的学生人数约为（结果四舍五入保留整数）（）（附：若X N,2，则P X 0.6827，P2 X 20.9545，P3 X 3 0.9973）A20B26C51D1636从 2 至 7 的 6 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（）A35B23C1115D457 已知y fx为奇函数y fx1为偶函数，若当x 0,1，fxlog2xa，则f2023（）A1B0C1D2 x2y28已知双曲线C:221a 0,b 0的左顶点为 A，右焦点为 F，以 F 为圆心的圆与双曲线 C 的一条ab渐近线相切于第一象限内的一点B若直线AB的斜率为A43B531，则双曲线 C 的离心率为（）35CD249已知tan A541，则1sin2（）25B4C95D9510甲乙两个箱子中各装有5 个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3 个红球、2 个白球，乙箱中有2 个红球、3 个白球；抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球则摸到红球的概率为（）A122B13C23D1411已知抛物线C:y 4x的焦点为 F，准线为 l，点 P 在抛物线 C 上，PQ垂直 l 于点 Q，QF与 y 轴交于点 T，O 为坐标原点，且OT 1，则PF（）A1B2C3D412已知三棱锥P ABC中，AP、AB、AC三条棱两两垂直，且长度均为3，以顶点P 为球心，2 为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为（）A3B32C5D52二、多项选择题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得0 分。213在 x的展开式中，下列说法正确的是（）xA常数项为 160B第 4 项的二项式系数最大D所有项的系数和为64C第 3 项的系数最大614若正实数 a，b 满足ab 1，且a b，则下列结论正确的是（）Aln(a b)03Bab ba2Ca b 2D11 4ab15已知函数fx x x 1，则（）Afx有两个极值点Bfx有三个零点D直线y x是曲线y fx的切线C点0,1是曲线y fx的对称中心16若函数fx 2sinx1 0在0,上恰有三个零点，则（）6Bfx在0,上恰有两个极大值点A的取值范围为2,3Cfx在0,10上有极大值点4Dfx在0,上单调递增6三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知ABC的三个内角 A，B，C 的对边分别是 A，B，C，且bcosCccosB 2acosA（1）求角 A；（2）若a 2 3，ABC的面积为2 3，求bc的值18（12 分）已知数列an满足a12a23a3（1）求数列an的通项公式；（2）设数列nann12n1213T的前 n 项和为，证明：T nn4log2anlog2an219（12 分）垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程。摘好垃圾分类收集处理，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容。为推进垃圾分类收集处理工作，A 市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200 人进行抽样分析，得到如下列联表（单位人）：55 岁及以下55 岁以上总计能正确进行垃圾分类9050140不能正确进行垃圾分类303060总计12080200（1）根据以上列联表，依据小概率值0.1的独立性检验，能否据此推断该市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关？（2）将频率视为概率，现从 A 市 55 岁及以下的市民中里随机抽样的方法每次抽取1 人，共抽取 3 次记被抽取的 3 人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量 X 的分布列和均值Ex附：x 2nad bc0.152.0722abcdacbd，其中n abcd0.102.7060.053.8410.0255.024x20（12 分）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E 为BB1的中点（1）求证：BC/|平面AD1E；（2）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值x2y2621（12 分）已知椭圆C:221a b 0的离心率为，短轴长为2 23ab（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知 A，B 是椭圆 C 上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O是否存在以 O 为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出定圆方程：若不存在，请说明理由22（12 分）已知函数fxe（1）讨论fx的单调性；x1axa2（2）若fx x 对于任意x 0恒成立，求实数 a 的取值范围42郯城二中高三上学期期末考试数学答案一、单项选择题：题号答案1D2D3C4A5B6C7A8C9C10A11B12B二、多项选择题：题号答案三、解答题：17解：（1）因为bcosC ccosB 2acosA，由正弦定理得，sinBcosCsinCcosB 2sinAcosA，-1分即sinBC 2sinAcosA，故sinA 2sinAcosA，-3分因为sinA0，所以cosA13BC14ABD15AD16AD1，-4分2由 A 为三角形内角得，A3；-5分（2）因为a 2 3，ABC的面积为2 3，所以1bcsin A 23bc 2 3-6分4所以bc8，-7分由余弦定理得，a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A (bc)224 12，-9 分故bc 6-10分18（1）解：由a12a23a3 nann12nn122 n 2）可得：a12a23a3n1an，-1 分1n22（两式相减得：nann12n1n22n n2n，-3 分n即an 2,n 2，-4分又当n1时，有a1 2也适合上式，-5分nan 2；-6分（2）证明：由（1）可得：111 11，-8 分log2anlog2an2n(n2)2nn2Tn1 1111111111-10分232435n1n1nn21 1111-11分22n1n21 1 31-12分2242200(90305030)19解：（1）根据以上数据，K2的观测值k-2 分14060120803.5712.706，-3分依据小概率值0.1的独立性检验，能据此推断该市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关-4 分（2）由题意可得：X B3,P(X k)C 14k3k1，-5分43k114，k 0,1,2,3，27，27，9，1-9分P(X 0)P(X 1)P(X 2)P(X 3)64646464可得：随机变量 X 的分布列：XP012327642764964164-10分均值E(X)313-12分44AB/C1D1，四边形ABC1D1为平行四边形，BC1/AD1，-2分z20（1）证明：又BC1平面AD1E，AD1平面AD1E，BC1/平面AD1E-4分y（2）如图建系，设正方体的棱长为2-5分A(0,0,0)，A1(0,0,2)，AA1(0,0,2)，-6分D1(2,0,2)，E(0,2,1)，AD1(2,0,2)，AE (0,2,1)，-7 分设平面AD1E的法向量为m (x,y,z)，m AD1 02x2z 0则-8分m AE 02y z 0 x z令y 1，z 2，x 2，m (2,1,2)-10 分z 2y设直线AA1与平面AD1E所成角为，sin|cos AA1,m|AA1m|42-12 分|AA1|m|233c63a21解：（1）由题意可知2b 2 2，-3分a2b2c2a 6解得：b 2，-4分c 2椭圆 C 的方程为：xy1-5分2262（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，直线AB的方程为：x myt，x2y21联立方程 6，消去 x 得：m23y22mty t26 0，2x myt22mtt 6，-6分y1 y2，y y 12m23m23线段AB为直径的圆经过坐标原点O，OAOB 0，x1x2 y1y2 0，-7分my1tmy2t y1y2 0，整理得：m21 y1y2mty1 y2t2 0，-8分222mttt 62把y1 y2，y y 代入上式得：m 16mt2mtt2 0，12m23m23m23m2323 m 1，-9分整理得：t22原点(0,0)到直线AB:x myt的距离d|t|1m2，-10分d2t23，-11分1m22存在以 O 为圆心的定圆x2 y23恒与直线AB相切-12分2当直线AB斜率存在时，设AB方程为：y kxm，设A(x1,y1),B(x2,y2)，y kxm222联立2可得：(3k 1)x 6kmx3m 6 0，0，6k2m22 0，2x 3y 63m266kmx1 x2 2，x1x2-6分3k213k 1m26k2y1y2(kx1m)(kx2m)k x1x2km(x1 x2)m-7 分23k 122OAOB，x1x2 y1y2 0-8分3m26m26k23k232222 0，整理得：2m 3k 3，m-9分3k 13k212O(0,0)到直线 AB：kx ym 0的距离为：d|m|k 12，m23d 2，-10分k 122存在以 O 为圆心的定圆x y 223恒与直线AB相切2当直线AB斜率不存在时，lAB:x 6，合适-11分2综上所述，存在以 O 为圆心的定圆x2 y222.解：（1）f xex13恒与直线AB相切-12分2a-1分当a 0时，f x0，fx在,上单调递增；-2分x1当a 0时，令fxea 0，x 1lna，当x,1lna时，f x0，fx在,1lna上单调递减；-3分当x1lna,时，f x0，fx在1lna,上单调递增；-4分a2a2a x12（2）由fx x，得e x axx，对于任意x 0恒成立，44222因此xex12x1a xe2，-6分2记hx xex1211x2，由hx 1e 0，得x 12ln 2，-7分2当x0,12ln 2时，hx单调递减，当x12ln 2,时，hx单调递增，-8 分所以hxmin12ln 2，因此a 24ln 2；-9分记tx xe所以a 2e综上，2e12x12，易知tx在调递减，所以txmaxt0 e，-10分12；-11分12 a 24ln 2-12分
