高中数学4-5教案.pdf

选修 4_5 不等式选讲课题：第 01 课时不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。列子?汤问中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(ab0)，若再加 m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为ab，加入m 克糖后的糖水浓度为mamb，只要证mambab即可。怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0baba0baba0baba得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：、如果ab，那么 ba，如果 bb。(对称性)、如果ab，且 bc，那么 ac，即 ab，bcac。、如果ab，那么 a+cb+c，即 aba+cb+c。推论：如果ab，且 cd，那么 a+cb+d即 ab，cda+cb+d、如果ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 c0，那么 acb 0，那么nnba(nN，且 n1)、如果ab 0，那么nnba(nN，且 n1)。三、典型例题：例 1、已知 ab，cb-d 例 2 已知 ab0，ca，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。三、小结：四、练习：解不等式1、.1122 x2、01314x3、423xx.4、xx21.5、1422xx6、212xx.7、42xx8、.631xx9、21xx10、.24xx五、作业：选修 4_5 不等式选讲课题：第 03 课时含有绝对值的不等式的证明目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）baba（2）baba（3）baba（4）)0(bbaba请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质baba和)0(bbaba可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明baba对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？显然aa，当且仅当0a时等号成立（即在0a时，等号成立。在0a时，等号不成立）。同样，.aa当且仅当0a时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。二、典型例题：例 1、证明（1）baba，（2）baba。证明（1）如果,0ba那么.baba所以.bababa如果,0ba那么).(baba所以babababa)()(（2）根据（1）的结果，有bbabba，就是，abba。所以，baba。例 2、证明bababa。例 3、证明cbcaba。思考：如何利用数轴给出例3 的几何解释？（设 A，B，C 为数轴上的3 个点，分别表示数a，b，c，则线段.CBACAB当且仅当C在 A，B 之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c0（即 C 为原点），就得到例2 的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式baba的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例 2 和例 3 的结果来证明。例 4、已知2,2cbycax，求证.)()(cbayx证明)()()()(byaxbayxbyax（1）2,2cbycax，cccbyax22（2）由（1），（2）得：cbayx)()(例 5、已知.6,4ayax求证：ayx32。证明6,4ayax，23,22ayax，由例 1 及上式，aaayxyx223232。注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。三、小结：四、练习：1、已知.2,2cbBcaA求证：cbaBA)()(。2、已知.6,4cbycax求证：cbayx3232。五、作业：链接：不等式的图形借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。1解不等式121xxx。题意即是在数轴上找出到11与22的距离之和不大于到点13的距离的所有流动点x。首先在数轴上找到点11，22，13（如图）。31x122xx-1 0 1 2 3 从图上判断，在1与2之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到1与2的距离和正好是 1，而到3的距离是)21(1)1(2xxx。现在让流动点x由点1向左移动，这样它到点3的距离变，而到点1与2的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于13与11之间的某一个点1x。由),1()2()1(111xxx可得.321x再让流动点x由点2向右移动，虽然这种点到1与2的距离的和及到3的距离和都在增加，但两相比较，到1与2的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点2x而止。由),1()2()1(222xxx可得.42x从而不等式的解为.432x2画出不等式1yx的图形，并指出其解的范围。先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：0 x，0y，1yx.其图形是由第一象限中直线xy1下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式1yx的图形是以原点O 为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探究：利用不等式的图形解不等式1.111xx;2.12 yxA 组1解下列不等式：（1）2132x（2）1743x（3）142xx（4）xxx21222解不等式：（1）112xx（2）112xx3解不等式：（1）321xx（2）.0312xx4利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式34xx1)1(3322xxx整理得：062xx解之，不等式的解集为x|-3x2 或32log3x不等式的解集为 x|x2 或32log3x 例 3、解不等式：)10(,422aaaaxxx且(当 a1 时),4()1,(x当 0a1 时)4,1(x)例 4、解不等式：xx4)21(32(-1x3)三、小结：四、练习：五、作业：选修 4_5 不等式选讲课题：第 04 课时对数不等式的解法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：二、典型例题：例 1、解不等式2)1(log3xx。解：原不等式等价于2)3(11301xxxx或2)3(113001xxxx解之得：4x5 原不等式的解集为x|41 时有221234121)12(23403401222xxxxxxxxxx（其实中间一个不等式可省）当 0a1 时不等式的解集为221xx；当 0a1 时有 0 xa当 0aa原不等式的解集为x|0 x1 或 x|xa,0a1 例 4、解不等式24logaxxxxa。解：两边取以a 为底的对数：当 0a1 时原不等式化为：2log29)(log2xxaa0)1log2)(4(logxxaa21log4logxxaa或axax04或原不等式的解集为10,|4aaxax或 1,0|4aaxaxx或三、小结：四、练习：解下列不等式1)102(log)43(log31231xxx(-2x1 或 4x7)2当10a，求不等式：0)(loglogxaa(ax1)310,1ba，求证：1)12(logxba4)1,0(,011logaaxxa(-1x1 axax110或，若 0a1 时mx221mx2log210当 m=1 时0)12(22xx当 0m1 时122 xm0log212xm当 m0 时x2 或 x1 当1cot即=4时x当)1,0(cot即(4,2)时0232xx1x1 时 B=1,a 当 a2 时A B当 1a2 时AB当 a1 时A B 仅含一个元素例 6、方程)0,10(,021cos21sin2xaaxxa有相异两实根，求a 的取值范围。解：原不等式可化为01coscos22xxa，令：xtcos则 1,1t设12)(2tattf又 a0 1414110811411022)1(02)1(081aaaaaaaafafa或三、小结：四、练习：五、作业：101log)1(log21221xaaxxaxaaaxaaaaaa时时或当时或当1,)21()21(110)21()21(01111213|xxxA0,|1|aaxxB若BA求 a 的取值范围(a1)3)0(,322aaxxa)02(xa4)0(,21logaxaxxa)01,10(2222axaxaaxaa或时当时当5当 a 在什么范围内方程：01log41)4(log2222axax有两个不同的负根)24,4()41,0(6若方程05)2(2mxmx的两根都对于2，求实数m 的范围。4,5选修 4_5 不等式选讲课题：第 07 课时不等式的证明方法之一：比较法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：0baba0baba0baba二、典型例题：例 1、设ba，求证：)(2322babba。例 2、若实数1x，求证：.)1()1(32242xxxx证明：采用差值比较法：2242)1()1(3xxxx=3242422221333xxxxxxx=)1(234xxx=)1()1(222xxx=.43)21()1(222xx,043)21(,0)1(,122xxx且从而,043)21()1(222xx.)1()1(32242xxxx讨论：若题设中去掉1x这一限制条件，要求证的结论如何变换？例 3、已知,Rba求证.abbababa本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于ba,对称，不妨设.0ba0)(0bababbabbabababababa，从而原不等式得证。2）商值比较法：设,0ba,0,1baba.1)(baabbabababa故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果nm，问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为21,tt。要回答题目中的问题，只要比较21,tt的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为21,tt，根据题意有Sntmt2211，222tnSmS，可得nmSt21，mnnmSt2)(2，从而mnnmSnmStt2)(221mnnmnmmnS)(2)(42mnnmnmS)(2)(2，其中nmS,都是正数，且nm。于是021tt，即21tt。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果nm，甲、乙两人谁先到达指定地点？例 5、设.1,0,12)(2qppqxxf求证；对任意实数ba,，恒有).()()(qbpafbqfapf（1）证明考虑（1）式两边的差。).()()(qbpafbqfapf 1)(2)12()12(222qbpabqap.14)1(2)1(222qppqabbqqapp（2）,0,1 pqqppqabpqbpqa422)2(22.0)(22bapq即（1）成立。三、小结：四、练习：五、作业：1比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）2x与12xx；（2）12xx与2)1(x.2已知.1a求证：（1）;122aa（2）.1122aa3若0cba，求证.)(3cbacbaabccba4比较 a4-b4与 4a3(a-b)的大小解：a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)=-(a-b)20323322bba(当且仅当d b 时取等号)a4-b44a3(a-b)。5比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小6已知 x 0，比较(x2+1)2与 x4+x2+1 的大小7如果 x0，比较21x与21x的大小8已知 a0，比较121222aaaa与1122aaaa的大小9设 x1，比较 x3与 x2-x+1 的大小说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。阅读材料：琴生不等式例 5 中的不等式)()()(qbpafbqfapf有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。琴生在 1905 年给出了一个定义：设函数)(xf的定义域为 a,b，如果对于 a,b内任意两数21,xx，都有.2)()(22121xfxfxxf（1）则称)(xf为 a,b上的凸函数。若把（1）式的不等号反向，则称这样的)(xf为a,b上的凹函数。凸函数的几何意义是：过)(xfy曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。其推广形式是：若函数)(xf的是 a,b上的凸函数，则对a,b内的任意数nxxx,21，都有.)()()(2121nxfxfxfnxxxfnn（2）当且仅当nxxx21时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。更为一般的情况是：设)(xf是定义在区间a,b上的函数，如果对于a,b上的任意两点21,xx，有),()()(2121qxpxfxqfxpf其 中1,qpRqp，则 称)(xf是 区 间 a,b 上 的 凸 函 数。如 果 不 等 式 反 向，即 有),()()(2121qxpxfxqfxpf则称)(xf是a,b上的凹函数。其推广形式，设1,2121nnqqqRqqq，)(xf是a,b上的凸函数，则对任意,21baxxxn有)()()()(22112211nnnnxfqxfqxfqxqxqxqf，当且仅当nxxx21时等号成立。若)(xf是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。选修 4_5 不等式选讲课题：第 08 课时不等式的证明方法之二：综合法与分析法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，ABBA222是常常要用到的一个重要不等式。二、典型例题：例 1、ba,都是正数。求证：.2abba证明：由重要不等式ABBA222可得.22abbaabba本例的证明是综合法。例 2、设0,0 ba，求证.2233abbaba证法一分析法要证2233abbaba成立.只需证)()(22baabbababa成立，又因0ba，只需证abbaba22成立，又需证0222baba成立，即需证0)(2ba成立.而0)(2ba显然成立.由此命题得证。证法二综合法abbababababa22222020)(注意到0,0 ba，即0ba，由上式即得)()(22baabbababa，从而2233abbaba成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例 3、已知 a，b，m 都是正数，并且.ba求证：.bambma（1）证法一要证（1），只需证)()(mbamab（2）要证（2），只需证ambm（3）要证（3），只需证ab（4）已知（4）成立，所以（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二因为mab,是正数，所以ambm两边同时加上ab得)()(mbamab两边同时除以正数)(mbb得（1）。读一读：如果用QP或PQ表示命题P 可以推出命题Q（命题 Q 可以由命题P 推出），那么采用分析法的证法一就是（1）).4()3()2(而采用综合法的证法二就是).1()2()3()4(如果命题P 可以推出命题Q，命题 Q 也可以推出命题P，即同时有PQQP,，那么我们就说命题P与命题 Q 等价，并记为.QP在例 2 中，由于mbmb,都是正数，实际上).4()3()2()1(例 4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为2L，截面积为22L；周长为L的正方形为4L，截面积为24L。所以本题只需证明2242LL。证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为22L，截面是正方形的水管的截面面积为24L。只需证明：2242LL。为了证明上式成立，只需证明164222LL。两边同乘以正数24L，得：411。因此，只需证明4。上式显然成立，所以2242LL。这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例 5、证明：cabcabcba222。证法一因为abba222（2）bccb222（3）caac222（4）所以三式相加得)(2)(2222cabcabcba（5）两边同时除以2 即得（1）。证法二因为,0)(21)(21)(21)(222222accbbacabcabcba所以（1）成立。例 6、证明：.)()(22222bdacdcba（1）证明（1）0)()(22222bdacdcba（2）0)2(222222222222dbabcdcadbdacbca（3）022222abcddacb（4）0)(2adbc（5）（5）显然成立。因此（1）成立。例 7、已知cba,都是正数，求证.3333abccba并指出等号在什么时候成立？分析：本题可以考虑利用因式分解公式)(3222333cabcabcbacbaabccba着手。证明：abccba3333=)(222cabcabcbacba=.)()()(21222accbbacba由于cba,都是正数，所以.0cba而0)()()(222accbba，可知03333abccba即abccba3333（等号在cba时成立）探究：如果将不等式abccba3333中的333,cba分别用cba,来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：27)1)(1)(1(accbba，其中cba,是互不相等的正数，且1abc.三、小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、练习：1、已知,0 x求证：.21xx2、已知,0,0yxyx求证.411yxyx3、已知,0ba求证.baba4、已知.0,0 ba求证：（1）.4)(11baba（2）.8)()(333322babababa5、已知dcba,都是正数。求证：（1）;2cdabdcba（2）.44abcddcba6、已知cba,都是互不相等的正数，求证.9)(abccabcabcba五、作业：选修 4_5 不等式选讲课题：第 09 课时不等式的证明方法之三：反证法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则 q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：例 1、已知0ba，求证：nnba（Nn且1n）例 1、设233ba，求证.2ba证明：假设2ba，则有ba2，从而.2)1(68126,61282233323bbbbabbba因为22)1(62b，所以233ba，这与题设条件233ba矛盾，所以，原不等式2ba成立。例 2、设二次函数qpxxxf2)(，求证：)3(,)2(,)1(fff中至少有一个不小于21.证明：假设)3(,)2(,)1(fff都小于21，则.2)3()2(2)1(fff（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(qpqpqpffffff（2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例 3、设 0 a,b,c 41,(1 b)c 41,(1 c)a 41,则三式相乘：ab (1 a)b?(1 b)c?(1 c)a 641又 0 a,b,c 0，ab+bc+ca 0，abc 0，求证：a,b,c 0 证：设 a 0,bc 0,则 b+c=a 0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc 0 矛盾，必有 a 0 同理可证：b 0,c 0 三、小结：四、练习：1、利用反证法证明：若已知a，b，m 都是正数，并且ba，则.bambma2、设 0 a,b,c 0，且 x+y 2，则xy1和yx1中至少有一个小于2。提示：反设xy12，yx12 x,y 0，可得 x+y 2 与 x+y 2 矛盾。五、作业：选修 4_5 不等式选讲课题：第 10 课时不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二、典型例题：例 1、若n是自然数，求证.213121112222n证明：.,4,3,2,111)1(112nkkkkkknnn)1(13212111113121112222=)111()3121()2111(11nn=.212n注意：实际上，我们在证明213121112222n的过程中，已经得到一个更强的结论nn1213121112222，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。例 2、求证：.332113211211111n证明：由,212221132111kk（k是大于 2 的自然数）得n32113211211111.3213211211121212121111132nnn例 3、若 a,b,c,d R+，求证：21caddbdccacbbdbaa证：记 m=caddbdccacbbdbaaa,b,c,dR+1cbaddbadccacbabdcbaam2cdddccbabbaam1 m 2 时，求证：1)1(log)1(lognnnn证：n 2 0)1(log,0)1(lognnnn2222)1(log2)1(log)1(log)1(log)1(lognnnnnnnnnn12log22nnn 2 时,1)1(log)1(lognnnn三、小结：四、练习：1、设n为大于 1 的自然数，求证.2121312111nnnn2、设n为自然数，求证.!1)122()52)(32)(12(nnnnnn五、作业：A 组1、对于任何实数x，求证：（1）4312xx；（2）.41112xx2、设ba，求证：（1）)(2322babba；（2）).(46224224baabbbaa3、证明不等式3344abbaba.4、若cba,都是正数，求证：.)()(2222333cbacbacba5、若,0cba求证.222bacacbcbacbacba6、如果ba,同号，且均不为0.求证：2abba，并指出等号成立的条件.7、设cba,是互不相等的正数，求证：.3ccbabbacaacb8、已知三个正数cba,的和是 1，求证这三个正数的倒数的和必不小于9.9、若20，则2cossin1.10、设Ryx,，且,1yx求证：.9)11)(11(yx11、已知0 x，求证：（1）11122xx；（2）22322xx.12、设ba,是互不相等的正数，求证：.81122babaabbaab13、已知ba,都是正数，求证：（1）;9)1)(1(22abbaba（2）.9)(222222babaabbaba14、已知,1,1222222zyxcba求证：.1czbyax15、已知,1,12222yxba求证：.1byax16、已知dcba,都是正数，且有2222,dcybax求证：)(bcadbdacxy17、已知naaaa,321都是正数，且1321naaaa，求证：nnaaaa2)1()1)(1)(1(32118、设ABC的三条边为,cba求证)(2222cabcabcbacabcab.19、已知yxba,都是正数，设.,1aybxvbyaxuba求证：.xyuv20、设n是自然数，利用放缩法证明不等式.231312111nnnn21、若n是大于 1 的自然数，试证.11131211121222nnnB 组22、已知zyxcba,都是正数，且,czbyax求证：.czcbazyxax23、设0ba，试用反证法证明bxabxasinsin不能介于baba与baba之间。24、若n是自然数，求证.4713121112222n链接：放缩法与贝努利不等式在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式edcba里ed和都 是 正 数，可 以 舍 掉ed和，从 而 得 到 一 个 明 显 成 立 的 不 等 式cbaedcba.例如，对于任何0 x和任何正整数n，由牛顿二项式定理可得.321)2)(1(21)1(1)1(22nnxxnnnxnnnxx舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式：nxxn1)1(.在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当n是正整数的时候成立，而且当n是任何大于1 的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设1x，则在1或0时，xx1)1(，在10时，.1)1(xx阅读材料：贝努利家族小史在数学发展史上，17-18 世纪出现了一个著名的数学世家贝努利（Bernoulli）家族（瑞士），这个家族中的三代人中共出现了8位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。其中，又以第一代的雅各布?贝努利（Jacob Bernoulli，1654.12-1705.8）、约翰?贝努利（Johann Bernoulli，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔?贝努利（Danial Bernoulli，1700.2-1782.3，约翰?贝努利的儿子）最为著名。在数学的多个分支中，以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。除了我们前面提到的“贝努利不等式”之外，将来会有机会学习到微积分中的“贝努利方程”、“贝努利级数判别法”，解析几何中的“贝努利双纽线”，概率论中的“贝努利定理”（即“大数定律”的早期形式）、“贝努利数”、“贝努利多项式”等等。特别是，丹尼尔?贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究中，取得了卓著的成就，被推崇为数学物理方法的奠基人。贝努利家族之所以取得如此大的数学成就，至少有以下几个方面的主要原因：（1）对数学的真挚热爱。考察贝努利家族的8 位数学家，可以发现一个共同的特点：都是从父辈不同意他们研究数学，而要求他们经商、从医或做律师开始，到最终走上从事数学的生涯。这一过程中，个人对数学的极大热情和兴趣起到了决定性的作用。当然，家族的数学传统和学习精神的影响也是不容忽视的重要因素。（2）广泛的学术交流。贝努利家族的成员们，都注重与当时的数学家和科学家进行广泛的学术交流和争辩，以此互相促进和提高。如雅各布?贝努利、约翰?贝努利与他们那个时代的大数学家、微积分的创始人莱布尼茨之间，丹尼尔?贝努利与当时欧洲数学界的中心人物欧拉的频繁通信交流成为数学史上的美谈。（3）继承基础上的大胆创新。在继承已有数学研究成果的基础上大胆开拓、创新，是贝努利家族成员从事研究的又一个共同特点。贝努利家族的主要成员正处于数学思想方法的两次大转变时期：一是从常量数学到变量数学的转折；二是从确定性数学到可能性数学的转折。他们不仅善于接纳新思想、新方法，更是进行了大胆地改进、突破，取得了许多开创性的成就。亲爱的同学们，你能从贝努利家族的成功中得到哪些启示呢？选修 4_5 不等式选讲课题：第 11 课时几个著名的不等式之一：柯西不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理 1：（柯西不等式的代数形式）设dcba,均为实数，则22222)()(bdacdcba，其中等号当且仅当bcad时成立。证明：几何意义：设，为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（ba,），B（dc,），那么它们的数量积为bdac?，而22|ba，22|dc，所以柯西不等式的几何意义就是：|?，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理 2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则|?，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理 3：（三角形不等式）设332211,yxyxyx为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(yyxxyyxxyyxx分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理 4：（柯西不等式的推广形式）：设n为大于 1 的自然数，iiba,（i1，2，n）为任意实数，则：211212)(niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，n）。证明：构造二次函数：2222211)()()()(nnbxabxabxaxf即构造了一个二次函数：niiniiiniibxbaxaxf121212)(2)()(由于对任意实数x，0)(xf恒成立，则其0，即：0)(4)(4121221niiniiniiibaba，即：)()(121221niiniiniiibaba，等号当且仅当02211nnbxabxabxa，即等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，n）。如果ia（ni1）全为 0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设),2,1(0,nibiRaiiiniiibaba212)(，等号成立当且仅当)1(niabii变式 2 设 ai，bi同号且不为0（i=1，2，n），则：iiiniiibaaba21)(，等号成立当且仅当nbbb21。二、典型例题：例 1、已知122ba，122yx，求证：1|byax。例 2、设Rdcba,，求证：222222)()(dbcadcba。例 3、设,为平面上的向量，则|。例 4、已知cba,均为正数，且1cba，求证：9111cba。方法 1：方法 2：（应用柯西不等式）例 5：已知1a，2a，na为实数，求证：2112)(1niiniiana。分析：推论：在n个实数1a，2a，na的和为定值为S时，它们的平方和不小于21Sn，当且仅当naaa21时，平方和取最小值21Sn。三、小结：四、练习：1、设 x1，x2，xn 0,则1111nxxxniiniii2、设Rxi（i=1，2，n）且111niiixx求证:njijiniixxx1123、设 a 为实常数,试求函数)cos(sin)(xaxxf(xR)的最大值4、求函数xbxaxfcossin)(在)2,0(上的最大值,其中 a，b 为正常数五、作业：1、已知：122ba，222nm,证明：22bnam。提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。2、若Rzyx,，且zyx=a，222zyx=221a)0(a，求证：zyx,都是不大于a32的非负实数。证明：由yxaz代入222zyx=221a可得021)()(22222ayaxyaxRx 0 即021)(8)(42222ayayya化简可得：0232ayy0aay320同理可得：ax320，az320由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。3、设 ab 为不相等的正數，试证：(ab)(a3b3)(a2b2)2。4、设 x，y，z 为正实数，且x+y+z=10，求z9y1x4的最小值。456xyzDFEABCP5、设 x，y，z R，求222zy2xzyx2的最大值。6、ABC 之三边长为4，5，6，P 为三角形內部一点P，P 到三边的距离分別为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。解：s=2152654ABC 面积=4715232527215)()(csbsass且ABC=PAB+PBC+PAC)654(214715zyx4x+5y+6z=2715由柯西不等式(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)47152(x2+y2+z2)77 x2+y2+z2442257、设三个正实数a,