天津市南开区南开中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题数学【含解析】.pdf

天津市南开区南开中学2019-2020 学年高一上学期期中考试试题数学一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题3 分，共 30 分.）1.已知R是实数集，集合3|12,|02AxxBxx，则阴影部分表示的集合是（）A.0,1B.(0,1C.0,1)D.(0,1)【答案】B【解析】【分析】阴影部分对应的集合为RCAB，利用集合的基本运算即可得到结论【详解】由题可知阴影部分对应的集合为RCAB，RCAx|x1或x2，Bx|0 x32，RCABx|0 x1=(0，1，故选B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关键2.命题“存在0 xR，020 x”的否定是（）A.不存在0 xR，020 xB.存在0 xR，020 xC.对任意的xR，020 xD.对任意的xR，020 x【答案】D【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【详解】特称命题的否定是全称命题.命题“存在0 xR，020 x”的否定是：“对任意的xR，020 x”.故选：D.【点睛】本题主要考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查，属于容易题3.若函数()f x 是偶函数，且在0,2上是增函数，在2)，上是减函数，则（）A.(2)(3)(4)fffB.(3)(2)(4)fffC.(4)(3)(2)fffD.(3)(4)(2)fff【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可【详解】解：f（x）是偶函数，且函数f（x）在 2，+）上是减函数，f（4）f（3）f（2），即f（4）f（3）f（2），故选：C【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键4.设1,1,2,3a，则使函数ayx的值域为R且为奇函数的所有a值为（）A.1，3 B.1，1 C.1，3 D.1，1，3【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可【详解】当1a时，11yxx，为奇函数，但值域为0 x x，不满足条件.当1a时，yx，为奇函数，值域为R，满足条件.当2a时，2yx为偶函数，值域为0 x x，不满足条件.当3a时，3yx为奇函数，值域为R，满足条件.故选：A.【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题5.设函数()f x 满足1()11xfxx，则()f x 的表达式为（）A.2211xxB.221xC.21xD.11xx【答案】C【解析】试题分析：设11xtx，则11txt，所以12()111tf ttt，所以2()1f xx，故选 C考点：求函数解析式6.若不等式20axbxc的解集是4,1，则不等式2130b xa xc的解为（）A.413,B.,3,41C.1,4D.21,，【答案】A【解析】【分析】根据不等式20axbxc的解集求出b、a和c的关系，再化简不等式2(1)(3)0b xa xc，从而求出所求不等式的解集【详解】根据题意，若不等式20axbxc的解集是4,1，则4与 1 是方程20axbxc的根，且0a，则有4141baca，解得3ba4ca且0a；不等式2130b xa xc化为：231340 xx，整理得2340 xx即3410 xx解可得413x，即不等式2130b xa xc的解为4,13；故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题7.已知函数f（x）的定义域为（1，1），则函数22xg xffx的定义域为（）A.（0，2）B.（1，2）C.（2，3）D.（1，1）【答案】B【解析】【分析】由题意可得112121xx，由此求得x的范围，即为所求.【详解】由题意，函数fx的定义域为1,1，则对于函数22xg xffx，应有112121xx，解得12x，故g x定义域为1,2.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题8.已知a，bR，则ab是a ab b的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.【详解】由题意，若ab，则0ab，则 ab，所以2a aa，则a ab b成立，当1,2ab时，满足a ab b，但ab不一定成立，所以ab是a ab b的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.9.设,0121,1xxfxxx,若1f af a,则1fa（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由1x时21fxx是 增 函 数 可 知,若1a,则1faf a,所 以01a,由()(+1)f af a得2(1 1)aa,解得14a,则1(4)2(41)6ffa,故选 C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围10.定义在R上的偶函数fx满足：对任意的1212,0 x xxx，有21210fxfxxx，且20f，则不等式205fxfxx解集是（）A.,22B.,20,2C.2,02D.2,00,2【答案】B【解析】【分析】由题意可知偶函数fx在,0上是减函数，故在(0,)上是增函数，且(2)(2)0ff，原不等式可化为305fxx，即()f x 与x异号，结合零点及单调性即可求解.【详解】因为对任意的1212,0 x xxx，有21210fxfxxx，所以偶函数fx在,0上是减函数，因为fx图象关于y轴对称，所以fx在(0,)上是增函数，且(2)(2)0ff，因为fx是偶函数，所以原不等式可化为305fxx，即()f x 与x异号，所以不等式的解为|2x x或02x，故选 B.【点睛】本题主要考查了偶函数的性质，偶函数的单调区间，不等式求解，属于中档题.二.不定项选择题：本大题共2 小题，每题4 分，共 8 分；在每小题给出的四个选项中，都有至少一项是符合题目要求的，全部选对的得4 分，选对但不全的得2 分，选错或不答的得0 分11.已知实数a、b，判断下列不等式中哪些一定是正确的（）A.2ababB.12aaC.|2abbaD.2222 abab【答案】CD【解析】【分析】当0a，0b时，2abab不成立；当0a，时，12aa不成立；由|abbabaab利用基本不等式即可判断；由2222222()()2()0ababababab，可判断【详解】当0a，0b时，2abab不成立；当0a时，12aa不成立；2abbabaab；222222220ababababab，故2222 abab，故选：CD.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于中档题12.下列判断中哪些是不正确的（）A.111xfxxx是偶函数B.2200 xx xfxxx x是奇函数C.2233fxxx是偶函数D.2133xfxx是非奇非偶函数【答案】AD【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，判断每个选项函数的奇偶性即可【详解】A.fx的定义域为1,1，定义域不关于原点对称，fx不是偶函数，该判断错误；B.设0 x，0 x，则22fxxxxxfx，同理设0 x，也有()()fxfx成立，fx是奇函数，该判断正确；C.解230 x得，3x，fx的定义域关于原点对称，且0fx，fx是偶函数，该判断正确；D.解210330 xx得，10 x，或01x，221133xxfxxx，=()fxf xfx是奇函数，该判断错误.故选：AD.【点睛】本题考查了奇函数、偶函数的定义及判断，考查了推理和计算能力，属于中档题三.填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共 24 分13.函数12yxx的最大值为 _.【答案】12.【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0 求得函数定义域，再由函数在定义域内单调递增求解【详解】由120 x，得12x.函数12yxx的定义域为12,，函数yx在12,上为增函数，函数12yx在12,上为增函数，函数12yxx，在12,上为增函数，当12x时，函数12yxx有最大值为12.故答案为：12.【点睛】本题考查函数的值域及其求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题14.已知函数fx满足1221,0fxfxxx，则fx的解析式为 _【答案】24133fxxx【解析】【分析】由已知可得f（1x）-2f（x）21x，联立两式消去f（1x），解方程组可得【详解】1221,fxfxxf（1x）-2f（x）21x，联立两式消去f（1x），可得 f（x）=24133xx故答案为f（x）=24133xx【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查整体换元，属于基础题15.已知2yfxx是奇函数，且13f，若2g xfx，则1g_.【答案】3.【解析】【分析】由已知可知，22()()fxxf xx，然后结合f（1）3，可求(1)f，然后代入即可求解(1)g【详解】2yfxx是奇函数，22fxxfxx，22xfxfx，13f，15f，2g xfx，则1123gf.故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是奇函数定义的灵活应用，属于容易题16.已知函数224fxxkx在区间2,4上具有单调性，则k的取值范围是_.【答案】,816,.【解析】【分析】函数2()24f xxkx对称轴为：4kx，函数()f x 在区间 2，4 上有单调性，由44k或24k，解得k即可【详解】函数224fxxkx对称轴4kx，又函数fx在区间2,4上有单调性，44k或24k，16k或8k，故答案为：,816,.【点睛】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，()f x 在其区间上具有单调性的条件，属于容易题.17.已知2240()40 xx xf xxxx，若2(2)faf a，则实数a的取值范围是 _.【答案】(2,1)【解析】【分析】判断函数()f x 的单调性，利用单调性2(2)fafa转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】()f x 在区间(,0,(0,)都是增函数，并且在0 x处函数连续，所以()f x 在R上是增函数，2(2)fafa等价于222,20a aaa，解得21a.故答案为:(2,1)【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.18.设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为 _.【答案】4 3【解析】【分析】把分子展开化为26xy，再利用基本不等式求最值【详解】(1)(21)221,xyxyxyxyxy0,0,25,0,xyxyxy2 2 3264 3xyxyxyxy，当且仅当3xy，即3,1xy时成立，故所求的最小值为4 3【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立四、解答题：本大题共5 小题，共38 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19.已知全集UR，集合2|3180Ax xx，5|014xBxx.（1）求()UC BA.（2）若集合|21Cxaxa，且BCC，求实数a的取值范围.【答案】（1）|14UC BAx x或5x（2）52a【解析】试题分析：（1）解不等式求得A,B 及UC B，根据交集的定义求解；（2）将问题转化为CB求解，分C和C两种情况进行讨论试题解析：（1）由题意得|3Ax x或6x，|514Bxx，|5UBx x或14，|14UC BAx x或5x（2）BCCCB，当C时，则有21aa，解得1a当C时，则有2111425aaaa，解得512a综上可得52a实数a的取值范围为5)2，20.已知幂函数afxx的图象经过点2,2.（1）求幂函数fx的解析式；（2）试求满足13fafa的实数a的取值范围.【答案】（1）0fxx x；（2）1,3.【解析】【分析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出a的值，即可写出()f x 的解析式；（2）根据()f x 在定义域上的单调性，把不等式(1)(3)fafa 化为关于a的不等式组，求出解集即可【详解】（1）幂函数afxx的图象经过点2,2，22a，解得12a，幂函数120 xxfx x；（2）由（1）知fx在定义域0,上单调递增，则不等式13fafa可化为103013aaaa解得13a，实数a的取值范围是1,3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于容易题21.已知函数211xfxx()证明：函数fx在区间0,上是增函数；()求函数fx在区间1,17上的最大值和最小值【答案】()见解析；()见解析【解析】【分析】()先分离常数得出321fxx，然后根据增函数的定义，设任意的120 xx，然后作差，通分，得出121212311xxfxfxxx，只需证明12fxfx即可得出fx在0,上是增函数；()根据fx在0,上是增函数，即可得出fx在区间1,17上的最大值为17f，最小值为1f，从而求出17f，1f即可【详解】解：()证明：213211xfxxx；设120 xx，则：121221123331111xxfxfxxxxx；120 xx；120 xx，110 x，210 x；12123011xxxx；12fxfx；fx在区间0,上是增函数；()fx在0,上是增函数；fx在区间1,17上的最小值为112f，最大值为11176f【点睛】考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法22.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当0 x时，22fxxx.（1）求函数fxxR的解析式；（2）写出函数fxxR的增区间（不需要证明）；（3）若函数2212g xfxaxx，求函数g x的最小值.【答案】（1）222,02,0 xx xfxxx x；（2）函数fx的增区间：,1，1，减区间：1,1，；（3）当1a时，min24g xa，当0a时，min12g xa，当01a时，2()min21g xaa.【解析】【分析】（1）根据奇函数定义和当0 x时，2()2f xxx，并写出函数在0 x时的解析式；（2）由（1）解析式得出函数的单调区间；（3）通过分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论【详解】（1）函数fx是定义在R上的奇函数，当0 x时，此时0 x，fxfx，又当0 x时，22fxxx，2222ffxxxxxx，函数fxxR的解析式为：222,02,0 xx xfxxx x.（2）函数fx的增区间：,1，1,+减区间：1,1.（3）函数22222222221,2g xfxaxxxaxxa xx，二次函数对称轴为：1xa，当21a时，即1a时，min224g xga，当11a时，即0a时，min112g xga，当112a时，即01a时，2()min(1)21g xg aaa综上，当1a时，min24g xa，当0a时，min12g xa，当01a时，2()min21g xaa【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的最值，本题难度不大，属于中档题23.函数 f(x)的定义域为Dx|x 0，且满足对任意x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x 1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求x 的取值范围【答案】（1）0；（2）见解析；（3）(15,1)1,17【解析】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f(x)和f(x)的关系；（3）先利用f(44)f(4)f(4)2 得到f(x1)2?f(|x 1|)f(16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)令x1x2 1，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x1 1，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2?f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数 0|x1|16，解之得 15x17 且x1.x的取值范围是x|15x17 且x1