广东省揭阳市高三数学第二次模拟试题理(揭阳二模)新人教A版.pdf
广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版1/11 绝密启用前揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)本试卷共4 页，21 小题，满分150 分考试用时120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：棱锥的体积公式：13VSh其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高一选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集UR，|21xAx y，则ACUA.0,)B.(,0)C.(0,)D.(,02若(12)1ai ibi，其中a、bR，i是虚数单位，则|abi=A12iB5C52D543已知点A(1,5)和向量a=（2,3），若3ABa，则点 B的坐标为A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5，14)4在等差数列na中，首项10,a公差0d，若129maaaa，则m的值为A37 B 36 C20 D195一个棱长为2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图(1)示，则该几何体的体积为A.7 B.223 C.476 D.233图（1）俯视图侧视图正视图广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版2/11 元件 2元件 1 6 已知函数1()ln(1)fxxx,则()yf x的图象大致为7某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为A.18 B.24 C.30 D.36 8.设()f x是定义在（0,1）上的函数，对任意的1yx都有11()()()1yxfffxyxy，记21()()55nafnNnn,则81iia=A.1()2f B.1()3f C.1()4f D.1()5f二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分（一）必做题（913 题）9若点(,1)a在函数13logyx的图象上，则4tana的值为10 过双曲线221916xy的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .11某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件1 或元件 2 正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N，且各个图（2）元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为12已知函数()4|21fxa xa若命题：“0(0,1)x，使0()0f x”是真命题，则实数a的取值范围为13已知点(,)P x y满足01,02.xxy则点(,)Q xy y构成的图形的面积为（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线l过圆 C：22 cos()4的圆心 C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版3/11 图（5）图（4）MNMNFDCBAECFBAED15(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，,C D是半圆周上的两个三等分点，直径4AB，CEAB，垂足为E，BD与CE相交于点F，则BF的长为三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12 分）已知函数12sin(2)4()cosxf xx，（1）求函数()f x的定义域；（2）设是第四象限的角，且4tan3，求()f的值17.（本小题满分12 分）某批产品成箱包装，每箱5 件一用户在购进该批产品前先取出3 箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0 件、1 件、2 件二等品，其余为一等品（1）在取出的3 箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3 次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；（2）在取出的3 箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2 件产品进行检验，用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及数学期望18（本小题满分14 分）数列na中，13a，1nnaacn（c是常数，12 3n，），且123aaa，成公比不为1的等比数列（1）求c的值；（2）求na的通项公式；（3）求最小的自然数n，使2013na19（本小题满分14 分）在图（4）所示的长方形ABCD 中，AD=2AB=2，E、F 分别为 AD、BC的中点，M、N两点分别在 AF和 CE上运动，且AM=EN=a(02).a把长方形ABCD 沿 EF折成大小为的二面角A-EF-C，如图（5）所示，其中(0,2（1）当045时，求三棱柱BCF-ADE的体积；（2）求证：不论怎么变化，直线MN 总与平面BCF平行；（3）当090且2.2a时，求异面直线MN 与 AC所成角的余弦值图3FEDCBAo广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版4/11 tlyXOMFBA20.（本小题满分14 分）如图（6）已知抛物线2:2(0)Cypx p的准线为l，焦点为F，圆 M的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切过原点作倾斜角为3的直线t，交l于点 A，交圆 M于点 B,且|2AOOB（1）求圆 M和抛物线C的方程；（2）设,G H是抛物线C上异于原点O的两个不同点，且0OG OH,求GOH面积的最小值；图（6）（3）在抛物线C上是否存在两点QP,关于直线:10m yk xk对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由.21（本小题满分14 分）设函数2()(1)nnfxxx在1,12上的最大值为na（1,2,n）（1）求12,a a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）证明：对任意*nN（2n）,都有21(2)nan成立广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版5/11 揭阳市 2013 年高中毕业班高考第二次模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一选择题：BCDA DACC 解析：1由210 x得0 x，0,)A，故选 B2由(12)1ai ibi得1,12ab225|2abiab,选 C3设(,)B x y，由3ABa得1659xy，所以选D4由129maaaa得5(1)93637mdadm，选 A5依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为.31123221 1 1323，故选 D.6令()ln(1)g xxx，则1()111xgxxx，由()0,gx得0,x即函数()g x在(0,)上单调递增，由()0g x得10 x，即函数()g x在(1,0)上单调递减，所以当0 x时，函数()g x有最小值，min()(0)0g xg，于是对任意的(1,0)(0,)x，有()0g x，故排除B、D,因函数()g x在(1,0)上单调递减，则函数()f x在(1,0)上递增，故排除 C,所以答案选A.7 四名学生中有两名分在一所学校的种数是24C，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一所学校的有33A种，所以不同的安排方法种数是23343330C AA故选 C.8.因21(3)(2)()55(3)(2)1nnnaffnnnn11()()23ffnn，故81iia128111111()()()()()()34451011aaaffffff广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版6/11 2u=2-1v=u-1v=u12ovu1111 31()()()()31111 3 14ffff，故选 C.二填空题：9.3；10.43200 xy；11.34；12.12a（或1(,)2a）；13.2；14.cossin20（或cos()24）；15.2 33.解析：9依题意得3a，则4tana=4tan3310双曲线221916xy的右焦点为(5,0)，渐近线的方程为43yx，所以所求直线方程为4(5),3yx即43200 xy11两个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N得：两个电子元件的使用寿命超过1000 小时的概率均为12p，则该部件使用寿命超过1000 小时的概率为：2131(1)4Pp12由“)1,0(0 x，使得0)(0 xf”是真命题，得(0)(1)0ff(12)(4|21)0aaa0(21)(21)0aaa或0(61)(21)0aaa12a.13令,xyu yv，则点(,)Q u v满足01,02.uvu，在uov平面内画出点(,)Q u v所构成的平面区域如图，易得其面积为2.14把2 2cos()4化为直角坐标系的方程为2222xyxy，圆心 C的坐标为（1，1），与直线OC 垂直的直线方程为20,xy化为极坐标系的方程为cossin20或cos()2415.依题意知30DBA,则 AD=2，过点 D作 DGAB于 G，则 AG=BE=1，所以2 33BF.三解答题：16解：（1）函数()f x要有意义，需满足：cos0 x，解得,2xkkZ，-2分即()f x的定义域为|,2x xkkZ-4分广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版7/11（2）12sin(2)4()cosxf xx2212(sin 2cos2)22cosxxx1cos2sin 2cosxxx-6分22cos2sincoscosxxxx2(cossin)xx-8分由4tan3，得4sincos3,又22sincos129cos25，是第四象限的角3cos5，4sin5-10分14()2(cossin)5f-12分17.解：（1）设A表示事件“从第三箱中有放回地抽取3 次（每次一件），恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为25，-2分故2232336()()55125P AC.-5分(2)可能的取值为0，1，2，3-6分P(0)C24C25C23C2518100950，P(1)C14C25C23C25C24C25C13C12C251225，P(2)C14C25C13C12C25C24C25C22C251550，P(3)C14C25C22C25125-10分的分布列为0 1 2 3 P95012251550125-11分数学期望为E11225+21550+3125=1.2 -12分18解：（1）13a，23ac，333ac，-1分1a，2a，3a成等比数列，2(3)3(33)cc，-2分解得0c或3c -3分广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版8/11 N1M1EABCDFNM当0c时，123aaa，不符合题意舍去，故3c-4分（2）当2n时，由21aac，322aac，1(1)nnaanc，得1(1)12(1)2nn naancc-6分又13a，3c，2333(1)(2)(2 3)22nan nnnn，-8分当1n时，上式也成立，23(2)()2nannnN-9分（3）由2013na得23(2)20132nn，即213400nn-10分nN,14 3352n14 1813622-11分令37n，得3720012013a，令38n得3821122013a-13分使2013na成立的最小自然数38n-14分19解：（1）依题意得,EFDE EFAEEF平面ADE，DEA=-2分由45得，12sin 4524ADESDE EA,24BCFADEADEVSEF-4分（2）证法一：过点M作1MMBF交 BF于1M，过点 N作1NNCF交 BF于1N，连结11M N,-5分11/,/MMAB NNEF11/MMNN又 11MMNNFMCNABFACEEF11MMNN-7分四边形11MNN M为平行四边形，-8分广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版9/11 GEABCDFNMQEABCDFNM11/MNN M,11,MNBCF N MBCF又面面/.MNBCF面-10 分【法二：过点M作MGEF交 EF于 G，连结 NG，则,CNFMFGNEMAGE/NGCF-6分,/NGBCF CFBCFNGBCF又面面面，-7分同理可证得/MGBCF面，又MGNGG,平面 MNG/平面 BCF-9分MN平面MNG,/MNBCF面-10分】（3）法一：取CF的中点为Q，连结 MQ、NQ，则 MQ/AC，NMQ或其补角为异面直线MN与 AC所成的角，-11分090且2.2a12NQ,22123()()222MQ2,2MN-12 分2226cos.23QMMNNQNMQMN QM即 MN与 AC所成角的余弦值为63-14分【法二：090且2.2a分别以 FE、FB、FC所在直线为x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.-11分则1 1111 1(1,1,0),(0,0,1),(,0),(,0,),(1,1,1),(0,),2 2222 2ACMNACMN得-12分16cos,3232AC MN，13 分所以与 AC所成角的余弦值为6314 分】20.解：(1)1cos602122pOA，即2p，所求抛物线的方程为24yx广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版10/11-2分设圆的半径为r，则122cos60OBr，圆的方程为22(2)4xy.-4分(2)设1122,G x yH xy，由0OG OH得02121yyxx2211224,4yxyx，1216x x，-6分12GOHSOG OH,222222211221144GOHSOGOHxyxy=2211221444xxxx=21212121214164x xx xxxx x212121212142164x xx xxxx x=256 16GOHS,当且仅当122xx时取等号，GOH面积最小值为16.-9分(3)设4433,yxQyxP关于直线m对称，且PQ中点00,yxD4433,yxQyxP在抛物线C上，2233444,4yxyx两式相减得：3434344yyyyxx-11分343434444PQxxyykyyk，02yk00,yxD在:10m yk xk上010 x，点00,yxD在抛物线外-13分在抛物线C上不存在两点QP,关于直线m对称.-14分21解：（1）解法 1：121()(1)2(1)(1)(1)2 nnnnfxnxxxxxxnxx-1分当1n时，1()(1)(13)fxxx当1,12x时，1()0fx，即函数1()fx在1,12上单调递减，1111()28af，-3分当2n时，2()fx2(1)(12)xxx当1,12x时，2()0fx，即函数2()fx在1,12上单调递减，2211()216af-5分广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版11/11【解法 2：当1n时，21()(1)fxxx，则21()(1)2(1)(1)(13)fxxxxxx当1,12x时，1()0fx，即函数1()fx在1,12上单调递减，1111()28af，当2n时，222()(1)fxxx，则222()2(1)2(1)fxxxxx2(1)(12)xxx当1,12x时，2()0fx，即函数2()fx在1,12上单调递减，2211()216af】（2）令()0nfx得1x或2nxn，当3n时，1,122nn且当1,)22nxn时()0nfx，当(,12nxn时()0nfx，-7分故()nfx在2nxn处取得最大值，即当3n时，22()()()222nnnnnafnnn24(2)nnnn,-（）-9分当2n时（）仍然成立，综上得21,184.2(2)nnnnannn-10分（3）当2n时，要证2241(2)(2)nnnnn，只需证明2(1)4nn-11分01222(1)()()nnnnnnCCCnnn2(1)41212142n nn对任意*nN（2n）,都有21(2)nan成立.-14分
