天津市滨海新区2019-2020学年高二上学期期末考试试题数学【含解析】.pdf

天津市滨海新区2019-2020 学年高二上学期期末考试试题数学一选择题（共12 小题）1.i是虚数单位，复数21ii等于()A.1iB.1 iC.1iD.1i【答案】B【解析】【分析】直接利用复数的除法运算进行化简计算【详解】2122211112iiiiiiii故选B【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题2.“2,x，220 xx”的否定是().A.0,2x，20020 xxB.2,x，220 xxC.02,x，20020 xxD.,2x，220 xx【答案】C【解析】【分析】“?xM，p（x）”的否定为“?xM，p（x）”【详解】依题意，“?x（2，+），x22x0”的否定是：02,x，20020 xx，故选C【点睛】本题考查了命题的否定，要注意命题的否定和否命题的区别本题属于基础题3.若,a b cR，且ab，则下列结论一定成立的是（）A.acbcB.11abC.22abD.acbc【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质，即可选出答案.【详解】当0c时，=ac bc，错误.当1,1ab时，,1111ab，11ab，错误.当1,1ab时，22=1=ab，错误.因为 ab，所以acbc，正确.故选 D.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于基础题.若不等式不成立，只需举出一个反例说明即可.此类题型常用举出反例和目标分析法来做题.4.等差数列na的前n项和nS，若132,12aS，则6a()A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】试题分析：假设公差为d,依题意可得1323 212,22dd.所以62(61)212a.故选C.考点：等差数列的性质.【此处有视频，请去附件查看】5.已知等比数列na中，11a，且4581258aaaaaa，那么5S=（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】A【解析】【分析】先求出公比，再根据求和公式计算即可.【详解】设等比数列na的公比为q，11a，且4581258aaaaaa，3473481qqqqqq，即2q，551511231112aqSq.故选：A.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的前n项和，属于基础题.6.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地”则该人第四天走的路程为（）A.3 里B.6里C.12 里D.24 里【答案】D【解析】【详解】设第一天走1a里,则na是以1a为首项,以12为公比的等比数列，由题意得：166112378112aS，解得1192a(里)，341111922428aa(里).故选 D.7.已知双曲线22211643xymm的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A.53B.35C.54D.45【答案】B【解析】【分析】利用双曲线22211643xymm的实轴长为10，求出m，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.【详解】由题意21625m，430m，所以3m，433m，所以双曲线的渐近线的斜率为35.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题.8.“b是13与13的等差中项”是“b是23与23的等比中项”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等差中项和等比中项的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若b是13与13的等差中项，则131312b，若b是23与23的等比中项，则(23)(23)1b，则“b是13与13的等差中项”是“b是23与23的等比中项”的充分不必要条件，故选 A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出b的值是解决本题的关键9.若正数,x y满足220 xxy，则3xy的最小值是（）A.4B.2 2C.2D.4 2【答案】A【解析】【分析】先由22 0 xxy得到2yxx，推出232xyxx，根据基本不等式即可求出结果.【详解】因为正数,x y满足220 xxy，所以2yxx，所以22322 24xyxxxx，当且仅当22xx，即1x时，等号成立.故选 A【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.10.已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为72，且双曲线的一个焦点在抛物线28 7yx 的准线上，则双曲线的方程为（）A.22143xyB.22134xyC.2211612xyD.2211216xy【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线，即得2 7c，再由离心率公式和222abc，可得a，b，即可得到双曲线方程.【详解】抛物线28 7yx 的准线为2 7x，则有双曲线的一个焦点为2 7,0，即2 7c，由72cea，可得4a，则2228 162 3bca，即双曲线方程为2211612xy.故选：C.【点睛】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，运用离心率公式和a，b，c的关系是解题的关键，属于基础题.11.若0a，0b，31ab，则11aab的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】A【解析】【分析】由题意可得1111434aaababababbba，由基本不等式可得，注意等号成立的条件即可.【详解】由0a，0b，31ab，则1111114434428aaaaba babababbabbbaba，当且仅当12,55ab时取“”.故选：A.【点睛】本题考查“乘1 法”和基本不等式的性质，属于基础题.12.已知1F，2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点且123F PF，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.2 B.4 C.2 33D.4 33【答案】D【解析】【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为1a1aa，半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设1PFm，2PFn，122F Fc，椭圆和双曲线的离心率分别为1cea，21cea，因P是它们的一个公共点，且123F PF，则由余弦定理可得：22242cos3cmnmn在椭圆中，由定义知2mna，式化简为：22443camn在双曲线中，由定义知12mna，式化简为：22144camn由两式消去mn得：222116412caa，等式两边同除2c得2212234aacc，即2212134ee，由柯西不等式得2221212131131133eeee，12114 33ee.故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键，属于难题二填空题（共8 小题）13.已知复数3(zi i 为虚数单位），则|z_【答案】2【解析】【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解.【详解】由复数3zi，则3 12z.故答案为：2.【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.14.已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为(1,3,)uz，向量(3,2,1)v与平面平行，则 z等于_【答案】9【解析】【分析】由题意可得：uv，即0u v，即可得出z 的值.【详解】由题意得：uv，即360u vz，解得9z.故答案为：9.【点睛】本题考查线面位置关系、方程思想方法，推理能力与计算能力，属于基础题.15.不等式302xx的解集为 _【答案】(2,3)【解析】【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解即可【详解】依题意，不等式302xx等价于320 xx，解得23x，所以不等式302xx的解集为2,3.故答案为：2,3.【点睛】本题考查了不等式的解法，主要考查计算能力和转化求解能力，属于基础题16.已知数列na满足11a，1nnana，则34aa_【答案】8【解析】【分析】由递推关系分别计算234,?,aaa即可.【详解】2132433411,?22,36,8aaaaaaaa故答案为8.【点睛】本题考查数列递推关系，求数列的项，是基础题.17.正方体1111ABCDA B C D中，点E是AB的中点，求1DB与CE所成角的余弦值为_【答案】1515【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得到答案.【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体1111ABCDA B C D的棱长为2，则2,1,0E，0,2,0C，0,0,0D，12,2,2B，12,2,2DB，2,1,0CE，设直线1DB与直线CE所成角为，则1142015cos15125DBCEDBCE，所以直线1DB与直线CE所成角的余弦值为1515.故答案为：1515.【点睛】本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18.直线l过抛物线2:2(0)Cypx p的焦点(1,0)F，且与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标2，则p_，直线l的方程为 _【答案】(1).2 (2).10 xy【解析】【分析】根据抛物线的焦点(1,0)F可得p的值，设直线l的方程为1xny，联立方程，利用AB的中点的纵坐标2即可得到直线方程.【详解】由题意，抛物线的焦点(1,0)F，则12p，所以2p，所以抛物线方程为24yx，设11,A x y，22,B xy，则124yy，直线l的方程为1xny，联立241yxxny，消去x整理得：2440yny，由韦达定理得：1244yyn，即1n，所以直线l的方程为10 xy.故答案为：2，10 xy.【点睛】本题主要考查抛物线的基本概念的掌握，以及解析几何的计算能力，韦达定理的应用，属于基础题.19.已知|11xxx，使等式20 xxm成立的实数m的取值集合为M，不等式()(2)0 xaxa的解集为N，若xN是xM的必要条件，则a的取值范围是_【答案】19,44【解析】【分析】根据条件进行转化，结合一元二次函数求出集合M，再求出集合N，利用必要条件建立不等关系讨论即可.【详解】由题意，|11xxx，使等式20 xxm成立的实数m的取值集合为M，221124mxxx，当12x时，取最小值为14，当1x时，取最大值为2，124m，即1,24M，若xN是xM的必要条件，则MN，当2aa，即1a时，|2Nxaxa，则12421aaa，即94a，当2aa，即1a时，|2Nx axa，则22141aaa，即14a，当2aa，即1a时，此时N，不满足题中条件，综上所述：a的取值范围是19,44.故答案为：19,44.【点睛】本题主要考查二次函数在区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题.20.给出下列四个命题已知P为椭圆2214xy上任意一点，1F，2F是椭圆的两个焦点，则12PF F的周长是 8；已知M是双曲线22145xy上任意一点，F是双曲线的右焦点，则|1MF；已知直线l过抛物线2:2(0)Cxpy p的焦点F，且l与C交于1(A x，1)y，2(B x，2)y两点，则121240 x xy y；椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点1F，2F是它的焦点，长轴长为2a，焦距为 2c，若静放在点1F的小球（小球的半径忽略不计）从点1F沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点1F时，小球经过的路程恰好是4a其中正确命题的序号为_（请将所有正确命题的序号都填上）【答案】【解析】【分析】求得椭圆中的a，c，12PF F的周长为：22ac，即可判断；求得双曲线中的a，b，c，讨论M在双曲线的左支或右支上，求得最小值，即可判断；设出直线l的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，即可判断；可假设长轴在x，短轴在y轴，对球的运动方向沿x轴向左直线运动，沿x轴向右直线运动，以及球不沿x轴运动，讨论即可.【详解】由椭圆方程2214xy，得2a，3c，因P为椭圆2214xy上任意一点，由椭圆定义知，12PF F的周长为2242 3ac，故错误；已知M是双曲线22145xy上任意一点，且2a，3c，F是双曲线的右焦点，若M在双曲线左支上，则5MF，若M在双曲线右支上，则1MF，故正确；直线l过抛物线2:2(0)C xpy p的焦点F，设其方程为2pykx，11,A x y，22,B xy，将直线l代入抛物线的方程可得2220 xpkxp，由韦达定理可得212x xp，又2221212224xxpyypp，则121240 x xyy，故正确；假设长轴在x，短轴在y轴，设1F为左焦点，2F为左焦点，以下分为三种情况：i 球从1F沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到1F路程是2 ac；ii 球从1F沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到1F路程是2 ac；iii球从1F不沿x轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点A，反弹后经过椭圆的另一个焦点2F，再弹到椭圆上一点B，经B反弹后经过点1F，此时小球经过的路程是4a；综上所述：从点1F沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到1F时，小球经过的路程是2 ac或2 ac或4a.故错误.故答案为：.【点睛】本题考查圆锥曲线的定义、方程和性质，考查分类讨论思想方法和化简整理的运算能力，属于中档题三解答题（共4 小题）21.已知公差不为0 的等差数列na的前n项和为nS，479Sa，且1a，4a，13a成等比数列1求数列na的通项公式；2求数列1nS的前n项和公式【答案】（1）21nan；（2）31234212nnn【解析】【分析】1运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；2运用等差数列的求和公式，可得2131222nSnn nnn，211111222nSnnnn，再由裂项相消求和，可得所求和【详解】解：1公差d不为 0 的等差数列na的前n项和为nS，479Sa，可得114669adad，且1a，4a，13a成等比数列，可得24113aa a，即2111(3)12adaad，解得13a，2d，则32121nann；21231222nSnn nnn，211111222nSnnnn，则数列1nS的前n项和为11111111111232435112nnnn11113123122124212nnnnn【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，以及数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题22.如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PAD 平面ABCD，PA PD，PA=PD，AB AD，O为 AD中点，AB=1，AD=2，AC=CD=5.（1）证明：直线AB 平面 PCO；（2）求二面角PCD A的余弦值；（3）在棱 PB上是否存在点N，使 AN 平面 PCD，若存在，求线段BN的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）23；（3）2 33.【解析】【分析】（1）根据条件AC=CD 可得COAD，又 AB AD，所以 AB CO，然后根据线面平行的判定定理可得结论；（2）以 O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面 ABCD 的法向量，根据两向量的夹角求解可得所求余弦值；（3）假设存在点N 满足条件，设出点N 的坐标，根据直线AN的方向向量和平面PCD的法向量平行可得结论【详解】（1）因为 AC=CD，O为 AD中点，所以COAD又 AB AD，所以 AB CO，又 AB平面 PCO，CO平面 PCO，所以 AB 平面 PCO（2）因为 PA=PD，所以 PO AD.又因为 PO平面 PAD，平面 PAD 平面 ABCD，所以 PO 平面 ABCD.因为 CO平面 ABCD，所以 PO CO.因为 AC=CD，所以 CO AD.如图建立空间直角坐标系O xyz.则 A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.设平面 PCD的法向量为(,)nx y z，则0,0,n PDn PC，得0,20.yzxz 令 z=2，则(1,2,2)n又平面 ABCD 的法向量为OP=（0，0，1），所以22cos,3144n OPn OPn OP.由图形得二面角PCDA为锐角，所以二面角PCDA的余弦值为23（3）假设存在点N是棱 PB上一点，使得AN 平面 PCD，则存在0，1 使得1,1,1,BNBP，因此1,0,0,1,ANABBN.由（2）得平面 PCD的法向量为(1,2,2)n.因为 AN 平面 PCD，所以ANn，即1122.解得=230，1，所以存在点N是棱 PB上一点，使AN 平面 PCD，此时BN=22 333BP.【点睛】（1）用向量法求二面角时，先求出两平面法向量的夹角，再通过观察图形得到二面角为锐角还是钝角，最后才能得到结论（2）解决立体几何中的探索性问题时，一般先假设存在满足条件的元素（点或线），然后以此作为条件进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立23.已知数列na的前n项和为2(*)2nnnSnN（1）求数列na的通项公式；（2）设2(1)nannnnbaa，求数列nb的前2n项和2nT【答案】（1）nan（2）2122(21)2nnTnn【解析】【分析】（1）运用数列的递推式：当1n时，11aS，当2n时，1nnnaSS，化简整理可得所求通项公式；（2）求得nb，利用数列求和公式：分组求和法，错位相减法，即可得到答案.【详解】解：（1）由2(*)2nnnSnN，得111aS当2n时，221(1)(1)22nnnnnnnaSSn11a适合上式，nan；（2）2(1)2(1)nannnnnnbaann，设数列nb的前2n项和为2nT，则12322(1 21)(222)(323)(222)nnTnn232(1 2223222)123(21)2 nnnn设1232212223222nnnA则234212122232222nnnA-得：234221222121212(222222)2=22=2(12)12222nnnnnnAnnn所以2122(21)2nnnA；则2122 123(21)2=2(21)2nnnTAnnnn【点睛】本题考查数列的na与前n项的和nS的关系与求和公式、分组求和方法，错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题24.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221xyab（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为32（1）求 a，b 的值（2）设 P是椭圆 C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k 的直线 l 交椭圆 C于 A、B两点（）若k1，求 OAB面积的最大值；（）若PA2PB2的值与点P的位置无关，求k 的值【答案】（1）24x y21（2）（）m 102时，SOAB取得最大值1（）12.【解析】试题分析：（1）由椭圆几何条件知上顶点到焦点的距离为半长轴长，即 a2，又 e32ca，所以 c3，故 b1（2）（）求 OAB 面积的最大值，关键建立其函数关系式，这要用到点到直线距离公式来求高，利用两点间距离公式来求底边边长：设点 P（m，0）（2m 2），直线 l 的方程为yxm 则可求得 AB|24 2 55m，高为2m，从而SOAB22 55m|m|，利用基本不等式求最值（）由题意先表示出 PA2PB2，再按 m整理，最后根据与点P的位置无关得到对应项系数为零，从而解出k 的值试题解析：（1）由题设可知a2，e32ca，所以 c3，故 b1因此，a2，b1 2分（2）由（1）可得，椭圆C的方程为24xy21设点 P（m，0）（2m 2），点 A（x1，y1），点 B（x2，y2）()若 k1，则直线l 的方程为yxm 联立直线l 与椭圆 C的方程，即2214yxmxy将 y 消去，化简得254x2mxm210从而有 x1x285m，x1 x224(1)5m，而 y1x1m，y2x2m，因此，AB|24 255m点 O到直线 l 的距离 d2m，所以，SOAB12|AB|d22 55m|m|，因此，S2OAB425(5 m2)m222245()252mm16 分又2m 2，即m20，4 所以，当5m2m2，即 m252，m102时，SOAB取得最大值18 分()设直线l 的方程为 yk(x m).将直线 l 与椭圆 C的方程联立，即22()14yk xmxy将 y 消去，化简得(14k2)x28mk2x4(k2m21)0，解此方程，可得，x1x222814mkk，x1x22224(1)14k mk10 分所以，PA2PB2(x1m)2y12(x2m)2y2234(x12x22)2m(x1x2)2m22 2422222(862)(14)(88)(14)mkkkkk（*）.14分因为 PA2PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有 8k46k220，解得 k12所以，k 的值为12.16 分考点：椭圆基本量，直线与椭圆位置关系