天津市和平区耀华中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题数学【含解析】.pdf
天津市和平区耀华中学2019-2020 学年高二上学期期中考试试题数学一、选择题（本大题共12 小题）1.命题“2,220 xxxR”的否定是（）A.2,220 xxxRB.2,220 xR xxC.2,220 xxxRD.2,220 xxxR【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A选项正确.故选 A.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.2.已知数列na是等差数列，若12a，342aa，则公差 d（）A.0 B.2 C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由题意利用等差数列的通项公式，可得公差d的值【详解】解：数列na是等差数列设公差为d，若12a，342aa232 22dd，解得2d故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题3.若0b，则“,a b c成等比数列”是“bac”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论详解：由题意得，例如1,1,1abc，此时,a b c构成等比数列，而bac不成立，反之当0b时，若bac，则2bcbacab，所以,a b c构成等比数列，所以当0b时，,a b c构成等比数列是bac构成的等比数列的必要不充分条件，故选 B点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的性质，其中熟记等比数列的性质和等比数列的定义的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力4.在等差数列na中，首项10a，公差0d，前n项和为*nSnN，且满足315SS，则nS的最大项为（）A.7SB.8SC.9SD.10S【答案】C【解析】【分析】由已知结合等差数列的求和公式可得，45150aaa，由等差数列的性质可知，9100aa，结合已知可得90a，100a，即可判断【详解】解：等差数列na中，且满足315SS，45150aaa，由等差数列的性质可知，9100aa，首项10a，公差0d，0d，90a，100a，则nS的最大项为9S故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题5.数列na满足12a，111nnnaaa，则2019a（）A.3B.13C.12D.2【答案】C【解析】【分析】根据已知分析数列的周期性，可得答案【详解】解：数列na满足12a，111nnnaaa，23a，312a，413a，52a，故数列na以 4 为周期呈现周期性变化，由201945043，故2019312aa，故选：C【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档6.若不等式20axbxc的解集是2,3，则不等式20bxaxc的解集是（）A.3,2B.2,3C.,23,D.,32,【答案】D【解析】【分析】根据不等式20axbxc的解集求出a、b和c的关系，代入不等式20bxaxc中化简，即可求出该不等式的解集【详解】解：不等式20axbxc的解集是2,3，所以方程20axbxc的解是-2 和 3，且0a；即2323baca，解得ba，6ca；所以不等式20bxaxc化为260axaxa，即260 xx，解得3x或2x，所以所求不等式的解集是,32,故选：D【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与对应一元二次方程的关系问题，是基础题7.不等式222240axax，对一切xR恒成立，则a的取值范围是A.,2B.2,2C.2,2D.,2【答案】B【解析】当 a=2 时，不等式恒成立。故a=2 成立当 a2 时，要求220421620aaa解得：a(-2,2)综合可知：a(-2,2 本题选择B选项.点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单8.设常数a0，若291axax对一切正实数x成立，则a的取值范围为（）A 1,5B.1,5C.1,5D.1,5【答案】A【解析】【分析】先利用基本不等式求出的范围，再解关于a的不等式即可【详解】解：因为：0 x，0a，所以：29axx229axx=6a原不等式291axax恒成立，即可转换为61aa，解得15a所以a的取值范围为：1,5故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式以及不等式恒成立问题，属于常见题型，是基础题目9.数列na满足na=123.nn，则数列11nna a的前n项和为（）A.2nnB.22nnC.1nnD.21nn【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式，化简数列na的通项公式，再利用裂项相消法求出数列11nna a的前n项和.【详解】(1)123.12,2nn nnnnna114(1)(2)nna ann，所以数列11nna a的前n项和为11114()2 33445(1)(2)Snn,111111111124()4()23344512222nSnnnn，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，利用裂项相消法求数列的前n项和.10.已知0a，0b，且满足1ab，则14ab的最小值为（）A.7 B.9 C.4 D.422【答案】B【解析】【分析】1445baababab，利用基本不等式可求得最值，注意等号成立的条件【详解】解：因为0a，0b，且满足1ab，所以1445baababab9，当且仅当1233ab，时，等号成立故选：B【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题11.已知数列na满足712,83,8nna nnaan，若对于任意*nN都有1nnaa，则实数a的取值范围是（）A.10,3B.10,2C.1(,1)2D.1 1,3 2【答案】C【解析】【分析】由题意，得到数列na为单调递减数列，可知1013aa且，分113a和103a两种情况讨论，即可求解【详解】由题意，对于任意的*nN都有1nnaa，所以数列na为单调递减数列，由8n时，7nf na，根据指数函数的性质，可知1013aa且，当113a时，8n时，1()23naa n单调递减，而8n时，7nnaa单调递减，所以8 71()923aa，解得12a，所以112a；当103a时，8n时，1()23naa n单调递增，不符合题意（舍去）综上可知，实数a的取值范围是112a，故选 C【点睛】本题主要考查了数列的单调性，以及分段函数的的单调性的应用，其中解答中根据数列的单调性，利用分段函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题12.设正实数,x y z满足22340 xxyyz则当xyz取得最大值时，412xyz的最大值为（）A.0 B.1 C.94D.3【答案】C【解析】【分析】先求出xyz取得最大值为1，得到x，y，z的关系，代入所求式子，得到关于y的函数求解即可【详解】解：正实数,x y z满足22340 xxyyz，即2234zxxyy，所以443211zxyxyxyyxyx，当且仅当2xy时，取等号所以xyz的最大值为1，且2xy，此时22zxyy，412xyz=2221131yyyyy，令t=1y，则224123993244tttxyz，故选：C【点睛】考查了均值不等式的应用，一元二次函数求最值，换元法等，中档题二、填空题（本大题共6 小题）13.等比数列na中，nS为其前n项和，若3 2nnSa，则a_【答案】-3【解析】【分析】先分别求出a1，a2，a3，再由a1，a2，a3是等比数列，能求出a的值【详解】解：等比数列na中，nS为其前n项和，3 2nnSa，116aSa，2216aSS，33212aSS，123,a a a是等比数列，2213aa a，26612a，解得3a故答案为：3【点睛】本题考查实数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14.已知p：4xa，q：2560 xx，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为 _【答案】1,6【解析】【分析】分别解出p，q的x的范围，利用q是p的充分而不必要条件，即可得出答案【详解】p：4xa，解得44axaq：2560 xx，解得23xq是p的充分而不必要条件，4234aa，解得16a，等号不同时成立a的取值范围为16，故答案为：16，【点睛】本题考查了不等式的解法、充分不必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，解题的关键是掌握两个命题之间的关系15.设数列 an 的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_【答案】(1).1 (2).121【解析】试题分析：1221124,211,3aaaaaa，再由111121,21(2)23(2)nnnnnnnnnaSaSnaaaaan，又213aa，所以515133(1),121.13nnaanS【考点】等比数列的定义，等比数列的前n项和【易错点睛】由121nnaS转化为13nnaa的过程中，一定要检验当1n时是否满足13nnaa，否则很容易出现错误.【此处有视频，请去附件查看】16.等比数列na中，如果346781a a a a，则19a a的值为 _【答案】9【解析】【分析】利用等比数列的通项公式的性质求解【详解】解：等比数列na中，346781a a a a，234671981a a a aa a，2195a aa，199a a故答案为：9【点睛】本题考查等比数列的两项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用17.已知数列na满足1133,2,nnaaan则nan的最小值为 _.【答案】212【解析】【分析】先利用累加法求出an33+n2n，所以331nannn，设f（n）331nn，由此能导出n5 或 6 时f（n）有最小值借此能得到nan的最小值【详解】解：an+1an2n，当n2 时，an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a121+2+（n 1）+33 n2n+33 且对n1 也适合，所以ann2n+33从而331nannn设f（n）331nn，令f（n）23310n，则f（n）在33，上是单调递增，在033，上是递减的，因为nN+，所以当n5 或 6 时f（n）有最小值又因为55355a，66321662a，所以nan的最小值为62162a故答案为：212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性18.下列命题中：若a2+b2=2，则a+b的最大值为2；当a0，b0 时，1124abab；函数2254xyx的最小值为2；当且仅当a，b均为正数时，2abba恒成立其中是真命题的是_（填上所有真命题的序号）【答案】【解析】【分析】222ab，设2cosa，2sinb，进而利用三角函数求解；均可利用基本不等式求解；【详解】解：222ab，设2 cosa，2sinb，则2 sin2sin2cos4ab，所以正确；当a0，b0 时，11ab+2ab2ab+2ab222abab=4，当且仅当a=b=1 时等号成立，所以正确；函数2254xyx=22414xx=24x+214x222144xx=2，当且仅当241x，即230 x时等号成立，故不正确；当且仅当,a b同号时，0ab，0ba，22aba bbab a恒成立，所以,a b可以同时为负，故不正确；故答案为：【点睛】考查基本不等式的“一正，二定，三相等”，及三角函数在求最值时的应用，属于中档题；三、解答题（本大题共2 小题）19.已知na为各项均为正数的等比数列，11a，5256a；nS为等差数列nb的前n项和，12b，5852SS（1）求na和nb的通项公式；（2）设1 122nnnTa ba ba b，求nT【答案】(1)an=4n-1bn=3n-1(2)Tn=（n-23）4n+23【解析】【分析】（1）直接利用a1=1，a5=256 求出公比即可求出an的通项公式；把5S5=2S8转化为用首项和公差来写求出公差即可求 bn的通项公式；（2）直接利用（1）的结论对数列an?bn用错位相减法求和即可求Tn【详解】解：（1）设na的公比为q，由451256aa q得4q，因为各项均为正数，所以4q，所以14nna设nb的公差为d，由5852SS得115 5102 828bdbd，1332322db，所以1131nbbndn（2）1 122nnnTa ba ba b0121245 484314nnTn1234245 484314nnTn-得：1231323 4444314nnnTn1324 14314nnnTn32324nnTn22433nnTn【点睛】本题的第二问考查了数列求和的错位相减法错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列20.已知函数2,fxxaxb a bR（1）当2231baa时，解关于x的不等式0fx；（2）若正数a，b满足43ab，且对于任意的1,x，0fx恒成立，求实数a，b的值【答案】(1)答案不唯一见解析；(2)a，b的值分别为1，2【解析】【分析】（1）由条件可得1210 xaxa，然后分23a，23a和23a三种情况解出不等式即可；（2）根据条件利用基本不等式可得43ab，又43ab，从而得到4ab=3且a=1，进一步求出b的值【详解】解：（1）当2231baa时，不等式0fx，即1210 xaxa当23a时，不等式的解集为1,12aa；当23a时，不等式的解集为13；当23a时，不等式的解集为12,1a a（2）由0fx对于任意1,x恒成立，可得1ba4ab41aa=4111aa421131aa，当且仅当411aa，即a=1 时取等号，又43ab，4ab=3 且a=1，b=2a，b的值分别为1，2【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题
