广东省云浮市新兴县第一中学2020届高三上学期期末教学质量检测试题数学(理)【含答案】.pdf
广东省云浮市新兴县第一中学2020 届高三上学期期末教学质量检测试题数学（理）一、选择题：共12 题，每题5 分，共 60 分在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1现有 10 个数，它们能构成一个以1 为首项，3为公比的等比数列，若从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是 A710 B35 C12 D252在平行四边形ABCD中，)2,4(),2,1(ADAB，则该四边形的面积为A5B52C 5 D 10 3设实数yx,满足1111yxyx，则yx2的最大值和最小值分别为A1，1 B2，2 C1，2 D2，14设na是公比不为 1 的等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为,X Y Z，则下列等式中恒成立的是A2XZY BY YXZ ZXC2YXZ DY YXX ZX5已知双曲线22221(0,0)xyabab的左顶点与抛物线22(0)ypx p的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)，则双曲线的焦距为A2 3B2 5C3D56若|1,|1Px xQx x，则APQ BQP CRC PQ DRQC P7设i是虚数单位，复数aii为纯虚数，则实数a为A2 B2 C D8已知函数f(x)xaxx212，若4)0(ff，则 log6aA12 B2 C1 D6 9命题p：数列na既是等差数列又是等比数列，命题q：数列na是常数列，则p是q的A充分不必要条件B必要不充分条件 C 充分必要条件D既不充分又不必要条件10函数2xbfxxc的图象如图所示，则下列结论成立的是A0b，0c B0b，0cC0b，0c D0b，0c11已知函数()f x=22,0ln(1),0 xx xxx，若|()|f xax，则a的取值范围是A(,0B(,1C 2,1 D 2,0 12三棱锥PABC中，PA平面ABC，30ABC，APC的面积为2，则三棱锥PABC的外接球体积的最小值为A83 B163 C323 D643二、填空题：共4 题，每题5 分，满分共20 分，把答案填在答题卷的横线上13曲线(3ln1)yxx在点(1,1)处的切线方程为_14已知na为等差数列，nS为其前n项和若112a，23Sa，则7S=.15函数xxycos4sin3在x处取得最大值，则sin16已知圆22:1O xy和点(2,0)A，若定点(,0)B b(2)b和常数满足：对圆O 上任意一点M，都有|MBMA，则 .三、解答题：第17 21题为必做题，每题满分各为12分，第22 23题为选做题，只能选做一题，满分10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分12 分)设ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且43cosBa3sin Ab（1）求边长a的值；（2）若ABC的面积10S，求ABC的周长L18(本小题满分12 分)如图，直三棱柱111ABCA BC 中，,D E分别是1,AB BB的中点，.2221ABCBACAA（1）证明：1BC/平面1ACD；（2）求二面角1DACE 的余弦值19(本小题满分12 分)已知函数()lnf xxax(Ra).（1）当a 0 时，求f(x)的单调区间；（2）讨论函数f(x)的零点个数.20(本小题满分12 分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为 4，且过点)2,2(P（1）求椭圆C的方程；（2）设0000(,)(0)Q xyx y为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E取点(0,22)A，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由21(本小题满分12 分)心理学研究表明，人极易受情绪的影响某选手参加7 局 4 胜制的乒乓球比赛（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为31；但实际上，如果前一局获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到21；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为41.求该选手在前3局获胜局数X的分布列及数学期望；（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sinA、sinB、sinC，记A、B、C为锐角ABC的内角，求证：sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC选做题：请考生在下面两题中任选一题作答22(本小题满分10 分)选修 4 4：极坐标与参数方程已 知 动 点P，Q都 在 曲 线C：2cos2sinxy为参数上，且 对 应 参 数 值 分 别 为与2（02），点M为PQ的中点（1）求点M的轨迹的参数方程（用作参数）；（2）将点M到坐标原点)0,0(O的距离d表示为的函数，并判断点M的轨迹是否过坐标原点)0,0(O.23(本小题满分10 分)选修 4 5：不等式选讲设函数fx=1(0)xxa aa（1）证明：fx2；（2）若35f，求实数a的取值范围一、选择题：本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B D B D B D A C A C D C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分1343yx；1414；1553；16121|1Px x|1RC Px x，又|1Qx x，RQC P，故选 D2设12aibii()bR，则1(2)2aibiibbi，所以1b，2a31)0(f，4211)1()0(afff，解得6a.于是，1log6a4显然只能是非零常数列才是等比数列，故必要性不成立故选A 52)()(cxbxxf的图象与y轴交于M，且点M的纵坐标为正，20byc，故0b，又函数图象间断的横坐标为正，0c，故0cxy-22O6由题意得1(3)nna，易知前10 项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8 的项为第一项和偶数项，共 6 项，即 6 个数，所以63105P7因为022)4(1ADAB，所以ADAB，所以平行四边形ABCD 是矩形，所以面积为102)4(212222ADAB.8如图先画出不等式1111yxyx表示的平面区域，易知当0 x，1y时，2xy取得最大值2，当0,1xy时，2xy取得最小值29取等比数列1,2,4，令1n，得1X，3Y，7Z，代入验算，只有D满足。10双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线为byxa，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1）得22p，即4p，又42pa，2a，将（2，1）代入byxa得1b，225cab，即22 5c11|()f x|=22,0ln(1),0 xx xxx，由|()f x|ax得，202xxxax且0ln(1)xxax，由202xxxax可得2ax，则a-2，排除 A，B，当a=1时，易证ln(1)xx对0 x恒成立，故a=1 不适合，排除C，故选 D12如图所示，设ACx，由APC的面积为2，得4PAx，因为30ABC，ABC外接圆的半径rx，因为PA平面ABC，且4PAx，所以O到平面ABC的距离为122dPAx，设球O的半径为R，则22224222Rrdxx，当且仅当2x时等号成立，所以三棱锥PABC的外接球的体积的最小值为3432234，故选 C.133ln4yx，切线斜率为4，则切线方程为：43yx。14设公差为d,则1122adad,把112a代入得12d，nS=1(1)4n n，故714S15.)sin(5)cos54sin53(5cos4sin3xxxxxy，其中54sin,53cos依题意可得5)sin(5，即1)sin(，Zkk,22所以53cos)22sin(sink16设,Mx y，则22221,1xyyx，2222222222222251|()21122|(2)44154254bbMBxbyxbxbxbbxbMAxyxxxxx，为常数，25102bb，解得12b或2b（舍去），2124b解得12或12（舍去）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答17(本小题满分12 分)解：（1）在ABC中，由3sin43cosAbBa，得43sincosAbBa，且0cosB 1 分即43sinsincossinABBA，即BBcos34sin 3 分代入1cossin22BB，得1coscos91622BB解得53cosB，54sin B 5 分所以5353aa 6 分（2）由（1）及10sin21BacS得5c 8 分由余弦定理得205355225252b所以52b 10 分所以ABC的周长5210L 12 分18(本小题满分12 分)证明：（1）连结1AC，交1AC于点 O，连结DO，则O为1AC的中点，1 分因为D为AB的中点，所以1/DOBC，2 分又因为DO平面1ACD，1BC平面1ACD，所以1BC/平面1ACD；4 分（2）由122AAACCBAB2，可得：2AB，即222ABBCAC所以ACBC，5 分又因为111ABCABC直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、1CC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，6 分zxyFEDCBAA1B1C1则(0,0,0)C、)2,0,2(1A、)0,22,22(D、)22,2,0(E，)2,0,2(1CA，)0,22,22(CD，)22,2,0(CE，8 分设平面1ACD的法向量为(,)nx y z，则0n CD且10n CA，可解得yxz，令1x，得平面1ACD的一个法向量为(1,1,1)n，9 分同理可得平面1ACE的一个法向量为(2,1,2)m，10 分则cos,n m33 11 分所以二面角1DACE的余弦值为33 12 分19(本小题满分12 分)解：（1）()lnf xxax，(0,)x，1 分故()1axafxxx，2 分0a(0,)xa时，()0fx，故()f x单调递减，3 分(,)xa时，()0fx，故()f x单调递增，4 分所以，0a时，()f x的单调递减区间是(0,)a，单调递增区间是(,)a.5 分（2）由（1）知，当0a时，)(xf在ax处取最小值()ln(1ln)f aaaaaa，6 分当ea0时，0)ln1(aa，)(xf在其定义域内无零点；7 分当ea时，0)ln1(aa，)(xf在其定义域内恰有一个零点；8 分当ea时，最小值0)ln1()(aaaf，因为01)1(f，且)(xf在),0(a单调递减，故函数)(xf在),0(a上有一个零点，因为ea，aaea2，0ln)(2aeeaeefaaaa，又()f x在(,)a上单调递增，故函数)(xf在),(a上有一个零点，故)(xf在其定义域内有两个零点；9 分当0a时，xxf)(在定义域),0(内无零点；10 分当0a时，令0)(xf，可得xaxln，分别画出xy与xayln，易得它们的图象有唯一交点，即此时)(xf在其定义域内恰有一个零点.11 分综上，ea0时，)(xf在其定义域内无零点；ea或0a时，)(xf在其定义域内恰有一个零点；ea时，)(xf在其定义域内有两个零点；12 分 20(本小题满分12 分)解：（1）因为焦距为4，所224ab，又因为椭圆C过点)2,2(P，所以12422ba，故28a，24b，从而椭圆C的方程为22184xy 4 分（2）由题意，E点坐标为0(,0)x，设(,0)DD x，则0,2 2AEx，0,2 2ADx，再由ADAE知，0AEAD?，即080Dx x 5 分由于000 x y，故08Dxx因为点G是点 D关于 y 轴的对称点，所以点08(,0)Gx故直线QG的斜率000200088QGyx ykxxx 6 分又因00,Q xy在椭圆 C上，所以220028xy从而02QGnxky，故直线QG的方程为00082xyxyx 8 分将代入椭圆C方程，得：222200021664160nxyxx xy 10 分再将代入，化简得：220020 xx xx解得00,xxyy，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点 12 分21(本小题满分12 分)解：（1）依题意，可知X可取：0,1,2,3，1 分2119(0)(1)(1)3424P X1111111118(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)32434234424P X1111111115(2)(1)(1)(1)32232434224P X1112(3)(2)32224P XP X 5 分随机变量X的分布列为：X0123P9248245242247 分9852()0123124242424E X。8 分（2）方法一：ABC是锐角三角形，0sin1A，0sin1B，0sin1C，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：(1)sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinP XABCABACBCABC11 分由概率的定义可知：(1)1P X，故有：sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC。12 分方法二：sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC(sin1)(sin1)(sin1)ABC10 分ABC是锐角三角形，0sin1A，0sin1B，0sin1C，故sin10A，sin10B，sin10C，(sin1)(sin1)(sin1)0ABC，sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC 12 分22(本小题满分10 分)解：（1）由题意有2cos,2sin,2cos2,2sin 2,PQ 2 分因此，coscos2,sinsin2M 4 分M的轨迹的参数方程为coscos2,sinsin 2,xy（02）5 分（2）M点到坐标原点的距离：22dxy22(coscos2)(sinsin2)6 分2coscos2sinsin2 7 分22cos（02）9分当时，0d，故M的轨迹过坐标原点 10 分23(本小题满分10 分)解（1）由0a，有()f x111()2xxaxxaaaaa 4 分所以()f x2.5 分（2）1(3)33faa.当时a3 时，(3)f=1aa，由(3)f 5 得 3a5212 7 分当 0a 3 时，(3)f=16aa，由(3)f5 得152a3 9 分综上，a的取值范围是（152，5212）10 分
