江苏省苏北四市2020届高三上学期期末考试试题数学【含答案】.pdf

江苏省苏北四市2020 届高三上学期期末考试试题数学一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分1.已知集合A x|0 x2，Bx|1x1)，则 AB _2.已知复数z 满足 z2 4，且 z 的虚部小于0，则 z_3.若一组数据7，x，6，8，8 的平均数为7，则该组数据的方差是_4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_S0I 1 While I6 I I 1 SS I End While Print S 5.函数 f(x)log2x2的定义域为 _6.某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3 名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为_7.若关于 x 的不等式x2mx3b0)的右顶点为A，过点 A 作直线 l 与圆 O：x2y2b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q.设直线 l 的斜率为k.(1)用 k 表示椭圆 C的离心率；(2)若OPOQ0，求椭圆 C的离心率19.(本小题满分16 分)已知函数f(x)(a 12)ln x(aR)(1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为xy10，求 a 的值；(2)若 f(x)的导函数f(x)存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；(3)当 a2 时，是否存在整数，使得关于x 的不等式f(x)恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由20.(本小题满分16 分)已知数列 an 的首项 a13，对任意的n N*，都有 an1kan1(k 0)，数列 an1是公比不为1 的等比数列(1)求实数 k 的值；(2)设 bn4n，n为奇数，an1，n为偶数，数列 bn的前 n 项和为 Sn，求所有正整数m的值，使得S2mS2m 1恰好为数列bn 中的项21.【选做题】在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题10 分，共 20 分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A.(选修 42：矩阵与变换)已知矩阵M23t1的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M1.B.(选修 44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin)12，曲线 C 的参数方程为x23cos，y2sin(为参数，R)在曲线C上求点 M，使点 M到 l 的距离最小，并求出最小值C.(选修 45：不等式选讲)已知正数x，y，z 满足 xyz1，求1x2y1y2z1z 2x的最小值【必做题】第 22，23 题，每小题10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B 为正方形，侧面BB1C1C 为菱形，BB1C1 60，平面AA1B1B平面 BB1C1C.(1)求直线 AC1与平面 AA1B1B所成角的正弦值；(2)求二面角BAC1C的余弦值23.已知 n 为给定的正整数，设(23x)na0a1xa2x2 anxn，xR.(1)若 n4，求 a0，a1的值；(2)若 x13，求nk0(n k)akxk的值1.x|1x2 2.2i 3.454.20 5.4，)6.127.4 8.149.135 10.3211.(x2)2y28 12.3 13.4714.3415.证明：(1)在PBC中，因为点M，N分别为棱PB，PC的中点，所以MN BC.(3 分)又 MN?平面 AMN，BC?平面 AMN，所以 BC 平面 AMN.(6 分)(2)在PAB中，因为 AP AB，点 M为棱 PB的中点，所以AM PB.(8 分)因为平面PAB 平面 PBC，平面 PAB 平面 PBC PB，AM?平面 PAB，所以 AM 平面 PBC.(12 分)又 AM?平面 AMN，所以平面AMN 平面 PBC.(14 分)16.解：(1)在ABC中，由余弦定理b2c22bccos A a2，得b22022555b25，即 b24b50，(4 分)解得 b5 或 b 1(舍)，所以 b5.(6分)(2)由 cos A 55及 0A，得 sin A 1cos2A1（55）2255，(8 分)所以 cos C cos (AB)cos(A 4)22(cos A sin A)1010.因为 0C，所以sin C 1cos2C1（1010）231010，从而 tan C sin Ccos C3101010103，(12 分)所以 tan 2C 2tan C1tan2C2313234.(14分)17.解：(1)在SAO中，SO SA2AO252324.(2 分)由SNO1 SAO可知SO1SOrR，所以 SO143r，(4 分)所以 OO1443r，所以 V(r)13r2(443r)49(3r2r3)，0r3.(7分)(2)由(1)得 V(r)49(3r2r3)，0r0，所以 V(r)在(0，2)上单调递增；当 r(2，3)时，V(r)0，所以 g(x)单调递增，至多有一个零点(4 分)当 a0，g(x)单调递增；当 x(1a，)时，g(x)0，解得 e 2a0.(7分)因为 e 2ae21.因为 g(1)a10，所以 g(x)在(0，1a)上存在一个零点(8 分)因为 e 2a1a.因为 g(1a)2)ln(1a)21a1，设 t1a，则 y 2ln tt 1(te2)因为 y2tte2)单调递减，所以 y2ln(e2)e2 13e20，所以 g(1a)2)ln(1a)21a10，所以 g(x)单调递增，且 g(12)ln120，所以存在x0(12，1)使得 g(x0)0.(12 分)因为当 x(0，x0)时，g(x)0，即 f(x)0，即 f(x)0，所以f(x)单调递增，所以 xx0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时 f(x0)(2 1x0)ln x0(2 1x0)(1 2x0)(4x01x0)4.(14分)因为 x0(12，1)，所以 f(x0)(1，0)因为 f(x)，且 为整数，所以 1，即 的最大值为 1.(16 分)20.解：(1)由 an 1kan1，a1 3可知，a23k1，a33k2k1.因为 an1 为等比数列，所以(a21)2(a11)(a3 1)，即(3k 2)22(3k2k2)，即 3k210k80，解得 k2 或 k43.(2分)当 k43时，an1343(an3)，所以 an3，则 an1 2，所以数列 an1的公比为1，不符合题意；当 k2 时，an112(an1)，所以数列 an 1 的公比 qan11an 12，所以实数k 的值为 2.(4分)(2)由(1)知 an12n，所以 bn4n，n 为奇数，2n，n 为偶数，则 S2m(41)4(4 3)42 4(2m1)4m(4 1)(4 3)4(2m1)442 4mm(4m)4m 143，(6 分)则 S2m 1 S2mb2mm(4m)4m43.因为 b2mb2m132m 4m，又(b2m 2b2m 3)(b2mb2m1)34m20，且 b2b350，b130，所以 S2m 10，则 S2m0.设S2mS2m 1bt0，t N*，(8 分)则 t 1，3 或 t 为偶数，因为b31 不可能，所以t 1 或 t 为偶数当S2mS2m 1b1时，m（4m）4m 143m（4m）4m 433，化简得6m224m 8 4m 4，即 m24m 20，所以m可能取值为1，2，3，验证S2S173，S4S33，S6S58723，得当 m 2 时，S4S3 b1成立(12 分)当 t 为偶数时，S2mS2m 1m（4m）4m 1 43m（4m）4m43133m212m 44m1，设 cm3m212m 44m，则 cm 1cm9m242m 214m 1.由知 m3，当 m 4 时，c5c43454时，cm 1 cm0，所以 c4c5c6，所以cm的最小值为c5191 024，所以 0S2mS2m 113191 02415.令S2mS2m 14b2，则 133m212m 44m 14，即 3m212m 40，无整数解综上，正整数m的值 2.(16 分)21.A.解：矩阵M的特征多项式为f()2 3 t 1(2)(1)3t.(2分)因为矩阵M的一个特征值为4，所以 f(4)63t 0，所以 t 2.(5分)所以M2321，所以M11213232132221322213214341212.(10分)B.解：由 l：cos sin 120，及 x cos，y sin，所以 l 的直角坐标方程为x y12 0.(2分)在曲线 C上取点 M(23cos，2sin)，则点 M到 l 的距离d|23cos 2sin 12|24sin（3）122124sin（3）2，(6 分)当 6时，d 取最小值42，(8 分)此时点 M的坐标为(3，1)(10 分)C.解：因为x，y，z 都为正数，且xyz1，所以由柯西不等式，得3(1x 2y1y2z1z 2x)(1x2y1y2z1z2x)(x 2y)(y 2z)(z 2x)(5分)(1x2yx2y1y2zy2z1z 2xz2x)29，当且仅当x yz13时等号成立，所以1x2y1y2z1z2x的最小值为3.(10 分)22.解：(1)因为四边形AA1B1B为正方形，所以AB BB1.因为平面AA1B1B平面 BB1C1C，平面 AA1B1B平面 BB1C1CBB1，AB?平面 AA1B1B，所以 AB 平面 BB1C1C.(2分)以点 B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y 轴，以过点B 且垂直于平面AA1B1B的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.不妨设正方形AA1B1B的边长为2，则 A(2，0，0)，B1(0，2，0)在菱形 BB1C1C中，因为 BB1C160，所以 C1(0，1，3)，所以 AC1(2，1，3)因为平面AA1B1B的一个法向量为n(0，0，1)，设直线 AC1与平面 AA1B1B所成角为，则 sin|cos AC1，n|3|22164，即直线 AC1与平面 AA1B1B所成角的正弦值为64.(6 分)(2)由(1)可知，C(0，1，3)，所以 CC1(0，2，0)设平面 ACC1的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，因为n1AC1 0，n1CC1 0，即（x1，y1，z1）（2，1，3）0，（x1，y1，z1）（0，2，0）0，取 x132，y10，z11，即n1(32，0，1)设平面 ABC1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，因为 BA(2，0，0)，BC1(0，1,3)，所以（x2，y2，z2）（2，0，0）0，（x2，y2，z2）（0，1，3）0，取n2(0，3，1)(8 分)设二面角BAC1C的平面角为，则 cos cosn1，n2n1n2|n1|n2|13413177，所以二面角BAC1C的余弦值为77.(10分)23.解：(1)因为 n4，所以 a0C04(23)41681，a1C14(23)33227.(2 分)(2)当 x13时，akxkCkn(23)nk(13)k，因为 kCknkn！k！（nk）！n（n 1）！（k1）！（nk）！nCk 1n 1，(4 分)n 13n(2313)n123n，当 n 1 时，也符合所以(n k)akxk的值为23n.(10 分)