江苏省连云港市2019-2020年下学期高一数学期末试卷【含答案】.pdf

江苏省连云港市2019-2020年下学期高一数学期末试卷20207一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）122cossin88A24B24C22D222不等式28x的解集是A(2 2，2 2)B(，2 2)(22，)C(4 2，4 2)D(，4 2)(42，)3若从甲，乙，丙，丁4 位同学中选出3 名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是A14B13C23D344某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35 岁的 80 名教师按年龄分组，分组区间为35，40)，40，45)，45，50)，50，55)，55，60，由此得到频率分布直方图如图，则这80 名教师中年龄小于45岁的人数有第 4 题A45 B 46 C48 D 505过圆 x2 y25 上一点 M(1，2)作圆的切线l，则 l 的方程是A230 xyB250 xyC250 xyD250 xy6两条平行直线6x4y 50 与 y32x 的距离是A1313B1326C5 1313D5 13267如图，在三棱锥SABC 中，SB SCAB AC BC4，SA2 3，则异面直线SB 与 AC 所成角的余弦值是A18B18C14D14第 7 题8圆222220 xyxy的圆心为C，直线 l 过点(0，3)且与圆 C 交于 A，B 两点，若 ABC 的面积为3，则满足条件的直线l 的条数为A1 B 2 C3 D 4二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9在 4 件产品中，有一等品2 件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品 1 件，现从中任取2 件，则下列说法正确的是A两件都是一等品的概率是13B两件中有1 件是次品的概率是12C两件都是正品的概率是13D两件中至少有1 件是一等品的概率是5610关于异面直线a，b，下列四个命题正确的有A过直线a 有且仅有一个平面，使 bB过直线a有且仅有一个平面，使 bC在空间存在平面，使 a，bD在空间不存在平面，使 a，b11正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN 的最小值为31，则A正方体的外接球的表面积为12B正方体的内切球的体积为3C正方体的棱长为1 D线段 MN 的最大值为3112 瑞士著名数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作ABC，AB AC 4，点 B(1，3)，点 C(4，2)，且其“欧拉线”与圆M：222(3)xyr相切，则下列结论正确的是A圆 M 上点到直线xy30 的最小距离为2 2B圆 M 上点到直线xy30 的最大距离为3 2C若点(x，y)在圆 M 上，则 x3y 的最小值是322D圆22(1)()8xaya与圆 M 有公共点，则 a 取值范围是 12 2，12 2三、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共计20 分其中第16 题共有 2 空，第一个空 2 分，第二个空3 分；其余题均为一空，每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上）13已知两点A(3，2)，B(8，12)，则直线AB 的一般式方程为14用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为3，则半圆形纸片的半径为15设 cosxt，用 t 的代数式表示cos2x，用 t 的代数式表示cos3x16在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足a2(bc)2 S，bc2，则 S的最大值是四、解答题（本大题共6 小题，共计70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 A60，b 1，SABC3（1）求 c 的值；（2）求 sinC 的值18（本小题满分12 分）已知 tan()13，tan 2（1）求 tan；（2）求 sin219（本小题满分12 分）已知函数2()(3)2f xaxax（其中 aR）（1）当 a 1 时，解关于x 的不等式()0f x；（2）若()1f x的解集为R，求实数a 的取值范围20（本小题满分12 分）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E 为棱 DD1的中点，求证：（1）BD1平面 EAC；（2）平面 EAC平面 AB1C21（本小题满分12 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆 C：x2y24x2aya20（1）若圆 C 与 x 轴相切，求实数a 的值；（2）若 M，N 为圆 C 上不同的两点，过点M，N 分别作圆C 的切线 l1，l2，若 l1与 l2相交于点P，圆 C 上异于 M，N 另有一点Q，满足 MQN 60，若直线l：xy6 0 上存在唯一的一个点T，使得TP2OC，求实数 a 的值22（本小题满分12 分）已知梯形 ABCD 中，AB1，A60，ABC 90，CBD 45，如图（1）所示现将 ABC 沿边 BC 翻折至 ABC，记二面角A BCD 的大小为（1）当90 时，如图（2）所示，过点B 作平面与AD垂直，分别交AC，AD 于点 E，F，求点 E 到平面 ABF 的距离；（2）当30 时，如图（3）所示，求二面角A CDB 的正切值答案一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）122cossin88A24B24C22D22答案：C考点：二倍角的余弦公式解析：222cossincos(2)8882，故选 C2不等式28x的解集是A(2 2，2 2)B(，2 2)(22，)C(4 2，4 2)D(，4 2)(42，)答案：B考点：一元二次不等式解析：28x，2 2x或2 2x，故选 B3若从甲，乙，丙，丁4 位同学中选出3 名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是A14B13C23D34答案：D考点：古典概型解析：P34，故选 D4某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35 岁的 80 名教师按年龄分组，分组区间为35，40)，40，45)，45，50)，50，55)，55，60，由此得到频率分布直方图如图，则这80 名教师中年龄小于45岁的人数有第 4 题A45 B 46 C48 D 50答案：C考点：频率分布直方图解析：(0.0800.040)5 8048，故选 C5过圆 x2 y25 上一点 M(1，2)作圆的切线l，则 l 的方程是A230 xyB250 xyC250 xyD250 xy答案：B考点：圆的切线方程解析：根据切线方程公式可得切线方程为25xy，即250 xy，故选 B6两条平行直线6x4y 50 与 y32x 的距离是A1313B1326C5 1313D5 1326答案：D考点：两平行直线间的距离公式解析：根据两平行间的距离公式可得2255 13266(4)d，故选 D7如图，在三棱锥SABC 中，SB SCAB AC BC4，SA2 3，则异面直线SB 与 AC 所成角的余弦值是A18B18C14D14第 7 题答案：A考点：异面直线所成的角解析：取 AB、BC、SC、SA 的中点分别为D、E、F、G，则 EFG 就是异面直线SB 与 AC 所成的角或补角，首先可判断出三角形SAE 是等边三角形，求得三角形SAE 高 EG3，FGFE2，所以4491cosEFG2228，故异面直线SB 与 AC 所成角的余弦值是18，故选 A8圆222220 xyxy的圆心为C，直线 l 过点(0，3)且与圆 C 交于 A，B 两点，若 ABC 的面积为3，则满足条件的直线l 的条数为A1 B 2 C3 D 4答案：D考点：直线与圆相交解析：圆222220 xyxy化为标准方程为22(1)(1)4xy，则1CA CB cosACB2sinACB32，ACB 60或 120，故圆心到直线AB 的距离为1 或3，当 l 斜率不存在时，符合题意，当 l 斜率为 k 时，设直线为3ykx，221kdk1 或3，解得 k34，或612，综上所述，共有4 条，故选 D二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9在 4 件产品中，有一等品2 件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品 1 件，现从中任取2 件，则下列说法正确的是A两件都是一等品的概率是13B两件中有1 件是次品的概率是12C两件都是正品的概率是13D两件中至少有1 件是一等品的概率是56答案：BD考点：几何概型解析：两件都是一等品的概率16，故 A 错误；两件中有1 件是次品的概率为12，故 B 正确；两件都是正品的概率是12，故 C 错误；两件中至少有1 件是一等品的概率是56，故D 正确故选BD10关于异面直线a，b，下列四个命题正确的有A过直线a 有且仅有一个平面，使 bB过直线a有且仅有一个平面，使 bC在空间存在平面，使 a，bD在空间不存在平面，使 a，b答案：BCD考点：空间中的位置关系解析：当直线ab，过直线a 有无数个平面，能使 b，故 A 错误；异面直线a，b，过直线a 有且仅有一个平面，使 b，故 B 正确；异面直线a，b，在空间存在平面，使 a，b，故 C 正确；如果 a，b，则 ab，即直线 a，b 共面，反之异面直线a，b，在空间不存在平面，使 a，b故 D 正确故选BCD 11正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN 的最小值为31，则A正方体的外接球的表面积为12B正方体的内切球的体积为3C正方体的棱长为1 D线段 MN 的最大值为31答案：AD考点：正方体的外接球与内切球解析：设正方体棱长为a，则313 122aa，解得 a2，正方体外接球半径为3，内切球半径为1，正方体外接球表面积为24(3)12，故 A 正确；内切球体积为3441=33，故 B 错误；正方体的棱长为2，故 C 错误；线段 MN 的最大值为31，故 D 正确故选AD 12 瑞士著名数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作ABC，AB AC 4，点 B(1，3)，点 C(4，2)，且其“欧拉线”与圆M：222(3)xyr相切，则下列结论正确的是A圆 M 上点到直线xy30 的最小距离为2 2B圆 M 上点到直线xy30 的最大距离为3 2C若点(x，y)在圆 M 上，则 x3y 的最小值是322D圆22(1)()8xaya与圆 M 有公共点，则 a 取值范围是 12 2，12 2答案：ACD考点：与圆有关的位置关系解析：取 BC 中点 D(32，12)，515BCk，1ADk，故直线AD 为 xy10，故222rd，求得圆心M 到直线 xy30 的距离为3 2，故圆 M 上点到直线xy30 的最小距离为22，最大距离为4 2，所以A 正确，B 错误；设32 cosx，2siny，则332 cos6sinxy32 2sin()6，则 x3y 的最小值是32 2，故 C 正确；222(2)3 2aa，解得122122a，故 D 正确故选ACD 三、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共计20 分其中第16 题共有 2 空，第一个空 2 分，第二个空3 分；其余题均为一空，每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上）13已知两点A(3，2)，B(8，12)，则直线AB 的一般式方程为答案：240 xy考点：直线的两点式、一般式解析：231228 3yx，化为一般式为240 xy14用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为3，则半圆形纸片的半径为答案：2考点：圆锥的侧面展开图解析：半圆形纸片做成的圆锥，母线是底面半径的2 倍，由于圆锥筒的高为3，故半圆形纸片的半径为215设 cosxt，用 t 的代数式表示cos2x，用 t 的代数式表示cos3x答案：221t，343tt考点：三角恒等变换解析：22cos22cos121xxt，2223cos3cos2 cos2sincos(21)2(1)43xxxxxtttttt16在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足a2(bc)2 S，bc2，则 S的最大值是答案：417考点：余弦定理，解三角形解析：22221()sin2cos2abcbcAbcbcA，化简得sin4cos4AA，又22sincos1AA，解得cos1A（舍），或15cos17A，则8sin17A，211844sin(2)(1)22171717SbcAbbb，当 b1 时，S有最大值为417四、解答题（本大题共6 小题，共计70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 A60，b 1，SABC3（1）求 c 的值；（2）求 sinC 的值解：（1）在ABC中，1sin32ABCSbcA，所以13322b c，所以4c；（2）在ABC中，由余弦定理得：2222cosabcbcA所以221142 14132a，所以13a，在ABC中，由正弦定理得：sinsinacAC，所以sin2 39sin13cACa18（本小题满分12 分）已知 tan()13，tan 2（1）求 tan；（2）求 sin2解：（1）tan()tantan=tan()1tan()tan，因为1tan()3，tan2，所以tan=7（2）2222sincos2tansin 22sincossincostan1，因为tan2，所以4sin2519（本小题满分12 分）已知函数2()(3)2f xaxax（其中 aR）（1）当 a 1 时，解关于x 的不等式()0f x；（2）若()1f x的解集为R，求实数a 的取值范围解：（1）当1a时，由()0f x得，2420 xx，所以2420 xx，所以不等式的解集为(62)(62)，；（2）因为()1f x 解集为R，所以2(3)21axax在R恒成立，当0a时，得321x，不合题意；当0a时，由2(3)30axax在R恒成立，得20(3)120aaa，所以96 296 2a20（本小题满分12 分）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E 为棱 DD1的中点，求证：（1）BD1平面 EAC；（2）平面 EAC平面 AB1C证明：（1）连接 BD 交 AC 与 O，连接 OE，因为 O 是 BD 中点，E是棱1DD的中点，所以 OE BD1，又 BD1平面EAC，OE?平面EAC，所以1BD平面EAC；（2）方法一：连接11BOB E，,设正方体边长为1 在 AEC中,EAEC,O是AC中 点，得OEAC,同 理1OBAC,故1EOB为1EACB所成二面角的平面角,在1EOB中,32OE,162B O,132B E得22211OEB EBO故1=90EOB故平面EAC平面1ABC法二：连接1AB,在正方体1111ABCDA BC D中，A1B1B1D1ABCDEO11A D面11ABB A，1AB面11ABB A,得11A D1AB11ABBA是正方形，得1A B1AB,又1111A BA DA,得1AB面11A BD,1BD面11A BD,故1AB1BDOE1BD得1OEAB，在AEC中,EAEC,O是AC中点，得OEAC又1ABACA,得OE面1ABC，OE平面EAC故平面EAC平面1ABC.21（本小题满分12 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆 C：x2y24x2aya20（1）若圆 C 与 x 轴相切，求实数a 的值；（2）若 M，N 为圆 C 上不同的两点，过点M，N 分别作圆C 的切线 l1，l2，若 l1与 l2相交于点P，圆 C 上异于 M，N 另有一点Q，满足 MQN 60，若直线l：xy6 0 上存在唯一的一个点T，使得TP2OC，求实数 a 的值解：（1）圆C的方程可以化为：22(2)()4xya，所以圆心(2)Ca，半径为2,因为圆C与x轴相切，所以|2a，所以2a（2）因为点MN，在圆C上，且60MQN，所以120MCN，因为PMPN，分别是圆C的切线，所以4PC，即点P在以C为圆心，4为半径的圆上，所以点P的轨迹方程为22(2)()16xya，设00()T xy，()P mn，由2TPOC得，00()2(2)mxnya，所以0042mxnya，即0042mxnya，所以2200(2)()16xya，因为直线l60 xy上一存在唯一点T，使得2TPOC，所以220000(2)()1660 xyaxy只有一组解，所以|26|42a，所以44 2a22（本小题满分12 分）已知梯形 ABCD 中，AB1，A60，ABC 90，CBD 45，如图（1）所示现将 ABC 沿边 BC 翻折至 ABC，记二面角A BCD 的大小为（1）当90 时，如图（2）所示，过点B 作平面与AD垂直，分别交AC，AD 于点 E，F，求点 E 到平面 ABF 的距离；（2）当30 时，如图（3）所示，求二面角A CDB 的正切值解：（1）因为平面A BC平面BCD，平面A BC平面BCDBC，CDBC，CD平面BCD，所以CD平面A BC，又BE平面A BC，所以CDBE，因为A DBEF平面，BEBEF平面，所以A DBE又CDA DD，CDA DA CD，平面，所以BEA CD平面，又A CA CD平面，所以BEA C，在Rt A BC中，3=2A B BCBEA C，又A BCBCD平面平面，A BCBCDBC平面平面，A BBC，A BA BC面所以A BBCD平面，又BDBCD平面，所以A BBD，在Rt A BD中，67A B BDBFA D，所以2217A FA BA F，在Rt BEF中，2232 7EFBFBE，设点E到平面A BF的距离为d，因为ABEFEA BFVV，所以1133BEFABFSA FSd，所以68d；（2）过点B作直线l/CD，过A作A Hl交l于点H因为CDBC，所以lBC，又因为A BBC，所以A BH就是二面角ABCD的平面角，所以30A BH，因为1A B，所以12A H，过点H作HQCD交CD于点Q，连接A Q，因为BCA B，BCl，lA BB，所以BCA BH平面，又BCBCD平面，所以BCDA BH平面平面又因为BCDA BHl平面平面，A Hl，A HA BH平面所以A HBCD平面，因为HQCD，所以CDA HQ平面，因为A QA CD平面，所以CDA Q，所以A QH是二面角ACDB的平面角，在Rt A QH中，3tan6A HA QHHQ=，所以二面角ACDB的正切值为36B C D Q H l