河北省石家庄市第二中学2019-2020年高一上学期期中考试数学(逐题详解).pdf

河北省石家庄市第二中学2019-2020 年高一上学期期中考试数学一、选择题（每题5 分，共计60 分）1.设集合 A x|x2x2 0，B x|2x 50，则集合A与 B的关系是()A.B?A B.B?A C.BAD.AB【答案】A【解析】集合与集合之间的关系不能用符号，选项CD错误；因为Ax|x2x20 x|x1 或x 2，B x|2x 50 x|x52，所以B?A，本题选择A选项.2.已知幂函数()af xx的图象过点1,22，则（）A.12B.1C.32D.2【答案】A【解析】【分析】将点1,22代入()af xx中，求解的值即可.【详解】因为幂函数()afxx的图象过点1,22，所以有：12()2，即12.故选：A.【点睛】本题考查幂函数的概念，属于基础题.3.函数f(x)ln(3)12xx的定义域是()A.(3,0)B.(3,0 C.(，3)(0，)D.(，3)(3,0)【答案】A【解析】【分析】函数f(x)ln312xx的定义域满足30120 xx，由此能求出结果【详解】f(x)，要使函数f(x)有意义，需使，即 3x0 成立，f（x）是定义在 1，1 上的增函数，f（x）max=f（1）=1，f（x）m22am+1对任意的x 1，1 恒成立?f（x）maxm22am+1，1 m22am+1，即 2am m20 对任意的a 1，1 恒成立令 g（a）=2am m2，则 2am m20 对任意的 a 1，1 恒成立转化为：1010gg解得：m 2 或 m 2故选 B【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单点调性、含三个变量的不等式对2 个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题解决办法是按顺序先对一个字母恒成立，转化为最值，再对另一个字母恒成立，转化为最值即可属难题二、填空题（每题5 分，共计20 分）13.若函数2()243f xxx的定义域是 2,2，则该函数的值域是_.【答案】5,13【解析】【分析】现将函数解析式配方得：22()2432(1)5f xxxx，再结合二次函数的性质求解.【详解】22()2432(1)5f xxxx，当1x时，()f x 取得最小值5，当2x时，()f x 取得最大值13.()5,13fx.故答案为：5,13.【点睛】本题考查函数值域的求法，属于基础题.14.已知2211fxxxx,则2f_【答案】6【解析】【分析】把1xx看成一个整体,将等式右边表示成1xx的形式,然后把1xx整体换成x,即可得()f x,令 x=2,即可得f（2）的值【详解】2211fxxxx,222111()2fxxxxxx把1xx整体换成x,可得,2()2f xx,2(2)226f故答案为6【点睛】本题考查了利用配凑法求函数的解析式,求函数解析式一般应用配凑法和换元法,属于基础题.15.已知函数221,0()2,0 xxf xxx x，若函数()()g xf xm有2个零点，则实数m的取值范围是_.【答案】(1,0)【解析】【分析】“()()g xf xm有2个零点”等价于“()f xm有2个零点”，画出图象，观察图象即可得解.【详解】函数()f x 的图象如下：由函数()()g xf xm有2个零点，可知()f xm 有2个零点，所以实数m的取值范围是(1,0).故答案为：(1,0).【点睛】本题考查函数零点的应用，考查数形结合能力，解题关键是正确作出函数的图象，属于常考题.16.已知函数f1(x)|x1|，f2(x)13x1，g(x)122fxfx122fxfx，若a，b 1,5，且当x1，x2a，b 时，1212g xg xxx0 恒成立，则ba的最大值为 _【答案】5【解析】【详解】1 5ab，且1212120g xg xxxababxx，恒成立，g x（）在区间ab，上单调第增，函数121212111322fxfxfxfxfxxfxxg x（），（），（），12 103 50 3fxxg xfxx，（），当 10 x，）时，1g xx（），单调减；当10 313xg xx，时，（），单调增；当3 5x，时，1g xx（），单调递增minmax05abba，的最大值为505故答案为5.【点睛】本题考查了恒成立问题，考查了转化思想方法，解得的关键是对题意的理解，以及对隐含条件的挖掘，是中档题三、解答题（17 题 10 分，18-22 每题 12 分）17.已知集合，2|2162xAx，|3221Bxaxa.（1）当0a时，求AB；（2）若AB，求a的取值范围.【答案】（1）1|12ABxx；（2）3,2,)4.【解析】【分析】（1）可以求出1|42Axx，0a时，|21Bxx，然后进行交集的运算即可；（2）根据AB，可讨论B是否为空集：当B时，3221aa；当B时，31213242aaa或，解出a的范围即可【详解】（1）1|42Axx，0a时，|21Bxx，1|12ABxx（2）AB，当B时，3221aa，即3a，符合题意；当B时，31213242aaa或，解得34a或23a，综上，a的取值范围为3,2,)4.【点睛】本题考查交集及其运算，考查分类讨论思想和运算能力，属于常考题.18.已知函数f（x）是定义在 R 上的偶函数，当x0 时，f（x）x2+ax+b 的部分图象如图所示:（1）求f（x）的解析式；（2）在网格上将f（x）的图象补充完整，并根据f（x）图象写出不等式f（x）1 的解集【答案】（1）f（x）2222,022,0 xxxxxx；（2）（，3 3，+）【解析】【分析】（1）根据函数图像，将0,2,1,3代入解二元一次方程即可求得解析式（2）结合图像1y，采用数形结合的方法，当f（x）的图像在1y上方时，即可求得x的取值范围【详解】（1）由题意知f（0）2，f（1）3，即132abb得a 2，b 2，即当x0时，f（x）x22x2f（x）是偶函数，当x0 时，x0，则f（x）x2+2x 2f（x），即f（x）x2+2x2，x 0，即f（x）2222,022,0 xxxxxx（2）对应图象如图：当f（x）1 时，得x3 或x 3，若f（x）1，得x3 或x 3，即不等式的解集为：（，3 3，+）【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、数形结合法求解不等式，对于高一学生来说，数形结合的思想方法要多加体会，重点培养19.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120 万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40 万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足3 26Pa，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足124Qa，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为()f x（单位：万元）（1）求()f x 及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【答案】（1）1()3 226,(4080)4f xxxx；（2）甲城市投资72 万元，乙城市投资48 万元时，总收益最大，且最大收益为44 万元.【解析】分析】（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120 x万元，1()3 26(120)24f xxx，即可求出答案（2）令tx，则2 10,45t22113 226(6 2)4444yttt利用二次函数的单调性即可得出答案【详解】解：（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120-x万元11()3 26(120)23 22644f xxxxx，依题意得4012040 xx，解得4080 x故1()3 226,(4080)4f xxxx（2）令tx，则2 10,45t22113 226(62)4444yttt当6 2t，即72x万元时，y的最大值为44 万元当甲城市投资72 万元，乙城市投资48 万元时，总收益最大，且最大收益为44 万元【点睛】本题考查了函数模型、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.已知函数f（x）=ax+bx（其中 a，b 为常数，a0 且 a1，b0 且 b1）的图象经过点A（1，6），3B14，（）求函数f（x）的解析式；（）若ab，函数xx11g x()()2ab，求函数g（x）在-1，2 上的值域【答案】（）f（x）=2x+4x；（）74，4.【解析】【分析】（）把A、B两点的坐标代入函数的解析式，求出a、b 的值，可得函数f（x）的解析式（）令t=x1()2，在-1，2 上，t 14，2，g（x）=h（t）=t2-t+2，利用二次函数的性质求得函数g（x）在-1，2 上的值域【详解】（）函数f（x）=ax+bx（其中 a，b 为常数，a0 且 a1，b0 且 b1）的图象经过点A（1，6），3B14，f（1）=a+b=6，且 f（-1）=1a+1b=34，a=2，b=4；或 a=4，b=2故有 f（x）=2x+4x（）若ab，则 a=4，b=2，函数xx11g x()()2ab=x1()4-x1()2+2，令 t=x1()2，在-1，2 上，t 14，2，g（x）=h（t）=t2-t+2=21(t)2+7474，4，故函数 g（x）在-1，2 上的值域为 74，4【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求二次函数的在闭区间上的最值，属于基础题21.已知函数()log1(0,1)xaf xaaa.（1）当1a时，判断并证明()f x 的单调性，解关于x的不等式：()(1)f xf；（2）当2a时，不等式2()log12xf xm对任意实数1,3x恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）()fx 在(0,)上是增函数，证明见解析，不等式的解集为1|0 xx；（2）2log 3m.【解析】【分析】（1）先按照定义证明函数的单调性，然后再利用函数的单调性解不等式即可；（2）令222()()log12log121xxg xf x，故()g x在1,3上单调递增，“不等式2()log12xf xm对任意实数1,3x恒成立”转化为“()mg x在区间1,3上恒成立”，求出()g x的最小值即可【详解】（1）当1a时，任取12,(0,)x x，且12xx，则12xxaa，所以1211xxaa，因为1a，所以12log1log1xxaaaa，即12fxfx.故当1a时，()f x 在(0,)上增函数；不等式()(1)f xf，即11xaa，因为1a，所以1x，又因为函数()log1(0,1)xaf xaaa的定义域为|0 x x，所以不等式的解集为1|0 xx；（2）令222()()log12log121xxg xf x，()g x在区间1,3上单调递增，min2()log 3g x，()mg x，min()mg x，即2log 3m.【点睛】本题考查函数单调性的证明以及利用单调性解不等式，考查不等式恒成立问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题.22.已知函数4()log41xf xkx为偶函数，4()log3 2xh xa.（1）求实数k的值；（2）当3a时，求函数()()416fxkxh xy在0,1x上的最小值()g a.【答案】（1）12k；（2）22867,3()181,383aaag aaa.【解析】【分析】（1）利用()()fxf x，建立方程，解方程求得k的值即可；（2）先将函数()()416fxkxh xy化为2282621xxyaa，令2xt（12t），然后讨论函数22()861h ttata的最小值即可.【详解】（1）()f x 是偶函数，()()fxf x，则44log41log41xxkxkx，得4442log4log41(1)()log 4xxxkxx，得21k，得12k.（2）由（1）知12k，当3a时，()()416fxkxh xy424log41log3 244xxa2412()3xxa2282621xxaa，设2xt，0,1x，12t，则22()861h ttata，函数的对称轴为632 88aat，3a，3988a，若318a，即83a时，函数在1,2上的最小值2()(1)67g ahaa，若39188a，即833a时，函数在1,2上的最小值231()188ag aha，综上，函数()()416fxkxh xy在0,1x上的最小值22867,3()181,383aaag aaa.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数最值的求法，考查运算能力和逻辑思维能力，解题关键是熟练运用换元法将指数型函数的最值问题化为二次函数的最值问题从而求解，属于中档题.