陕西省西安中学2020届高三上学期期末考试试题数学(理)【含答案】.pdf

陕西省西安中学2020 届高三上学期期末考试试题数学（理）第卷(选择题共 60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合2|lg0,|4MxxNx x，则MN（）A(2,0)B1,2)C(1,2D(0,22设复数z满足(1i)1iz（其中i为虚数单位），则z（）AiBiC2iD 2i3已知命题:p若|ab，则22ab；命题:qm、n是直线，为平面，若m/,n，则m/n.下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq4已知nS为数列na的前n项和，1nnSa，则5S（）A3132B312C132D31165如图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图则下列结论中表述不正确的是（）A.从 2000 年至 2016 年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B.2011 年该地区环境基础设施的投资额比2000 年至 2004 年的投资总额还多；C.2012 年该地区基础设施的投资额比2004 年的投资额翻了两番；D.为了预测该地区2019 年的环境基础设施投资额，根据2010 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为 1 27，）建立投资额y 与时间 t 的线性回归模型?9917.5yt，根据该模型预测该地区2019 的环境基础设施投资额为256.5 亿元.6已知直线6x是函数()sin(2)f xx(|)2图象的一条对称轴，为了得到函数()yf x的图象，可把函数sin 2yx的图象（）A向左平行移动6个单位长度B向右平行移动6个单位长度C向左平行移动12个单位长度D向右平行移动12个单位长度7函数1()ln|f xxx的图象大致为（）8若2.0log5.0a，2log5b，2.05.0c，则,a b c的大小关系为（）Aacb BabcCbacDcba9若点(2,2 2)A在抛物线2:2C ypx上，记抛物线C的焦点为F，直线AF与抛物线的另一交点为B，则FA FB（）A10 B23 C3 D9210已知在区间0,上，函数3sin2xy与函数1sinyx的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为P，P的横坐标为0 x，则0tanx的值为（）A12 B 43C45 D 81511我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知12FF、是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A3B2C2 33D 2 12已知函数12xfxm xxee(e为自然对数底数)，若关于x的不等式0fx有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A32ee B 22eeC32eeD22ee第卷(非选择题共 90 分)二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13已知,ab为互相垂直的单位向量，若cab，则cos,b c14已知函数3()2f xxx，若2(1)(2)0f afa，则实数a的取值范围是15数列na是等差数列，11a，公差d 1，2，且4101615aaa，则实数的最大值为16已知矩形ABCD，1AB，3BC，将ADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥DABC，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有三棱锥DABC的体积的最大值为13；三棱锥DABC的外接球体积不变；三棱锥DABC的体积最大值时，二面角DACB的大小是60；异面直线AB与CD所成角的最大值为90三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分17（本小题满分12 分）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知cCab21cos（）求角A；（）若3?ACAB，求a的最小值18（本小题满分12 分）中华人民共和国个人所得税法规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表分段累计计算。为了给公民合理减负，稳步提升公民的收入水平，自2018 年 10 月 1 日起，个人所得税免征额和税率进行了调整，调整前后的个人所得税税率表如下：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额 3500 元免征额 5000 元级数全月应纳税所得额税率级数全月应纳税所得额税率1 不超过 1500 元的部分3%1 不超过 3000 元的部分3%2 超过 1500 元至 4500 元的部分10%2 超过 3000 元至 12000 元的部分10%3 超过 4500 元至 9000 元的部分20%3 超过 12000 元至 25000 元的部分20%（）已知小李2018 年 9 月份上交的税费是295 元，10 月份月工资、薪金等税前收入与9 月份相同，请帮小李计算一下税率调整后小李10 月份的税后实际收入是多少？（）税务部门在小李所在公司用分层抽样方法抽取某月100 位不同层次员工的税前收入，并制成下面的频率分布直方图。()请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数；()同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，按调整后税率表，试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元？19（本小题满分12 分）ABCDP如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD（）证明：ABPD；（）若,90PAPDABAPD，设Q为PB中点，求直线AQ与平面PBC所成角的余弦值20（本小题满分12 分）已知椭圆E：222210 xyabab的离心率为22，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为4 2（）求椭圆E的方程；（）若直线40 xmy与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一动点，且满足2PAPBtOP（O为坐标原点）当1t时，求OA OB的最小值21（本小题满分12 分）已知函数122()lnxef xaxxx（a为常数）在区间(0,2)内有两个极值点1212,()x xxx（）求实数a的取值范围；（）求证：122(1 ln)xxa（二）选考题：共10 分请考生在第22，23 题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分22（本小题满分10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为cos1sinxy（为参数）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系（）求圆C的普通方程及其极坐标方程；（）设直线l的极坐标方程为sin23，射线:6OM与圆C的交点为P（异于极点），与直线l的交点为Q，求线段PQ的长23（本小题满分10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数()|2|2|f xxa x，（）当a=2 时，求不等式()2f x的解集；（）当 2,2x时不等式()f xx恒成立，求a的取值范围一、选择题:题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C B B A D C A A D B A C 二、填空题：1322 141 1,2 15 1216三、解答题:17解：（）ABC中，cCab21cos，由正弦定理知，CCABsin21cossinsin，2分CBAACCACABcossincossin)sin(sin，CCAACCAsin21cossincossincossin，4 分CACsin21cossin，21cos A，3A 6 分（）3?ACAB3cos?AACAB，得6bc 8 分所以6626cos222222bccbAbccba当且仅当cb时取等号 11分所以a的最小值为6 12 分18解：（）设小李9 月份的税前收入为x元，因为295345所以按调整起征点前应缴纳个税为：1500 3%500010%295x，解得7500 x2 分按调整起征点后应缴纳个税为：750050003%75调整后小李的实际收入是7500757425（元）4分（）（）由柱状图知，中位数落在第二组，不妨设中位数为x千元，则有0.12 20.1650.5x，解得6.625x（千元）估计该公司员工收入的中位数为6625千元.8 分（）按调整起征点后该公司员工当月所交的平均个税为0.24 00.32 300.2 900.12 2900.084900.04 690129.2（元）估计小李所在的公司员工平均纳税2.129元 12 分19解：（）依题意，平面PAD平面ABCD，ABAD1分AB平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，2分AB平面PAD，又PD平面PAD4分ABPD5 分（）ABCDPxyzOQ在PAD中，取AD中点O，连接PO，,PAADPOADPO平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA为x轴，过点A且平行于AB的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系6分设2PA，90APD，2 2AD22(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0),(2,0,0),1,22PBCAQ，22(2,2,2),(22,0,0),1,22PBBCAQ8分设平面PBC的法向量为(,)nx y z，则22202 20n PBxyzn BCx，取1y，得(0,1,2)n9 分设直线AQ与平面PBC所成角为，则6sincos,3AQ nAQ nAQn10 分因为0,2，23cos1sin3所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为33 12分20解：（）依题意得，22cea以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为4 2，则1224 22ab，解得24a，22b所以椭圆E的方程为22142xy4分（）设A，B两点的坐标分别为11(,)x y，22(,)xy，联立方程221,424,xyxmy得22(2)8120mymy，264960m26m，6分12282myym，122122y ym，7分因为2PAPBtOP，即2OAOPOBOPtOP，所以OAOBtOP所以点1212(,)xxyyPtt，又点P在椭圆 C上，所以有221212()2()2xxyytt，化简得2221212()82()4m yyyyt，所 以2222288()(2)16()644022mmmmtmm，化 简22322mt，因 为1t，所 以2630m，9分因为21212121212441416OA OBx xy ymymymy ym yy，又12282myym，122122y ym，所以224442mOA OBm令22(8,32)ms s，则452524sOA OBss11 分当32s时，OA OB取得最小值，最小值为198 12 分21解：（）解法一：由122()lnxef xaxxx，可得13(2)()()xxeaxfxx1分由题意(0,2)x，则320 xx，设11()(0),()xxh xeax xh xea由题意，知12,x x是()yh x在(0,2)上的两个零点当0a时，()0h x，则()h x在(0,2)上递增，()h x至多有一个零点，不合题意；2分当0a时，由()0h x，得1 lnxa，(1ln)lnhaaa3分（i）若1ln2a且(2)20hea，即02ea时，()h x在(0,1ln)a上递减，(1ln,2)a递增；若min()(1 ln)ln0h xhaaa，即0ae时，()h x至多有一个零点，不合题意，舍去；若min()(1 ln)ln0h xhaaa，即12ea时，又1(2)0,(0)0hhe，从而，()h x在(0,1ln)a和(1ln,2)a上各有一个零点所以12ea时，()yh x在(0,2)上存在两个零点4分（ii）若1ln2a，即ae时，()h x在(0,2)上单调递减，()h x至多有一个零点，舍去5分（iii）若1ln2a且(2)20hea，即2eae时，()h x在(0,1ln)a上有一个零点，在(1ln,2)a上没有零点，舍去综上可得，实数a的取值范围是1,2e6分解法二：由122()lnxef xaxxx，可得13(2)()()xxeaxfxx1分由题意(0,2)x，则320 xx，由题意知12,xx是1,0 xyeaxx在(0,2)上的两个零点由10 xyeax，得1xeax，2分从而只需直线ya与函数1()xeg xx的图象在(0,2)有两个交点3分由2(1)()xxegxx得1()xeg xx在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,2)内单调递增，所以min()(1)1,(2)2eg xgg4分且0 x时，()g x5分所以实数a的取值范围是1,2e6分（）解法一：令()()(22ln),01lnH xh xhaxxa7分则211()()(22ln)2220 xxaHxh xhaxeaaae，所以()Hx在(0,1ln)a上递增，8分111()()(22ln)(1 ln)0H xh xhaxHa10 分而12()()h xh x，且()h x在(1ln,2)a递增；21()(22ln)h xhax11分211222ln,2(1 ln)xaxxxa，命题得证12分解法二：由（1）有12111112121222lnln12lnln()2lnln1xxaxeaxxax xxxaxxaxe7 分则证明1212122112(1ln)ln()001xxax xx xxx8 分下证式成立，由10 xeax，得1xeax，令1()xeg xx，则1122(1)()(),()xexg xg xg xx9分易知1201xx，从而式221111111()()xg xgg xgxxx 10 分又令1()(),01G xg xgxx，即证()0G x对01x成立11121()xxxG xexex设111()xxh xexe，则1111()0 xxxh xeex，11分从而()(1)0,()0,()(1)0h xhGxG xG即01x，1()g xgx，即111()g xgx从而式成立122(1 ln)xxa，命题得证12分22解：（）由coscos1sin1sinxxyy1分平方相加，得：22(1)1xy，所以圆C的普通方程为：22(1)1xy2 分又cos,sinxy3分22(cos)(sin1)14分化简得圆C的极坐标方程为：2sin5分（）把6代入圆的极坐标方程可得：2sin16P7 分把6代入直线l的极坐标方程可得：sin2,263Q9分所以线段PQ的长1PQPQ10分23证明：（）当2x时，()22(2)62f xxxx，解得4x，1 分当22x时，()22(2)322f xxxx，解得423x2分当2x时，()22(2)62f xxxx解得2x，3分综上知，不等式()2f x的解集为4(,4)(,)3.5分（）解法1：当 2,2x时，()2(2)(1)2(1)f xxa xaxa，6 分设()()g xf xx，则2,2x，()(2)2(1)0g xaxa恒成立，只需(2)0(2)0gg，8 分即60420a，解得12a10分解法 2：当 2,2x时，()2(2)fxxa x，6 分()f xx，即2(2)xa xx，即(2)2(1)xax7 分当2x时，上式恒成立，aR；8 分当(2,2x时，得2(1)2xax622x恒成立，只需min61(2)22ax，综上知，12a 10分