高中数学重点中学第5课时实数与向量的积(2)教案湘教必修2.pdf
2012 年高中数学重点中学第 5 课时实数与向量的积（2）教案湘教版必修2-1-/6 实数与向量的积（2）教学目的：1 了解平面向量基本定理；2 掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3 能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向2 向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、等表示；3 零向量、单位向量概念：长度为 0 的向量叫零向量，长度为1 个单位长度的向量，叫单位向量4 平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0 与任一向量平行向量、平行，记作5 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量6 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量7 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的 三角形法则 和平行四边形法则8向量加法的交换律：a+b=b+a9向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)10向量的减法 向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：ab=a+(b)11差向量的意义：OA=a,OB=b,则BA=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量12实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作：a（1）|a|=|a|；（2）0 时a与a方向相同；0 时a与a方向相反；=0 时a=013运算定律结合律：(a)=()a分配律：(+)a=a+a(a+b)=a+b14 向量共线定理向量b与非零向量a共线的 充要条件 是：有且只有一个非零实数，2012 年高中数学重点中学第 5 课时实数与向量的积（2）教案湘教版必修2-2-/6 使b=a二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a=11e+22e探究：(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一1，2是被a，1e，2e唯一确定的数量三、讲解范例：例 1 已知向量1e，2e求作向量251e+32e作法：（1）取点 O，作OA=251eOB=32e（2）作OACB，OC即为所求251e+32e例 2 如图ABCD 的两条对角线交于点M，且AB=a，AD=b，用a，b表示MA，MB，MC和MD解：在ABCD 中，AC=AB+AD=a+b，DB=ABAD=abMA=21AC=21(a+b)=21a21b，MB=21DB=21(ab)=21a21bMC=21AC=21a+21bMD=MB=21DB=21a+21b例 3 已知ABCD 的两条对角线AC与 BD交于 E，O是任意一点，求证：OA+OB+OC+OD=4OE证明：E是对角线AC和 BD的交点AE=EC=CE,BE=ED=DE在 OAE中，OA+AE=OE同理OB+BE=OE，OC+CE=OE，OD+DE=OE2012 年高中数学重点中学第 5 课时实数与向量的积（2）教案湘教版必修2-3-/6 以上各式相加，得OA+OB+OC+OD=4OE例 4 如图，OA，OB不共线，AP=tAB(tR)用OA,OB表示OP解：AP=tABOP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OBOA)=OA+tOBtOA=(1t)OA+tOB四、课堂练习：1 设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有Ae1、e2一定平行Be1、e2的模相等C同一平面内的任一向量a都有a=e1+e2(、R)D若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=e1+ue2(、uR)2 已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系A不共线B共线 C相等 D无法确定3 已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于A3B-3 C0 D2 4 若a、b不共线,且a+b=0(,R)则=,=5 已知a、b不共线,且c=1a+2b(1,2R),若c与b共线,则1=6 已知10,20,e1、e2是一组基底,且a=1e1+2e2,则a与e1_,a 与e2_(填共线或不共线)参考答案：1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共线不共线五、小结平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合六、课后作业：1如图，平行四边形ABCD中，AB，AD，H、M是AD、DC之中点，F使BF31BC，以、为基底分解向量AM与HF分析：以，为基底分解AB与HF，实为用与表示向量AM与HF解：由H、M、F所在位置有：AM=AD+DM=AD+21DC=AD+21AB=21，HFAFAHABBFAHABADBC2131AB31AD21AD612012 年高中数学重点中学第 5 课时实数与向量的积（2）教案湘教版必修2-4-/6 2如图，O是三角形ABC内一点，PQBC，且BCPQ，OA，OB，OC，求OP与OQ分析：由平面几何的知识可得APQABC，且对应边的比为，ACAQABAP，转化向量的关系为：APAB，AQAC，又由于已知和未知向量均以原点O为起点，所以把有关向量都用以原点O为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在解：PQBC，且BCPQ，有APQABC，且对应边比为（BCPQ），即ACAQABAP转化为向量的关系有：APAB，AQAC，又由于：APOPOA，AQOQOA，ABOBOA，ACOCOAOPOAAPOA（OBOA）（）（）,OQOAAQOA（OCOA）（）(）七、板书设计（略）八、课后记：1 注意图形语言的应用用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译例 1 如图，已知MN是ABC的中位线，求证：MN21BC且MNBC分析：首先把图形语言：M、N是AB、AC的中点翻译成向量语言：AM21AB，AN21AC然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即MNANAM21AC21AB21（ACAB）21BC最后又将向量语言MN21BC翻译成图形语言就是：MN21BC且MNBC2 向量法应用例 2 已知平行四边形ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求2012 年高中数学重点中学第 5 课时实数与向量的积（2）教案湘教版必修2-5-/6 证：AECF证明：因为E、F为DC、AB的中点，DE21DC，BF21BA，由向量加法法则可知：AEADDEAD21DC，CFCBBFCB21BA四边形ABCD为平行四边形，ADCB，DCBA，AECB21BA（CB21BA）CFAECF，AECF 强化训练：1 下面向量a、b共线的有（）(1)a=2e1,b=-2e2 (2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2(3)a=4e1-52e2,b=e1-101e2 (4)a=e1+e2,b=2e1-2e2(e1、e2不共线)A(2)(3)B(2)(3)(4)C(1)(3)(4)D(1)(2)(3)(4)2 设一直线上三点A、B、P满足AP=PB(1),O是空间一点,则OP用OA、OB表示式为（）A OP=OA+OBBOP=OA+(1-)OBC OP=1OBOA DOBOAOP1113 若a、b是不共线的两向量,且AB=1a+b,AC=a+2b(1、2R),则A、B、C三点共线的充要条件为（）A1=2=-1B1=2=1 C12+1=0 D12-1=0 4 若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为1b+2c的形式是5 已知两向量e1、e2不共线,a=2e1+e2,b=3e1-2e2,若a与b共线,则实数=6 设平面内有四边形ABCD和点O,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是7 设OA、OB不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且OP=(1-t)OA+tOB(tR),求证A、B、P三点共线8 当不为零的两个向量a、b不平行时,求使pa+qb=0 成立的充要条件9 已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数、,使d=a+b与c共线?2012 年高中数学重点中学第 5 课时实数与向量的积（2）教案湘教版必修2-6-/6 参考答案：1A 2C 3D 4-181b+277c 5-41 6平行四边形7(略)8p=q=0 9存在,=-2能使d与c共线
