考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题3函数与导数第8练.pdf

第 8 练突难点 抽象函数与函数图象题型分析 高考展望 抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点.对函数图象问题，以基本函数为主，由基本函数进行简单的图象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单调性与奇偶性.体验高考1.(2015安徽)函数 f(x)axbxc2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a0，b0，c0B.a0，c0C.a0，c0D.a0，b0，c0，c0，b0.令 f(x)0，得 xba，结合图象知ba0，a8 2.820，排除 A；f(2)8e282.720 时，f(x)2x2ex，f(x)4xex，当 x 0，14时，f(x)f(2)，则 a的取值范围是_.答案12，32解析f(x)是偶函数，且在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，f(2)f(2)，f(2|a1|)f(2)，2|a1|2221，|a1|12，即12a112，即12a0 时，1x0；当 g(x)0.故 g(x)0 或 1x0 时均有 f(x)f(cos )B.f(sin )f(cos )C.f(cos )f(cos )答案B解析因为 f(x)为 R 上的偶函数，所以 f(x)f(x)，又 f(2x)f(x)，所以 f(x2)f(2(x2)f(x)f(x)，所以函数f(x)以 2 为周期.因为 f(x)在 3，2上是减函数，所以 f(x)在 1，0上也是减函数，故 f(x)在0，1上是增函数.因为 ，是钝角三角形的两个锐角，所以 2，2 ，所以 0sin sin2 cos 1，故 f(sin )f(cos )，故选 B.2.定义域为R 的函数 f(x)对任意 x 都有 f(2x)f(2x)，且其导函数f(x)满足f x2x0，则当 2 a4 时，有()A.f(2a)f(log2a)f(2)B.f(log2a)f(2)f(2a)C.f(2a)f(2)f(log2a)D.f(log2a)f(2a)f(2)答案A解析由函数 f(x)对任意 x 都有 f(2 x)f(2x)，得函数f(x)图象的对称轴为直线x2.因为函数f(x)的导函数f(x)满足f x2x 0，所以函数f(x)在(2，)上单调递减，(，2)上单调递增.因为 2 a4，所以 1log2a2 42a.又函数 f(x)图象的对称轴为直线x2，所以 f(2)f(log2a)f(2a)，故选 A.3.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)2log2(x1)，f2(x)log2(x2)，f3(x)log2x2，f4(x)log2(2x)，则“同根函数”是()A.f2(x)与 f4(x)B.f1(x)与 f3(x)C.f1(x)与 f4(x)D.f3(x)与 f4(x)答案A解析f4(x)log2(2x)1log2x，f2(x)log2(x2)，将 f2(x)的图象沿着x 轴先向右平移2 个单位得到ylog2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1 个单位可得到f4(x)的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.4.设函数 f(x)x|xa|，若对?x1，x23，)，x1x2，不等式f x1f x2x1x20 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A.(，3 B.3，0)C.(，3 D.(0，3答案C解析由题意分析可知条件等价于f(x)在 3，)上单调递增，又f(x)x|x a|，当 a 0时，结论显然成立；当 a0 时，f(x)x2ax，xa，x2ax，xa，f(x)在，a2上单调递增，在a2，a 上单调递减，在(a，)上单调递增，0a3.综上，实数a 的取值范围是(，3.5.在平面直角坐标系中，若两点P，Q 满足条件：(1)P，Q 都在函数yf(x)的图象上；(2)P，Q 两点关于直线yx 对称，则称点对 P，Q是函数 yf(x)的一对“和谐点对”.(注：点对 P，Q与 Q，P 看作同一对“和谐点对”)已知函数f(x)x23x2 x0，log2x x0，则此函数的“和谐点对”有()A.0 对B.1 对C.2 对D.3 对答案C解析作出函数f(x)的图象，然后作出f(x)log2x(x0)关于直线yx 对称的图象，与函数f(x)x23x2(x0)的图象有2 个不同交点，所以函数的“和谐点对”有 2 对.6.对定义在 0，1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为 M 函数：(1)对任意的x0，1，恒有 f(x)0；(2)当 x10，x20，x1 x21 时，总有 f(x1x2)f(x1)f(x2)成立.则下列 3 个函数中不是M 函数的个数是()f(x)x2；f(x)x21；f(x)2x1.A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析在0，1上，3 个函数都满足f(x)0.当 x10，x2 0，x1x21 时：对于，f(x1 x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2(x21x22)2x1x2 0，满足；对于，f(x1 x2)f(x1)f(x2)(x1x2)21(x21 1)(x221)2x1x210，不满足；对于，f(x1 x2)f(x1)f(x2)(212x+x1)(21x122x1)21x22x21x22x1(21x 1)(22x1)0，满足.故选 B.7.已知函数f(x)1x2m|x|有三个零点，则实数m 的取值范围为_.答案(1，)解析函数 f(x)有三个零点等价于方程1x2m|x|有且仅有三个实根.1x2m|x|?1m|x|(x2)，作函数 y|x|(x2)的图象，如图所示.由图象可知m 应满足：01m1，故 m1.8.设函数yf(x1)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，在区间(，0)是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x1)f(x)0 的解集为 _.答案(，0(1，2解析yf(x1)的图象向右平移1 个单位得到y f(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为 x 1，过定点(2，0)，且函数在(，1)上递减，在(1，)上递增，则f(x)的大致图象如图所示.不等式(x1)f(x)0 可化为x1，f x 0或x1，f x 0.由图可知符合条件的解集为(，0(1，2.9.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的xR 恒有 f(x1)f(x1)，已知当 x 0，1时，f(x)2x，则有2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；函数 f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是_.答案解析在 f(x 1)f(x1)中，令 x1t，则有 f(t2)f(t)，因此 2 是函数 f(x)的周期，故 正确；当 x0，1时，f(x)2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在 1，0上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故正确；由 知 f(x)在0，2上的最大值f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值f(x)minf(0)f(2)20 1，且 f(x)是周期为2 的周期函数，f(x)的最大值是2，最小值是1，故 错误.10.已知函数 yf(x)(xR)为奇函数，且对定义域内的任意x都有 f(1x)f(1x).当 x(2，3)时，f(x)log2(x1)，给出以下4 个结论：函数 yf(x)的图象关于点(k，0)(kZ)成中心对称；函数 yf(x)是以 2 为周期的周期函数；当 x(1，0)时，f(x)log2(1x)；函数 yf(|x|)在(k，k 1)(k Z)上单调递增，则正确结论的序号是_.答案解析因为 f(1x)f(1x)，yf(x)(x R)为奇函数，所以 f(1x)f(x1)，则 f(2x)f(x)，所以 y f(x)(xR)是以 2 为周期的周期函数，正确；所以 f(2kx)f(x)，f(xk)f(xk)f(kx)，所以 f(xk)f(kx)，即函数yf(x)的图象关于点(k，0)(kZ)成中心对称，正确；由 知，函数 f(x)的图象关于点(2，0)成中心对称，即 f(x2)f(2x).又因为当x(1，0)时，2x(2，3)，所以 f(x)f(x2)f(2 x)log2(2x1)log2(1x)，正确；函数 y f(|x|)是偶函数，在关于原点对称的区间上的单调性相反，所以不正确.11.已知函数f(x)|x2 4x3|.(1)求函数 f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合 M m|使方程 f(x)m 有四个不相等的实根.解f(x)x221，x，1 3，x221，x 1，3，作出函数图象如图.(1)函数的增区间为(1，2)，(3，)；函数的减区间为(，1)，(2，3).(2)在同一坐标系中作出yf(x)和 y m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图).由图知 0m1，Mm|0m1.12.函数 f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有 f(x1 x2)f(x1)f(x2).(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求x 的取值范围.解(1)对于任意x1，x2D，有 f(x1 x2)f(x1)f(x2)，令 x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数.证明：令x1x2 1，有 f(1)f(1)f(1)，f(1)12f(1)0.令 x1 1，x2x，有 f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)在 D 上为偶函数.(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2?f(|x1|)f(16).又 f(x)在(0，)上是增函数，0|x1|16，解得 15x17 且 x1.x 的取值范围是x|15x 17 且 x1.