高三数学备考冲刺140分问题09高考数学导数解答题大盘点含解析21.pdf

问题 09 高考数学导数解答题大盘点一、考情分析导数解答题是高考必考问题，一般为压轴题，含有参数的函数单调性及极值的讨论.不等式的证明、根据零点或恒成立等问题求参数范围、构造函数证明不等式。其中极值点偏移问题、隐零点问题是近几年的热点。二、经验分享(1)用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0 的点外，还要注意定义区间内的间断点（2）已知单调性确定参数的值(范围)，要分清“在某区间单调”与“单调增(减)区间是某区间”的不同，“在某区间不单调”，一般是该区间含导数变号零点（3）导数值为0 的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件（4）极值与最值的区别“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的 最大值或最小值，具有绝对性从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值当a0，x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增；x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减0a2 时，2a 1，当x(0，1)或x2a，时，f(x)0，f(x)单调递增；当x 1，2a时，f(x)0，f(x)单调递减；【点评】(1)大多数高考试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号(2)研究函数单调性时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的定义域(3)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论分类讨论时，要做到不重不漏【小试牛刀】【湖北省宜昌市2019 届高三年级元月调考】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.（2），即，令，则，令，则.若，当时，从而在上单调递增，因为，故当时，即，从而在上单调递增，因为，故当时，恒成立，符合题意；若，当时，恒成立，从而在上单调递减，则，即时，从而在上单调递减，此时，不符合题意；若，由，得，当时，故在上单调递减，则，即，故在上单调递减，故当时，不符合题意；综上所述，实数的取值范围为(三)利用导数解决函数的最值问题【例 3】【河北省保定市2019 届高三上学期期末】已知函数，且函数的图像在点处的切线与轴垂直.（1）求函数的单调区间；（2）设函数在区间上的最小值为，试求的最小值.（2）因为所以由得解得（舍去）或由（1）知的减区间为，增区间为,所以，若即时，.若即 1t3 时，则，1t3时，0 ，在上为减函数，且，令，得，所以的递增区间为，同理，可得的递减区间为，所以即，故在单调递减.1-0+0-，当时，当即时，故有一个零点，也有有一个零点.综上可知，当时，无零点；当时，有一个零点.(五)利用导数法证明不等式【例 5】【贵州省遵义市2019 届高三年级第一次联考】设为实数，函数。()求的单调区间与极值；()求证：当且时，。【解析】f（x）=ex2x+2a，xR，f（x）=ex2，xR令 f（x）=0，得 x=ln2 于是当 x 变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：故 f（x）的单调递减区间是（，ln2），单调递增区间是（ln2，+），f（x）在 x=ln2 处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln22ln2+2a=2（1ln2+a），无极大值【点评】用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；由作差或者作商来构造函数是最基本的方法【小试牛刀】【安徽省黄山市2019 届高三第一次质量检测】已知函数.（1）设是的极值点，求的值；（2）在（1）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：.【解析】（1），x=0 是f（x）的极值点，解得m=1经检验m=1符合题意.五、迁移运用1【山东省济南外国语学校2019 届高三 1 月份阶段模拟】已知函数(1)若，判断上 的单调性；(2)求函数上的最小值；(3)当时，是否存在正整数n，使恒成立？若存在，求出n的最大值；若不存在，说明理由【解析】（1）当时，由于，故，在单调递增.故若即时单调递减，综上所述：当时，的最小值为1；当时，的最小值为当时，的最小值为.3【福建省泉州市2019 届高三 1 月质检】已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.【解析】解法一：（1）当时，-1-0+极小值所以在上单调递减，在单调递增.当时，的根为或.若，即，-1+0-0+极大值极小值-1+0-0+极大值极小值所以在，上单调递增，在上单调递减.综上：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；自时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减.解法二：（1）同解法一；（2）令，所以，5【广东省惠州市2019 届高三第三次调研】已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，求证：.（2）当时，所以在上单调递增，又，所以，使得，即所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为又函数是单调减函数，所以即恒成立。又，所以又所以，所以6【河南省实验中学2019 届高三质量预测模拟】已知函数（e是自然对数的底数）（1）求证：；（2）若不等式在 上恒成立，求正数a的取值范围（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，亦即在x，2 上恒成立，令g（x）=，以下求在上的最小值，,当时，当 时，当 时，单调递减，当 时，单调递增，在处取得最小值为，正数a的取值范围是9【山东省潍坊市2019 届高三上学期期末】已知，.（1）若，判断函数在的单调性；（2）证明：，；（3）设，对，有恒成立，求的最小值.【解析】（1）.又，因此，而，所以，故在单调递增.（3）由题意知，设，则，由于，故，时，单调递增，又，因此在存在唯一零点，使，即，且当，单调递减；，单调递增；故，故，设，又设故在上单调递增，因此，即，在单调递增，又，所以，故所求的最小值为.当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减，要使有两个零点，只要，所以.（因为当时，当时，）下面我们讨论当时的情形：当，即时，在上单调递增，不可能有两个零点；当，即时，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；因为，所以，没有两个零点；12【陕西省榆林市2019 届高考模拟第一次测试】已知函数.（1）设，求的最大值及相应的值；（2）对任意正数恒有，求的取值范围.【解析】（1），则