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高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 1/18 专题十直线与圆【高考导航】一、考试内容1.有向线段.两点间的距离.线段的定比分点.2.直线的方程.直线的斜率.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程.直线方程的一般式.3.两条直线平行与垂直的条件.两条直线所成的角.两条直线交点.点到直线的距离.4.圆的标准方程和一般方程.二、考试要求1.理解有向线段的概念.掌握有向线段定比分点坐标公式，熟练运用两点间的距离公式和线段的中点坐标公式.2.理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.熟练掌握直线方程的点斜式，掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式.能够根据条件求出直线的方程.3.掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系.会求两条相交直线的夹角和交点.掌握点到直线的距离公式.4.熟练掌握圆的标准方程和一般方程.能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程.掌握直线和圆的位置关系的判定方法.三、考点简析1.有向线段.有向线段是解析几何的基本概念，可用有向线段的数量来刻划它，而在数轴上有向线段AB的数量 AB xBxA.2.两点间的距离公式.不论 A(x1，y1)，B(x2，y2)在坐标平面上什幺位置，都有dAB 221221)()(yyxx，特别地，与坐标轴平行的线段的长AB x2 x1或 AB y2 y1.3.定比分点公式.定比分点公式是解决共线三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)之间数量关系的一个公式，其中的值是起点到分点，分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随之确定了.若以 A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是112121yyyxxx.当 P点为 AB的中点时，1，此时中点公式是222121yyyxxx4.直线的倾斜角和斜率的关系.(1)每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.(2)斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角之间的关系是ktan.5.确定直线方程需要有两个互相独立的条件.确定直线方程的形式很多，但必须注意高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 2/18 各种形式的直线方程的适用范围.6.平面上直线与二元一次方程是一一对应的.7.两条直线的夹角.当两直线的斜率k1k2，都存在且 k1 k2 1时，tan 21121kkkk，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断，另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.8.怎幺判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.(1)斜率存在且不重合的两条直线l1:y k1xb1，l2:y k2xb2，有以下结论：l1l2k1k2；l1l2k1k2 1.(2)对于直线l1:A1xB1yC10，l2:A2x B2yC20，当 A1、A2、B1、B2都不为零时，有以下结论：l1l2212121CCBBAAl1l2A1A2B1B20；l1与 l2相交2121BBAA；l1与 l2重合212121CCBBAA.9.点到直线的距离公式.(1)已知一点P(x0，y0)及一条直线l:Ax ByC0，则点 P 到直线l 的距离 d2200BACByAx；(2)两平行直线l1:AxByC10，l2:Ax By C2 0之间的距离d2221BACC.10.确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1)圆的标准方程：(x a)2(y b)2r2，其中(a，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；(2)圆 的 一般 方程：x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)，圆 心坐 标 为(2,2ED)，半径为r 2422FED11.直线与圆的位置关系的判定方法.(1)法一：直线：AxByC0；圆：x2y2DxEyF0.高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 3/18 消元0022FEyDxyxCByAx一元二次方程相离相切相交判 别 式000(2)法二：直线：AxByC0；圆：(x a)2(y b)2 r2，圆心(a，b)到直线的距离为 d相离相切相交rdrdrdBACBbAa22.12.两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，O1O2为圆心距，则两圆位置关系如下：O1O2 r1r2两圆外离；O1O2 r1r2两圆外切；r1r2 O1O2 r1r2两圆相交；O1O2 r1r2两圆内切；O1O2 r1r2两圆内含.四、思想方法1.公式法.求直线和圆的方程要正确运用公式解题.各种位置关系的判断要灵活使用各种结论.2.数形结合思想.解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的.即：将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义.【典型例题】【例 1】要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板块数如下表：A B C 第一种钢板1 3 1 第二种钢板1 1 4 每块钢板面积第一种1 平方单位，第二种3 平方单位，今需要A、B、C 三种规格的成品各14、23、39块，问各截这两种钢板多少张可得到所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小，并求出这个最小面积.高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 4/18【解】设截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，满足条件，则1,323,439,xyxyxyxN yN其目标函数zx3y 取最小值.作出如图可行域，最优解在17 25,33附近,取 y8，x7 满足条件，此时z31；取 y7，x 11，满足条件，此时z 32.比较即知，x7，y8，即截第一种钢板7 张，第二种钢板8 张，可得到所需规格成品，且所使用的钢板面积最小为31 平方单位.【例 2】如图，已知：射线OA为 ykx(k 0，x0)，射线 OB为 y kx(x 0)，动点 P(x，y)在 AOx的内部，PM OA于 M，PN OB于 N，四边形 ONPM 的面积恰为k.高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 5/18(1)当 k 为定值时，动点 P的纵坐标 y 是其横坐标x 的函数，求这个函数yf(x)的解析式；(2)根据 k 的取值范围，确定yf(x)的定义域.【解】设(,),(,),(0,0)M a kaN bbkab则21OMak,21ONbk,由动点 P在 AOx的内部，得0ykx.21kxyPMk21kxyk21kxyPNk21kxykONPMONPOPMSSS=1()2OMPMONPN1()()2a kxyb kxyk()()2k ab xab yk (1)又1PMykxkkxa,1PNykxkkxb,21xkyak,21xkybk,代入(1)消去 a,b 得高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 6/18 2221xyky0,221yxk(2)由0ykx得2201xkkx,222222101xyxkk x22221(1)1xkkxk 当 k=1 时,x 2当 0k1 时,21x xk【例 3】如图所示，已知O过定点A(0，p)(p 0)，圆心O在抛物线x22py上运动，MN 为圆 O在 x 轴上所得的弦，令AM d1，AN d2，MAN .(1)当点运动时，MN 是否有变化?并证明你的结论；(2)求1221dddd的最大值，并求取得最大值的值.高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 7/18【解】设00(,)O xy,20002(0)xpyy则 O的半径 O A2200()xyp O 的方程为22220000()()()xxyyxyp令 y=0,并把20002(0)xpyy代入得x22x0 x x02p20，得0Mxxp,0Nxxp2NMMNxxp为定值.(2)0(,0)M xp,0(,0)N xp2210()dpxp,2220()dpxp,则222212042ddpx,421204d dpx,2221121212ddddddd d=222220044440042(2)244pxpxpxpx=22042042 14p xpx22022042 12 22 2p xp x当且仅当2202xp,即0yp时,2112dddd的最大值为2 2此时O BMBNB(B 为 MN 中点)又O MO N高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 8/18 OMN为等腰直角三角形，090MO N则1.24MO N【例 4】如图所示，已知圆C：x2y24 内一点 A(3，0)与圆 C上一动点Q的连线 AQ的垂直平分线交OQ于点 P.(1)当点 Q在圆 C上运动一周时，求动点P的轨迹方程；(2)过点 O 倾斜角为的直线与点P 的轨迹相交于B1、B2两点，当在区间2,0(内变化时，求 AB1B2的面积 S().并求 S()的最大值.【说明】本题考查直线与圆的综合问题.解题关键：椭圆定义的运用；直线参数方程的运用；用基本不等式求最值.【解】(1)因为点 P在线段 AQ的垂直平分线上，所以PA PQ POPA2POPQOQ又32OA所以点 P的轨迹是以O、A 为焦点的椭圆，其方程为223412xy.高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 9/18(2)设直线 B1B2的参数方程为cos,sinxtyt(t 为参数)代入223412xy整理，得2221(4sincos)3 cos04t由弦长公式及韦达定理，得21212121 2()4B Bttttt t223sin1所以 AB1B2的面积为121sin2SOAOBOB123sin2tt23sin3sin1()S23sin3sin1=313sinsin3122 3当且仅当13sinsin,即3arcsin3 S()取最大值12.【例 5】设正方形ABCD 的外接圆方程x2y26xa0(a 9)C、D点所在直线 l 的斜率为31.(1)求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD 的斜率；(2)如果 ABCD 的外接圆方程半径为52，在 x 轴上方的A、B 两点在一条以x 轴为对称轴高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 10/18 的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程.【解】(1)由2239(9)xyaa可知圆心M的坐标为(3，0)，依题意：4ABMBAM,13ABk,MA、MB的斜率 k 满足：131113kk,解得：1,2ACk2BDk(2)将 圆 方 程2223(2 5)xy分别与AC、BD 直线方程：1(3)2yx,2(3)yx联立，可解得A(1，2)，B(5，4).设抛物线方程为2()ya xm(*)将 A(1，2)、B(5，4)的坐标代入(*)，得4(1)16(5)amam解 得：a 2，m 3,抛 物 线 的 方 程 为高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 11/18 22(3)yx.A(1，2)点关于 M(3，0)点的对称点为C(7，2)，故直线 l的方程为1(2)(7)3yx,即3130 xy【例 6】已知圆(x 4)2y225 的圆心为M1，圆(x 4)2y21 的圆心为M2，一动圆与这两个圆都外切.(1)求动圆圆心P的轨迹方程；(2)若过点 M2的直线与(1)中所求轨迹有两个交点A、B，求 AM1 BM1的取值范围.【解】(1)PM1 5 PM2 1，PM1 PM2 4动圆圆心 P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支.c4，a 2，b212，故所求轨迹方程为：221(2).412xyx1.当过 M2的直线倾斜角不等于2,设其斜率为k,直线方程为：(4)yk x.(4)yk x与双曲线221412xy联立，消去y 化简得：2222(3)816120kxk xk又设11(,),A xy22(,),B xy120,0 xx由2122212242283161236416(3)(41)0kxxkkx xkkkk解得：23.k由双曲线左准线方程x 1且e2，有 AM1 BM1=221212114()1e xe xx xxx高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 12/18 23361001003k2.又当倾斜角等于2,A(4，y1)，B(4，y2)，AM1 BM2 e(4 1)10 AM1 BM1=100 故AM1 BM1 100.【例 7】已知函数ynx1log2(x N).(1)当 n1，2，3，时，把已知函数的图像和直线y1 的交点的横坐标依次记为a1，a2，a3，求证a1a2a3 an1；(2)对于每一个n 的值，设An、Bn为已知函数的图像上与x 轴距离为1 的两点，求证n 取任意一个正整数时，以AnBn为直径的圆都与一条定直线相切，并求出这条定直线的方程和切点的坐标.【解】原函数ynx1log2(x N)可化为121log.yxn(1)当 y=1 时,可求得12nx,1111222nnnana是以12为首项,12为公比的等比数列.123111122111212nnnaaaa(2)同理可以求,nnAB的横坐标,可得,nnA B的坐标分别为1,1,2,12nn高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 13/18 21122222nnnnnnnA BnnA B中点 C(横坐标)到 Y轴的距离121222nnnnA B以 C为圆心,nnA B为直径的圆必定与Y轴相切,切点(0,0)【例 8】(1997年全国高考数学试题)设圆满足：截y 轴所得弦长为2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为31，在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线l：x2y0的距离最小的圆的方程.【解】设圆心 P(a,b),半径为 r,则 点 P到 x 轴,y 轴的距离分别为a,b,由题意知圆P截 X轴所得劣弧的圆心角为90圆 P截 X轴所得弦长=2r,故r2=2b2.又圆 P截 y 轴所得弦长=2,故 r2=a2+1222221rbra,2221ba.P(a,b)到直线 l：x2y0 的距离为2,5abd22225244dababab高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 14/18 222242()abab2221ba当且仅当a=b 时等号成立此时22,21abba1,1ab或1,1ab由于222rb,故2r.于是,所求圆的方程为221(1)2xy或221(1)2xy.【例 9】(1989年全国高考数学试题)(如图所示)自点 A(3，3)发出的光线L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y24x4y70 相切，求光线 L 所在的直线的方程.【解】圆方程x2 y2 4x4y70 可化为(x-2)2+(y-2)2=1 它关于 x 轴的对称圆C的方程是(x-2)2+(y+2)2=1,设光线 L 所在的直线的方程是y-3=k(x+3),(其中斜率k 待定)25511kdk解之得：34k或43k故所求直线的方程是y-3=34(x+3)或 y-3=43(x+3)即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0【例 10】已知圆C：x2(y 1)2 5，直线 l：mxy 1m 0.高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 15/18(1)求证：对m R，直线 l 与圆 C总有两个不同的交点(2)设直线 l 与圆 C交于 A、B两点，若 AB 17，求 l 的倾斜角；(3)若定点 P(1，1)分弦 AB为21PBAP，求此时直线l 的方程.【证法一】由22(1)510 xymxym消去 y 并整理,得2222(1)250mxm xm因为216200m,故直线 l 与圆 C总有两个不同的交点.【证法二】由已知直线l：mx y 1m 0,故直线 l 恒过定点P(1,1),定点 P(1,1)在圆 C：x2(y 1)25 内,故直线 l 与圆 C总有两个不同的交点.【证法三】圆心(0,1)到直直线l 的距离2151mdrm圆心(0,1)到直直线l 的距离小于半径,故直线 l 与圆 C总有两个不同的交点.(2)【解法一】11(,),A xy22(,),B xy则 x1,x2是方程2222(1)250mxm xm的两根2121ABmxx17222162011mmm所以解得m=3,所以 l 的倾斜角为3或23.【解法二】圆半径r=5,圆心(0,1)到直线 l 的距离22322ABdr,即2321mm所以解得m=3,所以l的倾斜角为3或23.高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 16/18(3)12APPB,12121112xx,2132xx (1)212221222(2)15(3)1mxxmmx xm由(1),(2),(3)得 m=1,此时直线l 的方程为 x-y=0 或 x+y-2=0.【同步精练】一、选择题1.若 a)2,6，则直线2xcos+3y+1=0 的倾斜角的取值范围是()A.)2,6 B.),65C.6,0D.)65,2(2.点 A(-2，1)，B(3，2)已知直线l：ax+y+2=0 与 AB的延长线总有交点(不含端点B)，则实数 a 的取值范围是()A.a51 B.34a51C.a23 D.51a233.直线 x+7y-5=0 分圆 x2+y2=1 所成两段弧长之差的绝对值是()A.B.4 C.23 D.24.当 aR 时，关于x,y的二元二次方程(x2+y2+x+y)-a(x+2y+1)=0表示的曲线是轴对称图形，其对称轴方程是()A.2x+4y+1=0 B.4x+2y+1=0C.4x-2y+1=0 D.2x-4y+1=0 5.已知两点M(1，45)，N(-4，-45)给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 x2+y2=3 高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 17/18 22x+y2=1 42x-y2=1 在曲线上存在点P，满足 MP=NP的所有曲线方程是()A.B.C.D.6.若点 P(m,0)到点 A(-3，2)及点 B(2，8)的距离之和最小，则m的值为 ()A.2 B.1 C.-2 D.-17.若方程 x+y-6yx+3k=0 仅表示一条直线，则实数k 的取值范围是()A.(-,3)B.(-,0)或 k=3 C.(-,0)或 k=3 D.k=38.已知两点A(-1，0)，B(0，2)，点 P是圆(x-1)2+y2=1 上任意一点，则PAB面积的最大值与最小值为()A.2，)54(21 B.)54(21，)54(21C.521，54 D.)25(21，)25(21二、填空题9.过点 P(1，2)且在两坐标轴上截距和为0 的直线方程是 _.10.已知集合A=(x,y)13xy=2,x,y R,B=(x,y)4x+ay=16 x,yR,若AB=，则实数a 的值为 _.11.直线 kx-y=2 与曲线2)1(1y=x-1 有两个不同交点的充要条件是k 的集合为_ 12.已知圆经过点P(0，2)，并且与圆x2+y2-x+2y-3=0相交的公共弦在直线5x+2y+1=0上，则该圆的方程为_.三、解答题13.已知点 P在直线 x=2 上移动，直线 l 过原点且与OP垂直.直线 m过点 A(1，0)及点 P，而与直线 l 交于点 Q，求点 Q的轨迹方程.14.某人有楼房一幢，室内面积共180m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为 18m2，可住游客5 名，每名游客每天住宿费为40 元；小房间每间面积15cm2，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费50 元；装修大房间每间需1000 元，装修小房间每间需600 元.如果他只能筹款8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益?高中数学专题十直线与圆教案新人教 A 版必修 2 18/18 15.将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中如图所示.已知 AB=OB=1，AB OB，点 P(21，41)是三角板内一点.现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的直线 MN将三角形锯成AMN.问：应如何确定直线MN的斜率，可使锯成的 AMN 的面积最小?