高中数学必做100题选修1-1.pdf
073.已知4:223xp,22:210(0)q xxmm,若qp是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解：p 是 q 必要不充分条件，qp，即pq.解4:223xp得210 x，即：:210px.解22:210q xxm变形为(1)(1)0 xmxm，解得11mxm，即:11qmxm.由pq，则12110mm，解得9m.所以实数m的取值范围9m。074.点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4lx的距离的比是常数45，求 M 的轨迹.解：设d是点M到直线25:4lx的距离，根据题意得，点M的轨迹就是集合45MFPMd，由此得22(4)42554xyx。将上式两边平方，并化简，得22925225xy。即221259xy。所以，点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6 的椭圆。075.双 曲 线 的 离 心 率 等 于52，且 与 椭 圆22194xy有公共焦点，求此双曲线的方程.解：椭圆22194xy焦点为(5,0)F，根据题意得双曲线的焦点为(5,0)F，设双曲线的标准方程为22221xyab，且有5c。又由52cea，得2a，得222541bca，所求双曲线的方程为2214xy。076.倾斜角为4的直线 l 经过抛物线24yx的焦点，且与抛物线相交于A、B 两点，求线段 AB 的长.解：设1122(,),(,)A xyB xy，,A B到准线的距离分别为,ABdd，由抛物线的定义可知121,1ABAFdxBFdx，于是122ABAFBFxx。由已知得抛物线的焦点为(1,0)F，斜率tan14k，所以直线AB方程为1yx。将1yx代入方程24yx，得2(1)4xx，化简得2610 xx。由求根公式得1232 2,32 2xx，于是1228ABxx。所以，线段AB 的长是 8。077.当从0到180变 化 时，方 程22cos1xy表示的曲线的形状怎样变换？解：当0时，cos01，方程221xy表示圆心在原点的单位圆。当900时，1cos0，方程22cos1xy表示圆心在原点的单位圆。当90时，cos900，方程21x，得1x表示与y轴平行的两条直线。当18090时，cos0，方程22cos1xy表示焦点在x 轴上的双曲线。当180时，cos1801，方程221xy表示焦点在 x 轴上的等轴双曲线。078.一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52 米，拱顶距离水面6.5 米.（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；（2）若一竹排上有一4 米宽 6 米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？解：（1）设抛物线方程22xpy.由题意可知，抛物线过点(26,6.5)，代入抛物线方程，得22613p，解得52p，所以抛物线方程为2104xy.（2）把2x代入，求得126y.而16.560.526，所以木排能安全通过此桥.oyx079.已知椭圆 C 的焦点分别为F1（22，0）和F2（22，0），长轴长为6，设直线y=x+2 交椭圆C 于 A、B 两点.求：（1）线段 AB 的中点坐标；（2）弦 AB 的长.解：设椭圆C 的方程为22221xyab，由题意 a=3，c=22，于是 b=22ac=1.椭圆 C 的方程为29xy21联立方程组22219yxxy，消 y 得 10 x236x 270，因为该二次方程的判别式0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1x2185，故线段 AB 的中点坐标为（9 1,5 5）080.在抛物线24yx上求一点P，使得点P 到直线:40l xy的距离最短,并求最短距离.解：设 与 直 线:40lxy平 行，且 与 抛物 线24yx相切的直线为0 xyk.由204xykyx，消 x 得2440yyk.24160k，解得1k，即切线为10 xy.由2104xyyx，解得点(1,2)P.最短距离22|41|3 2211d.081.点 M 是椭圆2216436xy上的一点，F1、F2是左右焦点，F1MF2=60o，求 F1MF2的面积.解：由2216436xy，得a=8，b=6，222 7cab.根据椭圆定义，有12|216MFMFa.在 F1MF2中，由余弦定理，得到22212121212|2|cosF FMFMFMFMFF MF.即2221212(4 7)|2|cos60MFMFMFMFF1OF222121221212212112|(|)3|163|MFMFMFMFMFMFMFMFMFMF，解得12|48MFMF.F1MF2的面积为：12121|sin2148sin6012 32SMFMFF MF.082.已知三点P（5，2）、1F（6，0）、2F（6，0）.（1）求以1F、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点 P、1F、2F 关于直线yx 的对称点分别为P、1F、2F，求以1F、2F为焦点且过点P的双曲线的标准方程。解：（1）设所求椭圆方程为22221xyab(ab0),其半焦距 c=6，22221221121265aPFPF3 5a,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为221459xy（2）点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x 的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).设所求双曲线的标准方程为221122111(0,0)yxabab，由题意知，半焦距 c1=6，11222222112124 5aP FP F，12 5a,b12=c12-a12=36-20=16.所以，所求双曲线的标准方程为2212016yx083.已知函数()xf xxe（e为自然对数的底）.（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）求曲线()yfx在点(1,(1)f处的切线方程.解：()()(1)xxf xxefxex，因此有（1）令()01fxx，即函数()f x的单调递增区间是(1,)；（2）因为(1)fe，(1)2fe，所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为2(1)yee x，即20exye.084.设函数321()233f xxxx.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)的极大值和极小值.解：f(x)=x2+4x3=(x 3)(x 1),（1）由 f(x)0，解得：1x3；由 f(x)0，解得：x3，则函数 f(x)的单调递增区间为（1,3），单调递减区间为（，1）和（3，+）.（2）由 f(x)=0，解得：x=1 或 x=3.列表如下：x(，1)1(1,3)3(3,+)f(x)0+0f(x)单调递减43单调递增0单调递减函数 f(x)的极大值为0，极小值为43.085.已知函数26()axf xxb的图象在点(1,(1)Mf处的切线方程为250 xy.（1）求函数()yfx的解析式；（2）求函数()yfx的单调区间.解：（1）26()axf xxb，222()2(6)()()a xbx axfxxb.又函数()f x的图象在点(1,(1)Mf处的切线方程为 x+2y+5=0，12(1)50,f1(1)2,(1).2ff即2,3,ab解得(10,1)bb舍去所求函数解析式为226()3xf xx.（2）2222126().(3)xxfxx()0,fx令解得1232 3,32 3.xx当32 3x或32 3x时，()0;fx当32 332 3x时，()0.fx226()3xf xx在(,32 3)和(32 3,)内是减函数，在(32 3,32 3)内是增函数.086.已知 a 为实数，2()(4)()f xxxa，（1）求导数()fx；（2）若(1)0f，求()f x在2,2上的最大值和最小值；（3）若()f x在(,2)和2,上都是增函数，求 a 的取值范围.解：（1）因为2()(4)()f xxxa=3244xaxxa，所以2()324fxxax.（2）由(1)0f，得12a，此时有21()(4)(),2f xxx所以2()34fxxx由()0fx，得43x或1x,又因为4509(),(1),(2)0,(2)03272ffff，所以()f x在2,2上的最大值为92，最小值为5027.（3）2()324fxxax的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.由条件得(2)0,(2)0,ff即480840aa，解得22a.所以 a 的取值范围为2,2.087.用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90 角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x，容器的体积为V，则 V=（90-2x）（48-2x）x，（0 x0 得 x 36 或 x10；令 V0 得 10 x36.函数在(0,10)上递增，在(10,24)上递减.当 x=10 时，V 有极大值(10)V=19600.又(0)V=0，(24)V=0，所以当 x=10 时，V 有最大值(10)V=19600cm3.088.已知函数()f x32xaxbxc 在23x与1x时都取得极值，（1）求 a、b 的值与函数()f x 的单调区间.（2）若对1,2x时，不等式2()f xc 恒成立，求 c 的取值范围.解：（1）()f x32xaxbxc，2()32fxxaxb.由2()3f124093ab，(1)f320ab得a12，b 22()32(32)(1)fxxxxx，当 x 变化时，()fx、()f x的变化情况如下表：x2(,)3232(,1)31(1,)()fx00()f x极大值2227c极小值32c函数()f x 的递增区间是（，23）和（1，）；递减区间是（23，1）.（2）()f x x312x22xc1,2x，又2()3f2227c，3(1)2fc，1(1)2fc，(2)fc+2.(2)fc+2 为最大值.要使2()f xc 在1,2x恒成立，只需2(2)cfc+2，解得 c 1 或 c 2.
