2020届河南省南阳市一中2017级高三第十五次考试数学(理)试卷参考答案.pdf

南阳一中2020 年春期高三第十五次考试南阳市一中2020 年春期高三第十五次考试数学（理）试题答案本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。全卷满分150 分，考试时间 120 分钟。第卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集UR，2|2,Ax yxx|2,xBy yxR，则()RC AB（）A|0 x xB|01xxC|12xxD|2x x【答案】D【解析】,20 xxRy,即|0Bx x|02Axx,|02UC Ax xx或,|2UC ABx x故 D 正确2如图所示是一枚8 克圆形金质纪念币，直径20mm，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1 粒芝麻向硬币内投掷100 次，其中恰有30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A230mmB236310mmC23635mmD220mm【答案】A【详解】解：利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率30310010P，设军旗的面积为S，南阳一中2020 年春期高三第十五次考试由题意可得：231010S，所以2231030()10Smm故选：A3已知复数531izi，则下列说法正确的是（）Az的虚部为4iBz的共轭复数为14iC5zDz在复平面内对应的点在第二象限【答案】B【解析】试题分析：iiiiiiiiz4128211135135，虚部是4，模是17，对应的点是4,1在第一象限，共轭复数是i 4-1，故选 B4已知等比数列na的前n项和为nS，若423SS，且2615aa，则4a()A8B6C4D2【答案】B【详解】当数列na的公比1q时，414Sa，2136Sa，423SS，1q.421111311aqaqqq，得22q.4262115aaaq，23a，2426aa q.故选：B.5已知函数xya，byx，logcyx的图象如图所示，则（）A abcBacbCcabDcba【答案】C【解析】试题分析：由图象有1,01,1abc,所以b最小,对于南阳一中2020 年春期高三第十五次考试,1,xyaxya,看图象有12x,所以 12a对于log,1,cyx ycx,看图象有23x,所以23c,故cab,选 C.6 定义在 R 上的偶函数fx满足2fxfx，且在3,2上是减函数，锐角,是钝角三角形的两个内角，则下列不等式关系中正确的是（）AsincosffBcoscosffCcoscosffDsincosff【答案】D【详解】偶函数fx满足2fxfxfx，函数fx关于1x对称，且周期2T.fx在3,2上是减函数，所以在1,0上是减函数，在0,1上是增函数.又2，022，0sinsincos12，sincosff.故选:D7从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（）A5 2B6 2C9D10【答案】C【解析】由题意可知几何体是四棱锥，如图，所以几何体的体积是两个三棱锥的体积的和，2020届河南省南阳市一中2017级高三第十五次考试数学（理）试卷南阳一中2020 年春期高三第十五次考试即112333932故选：C8如图给出了计算601614121的值的程序框图，其中分别是()A2,30nniB2,30nniC1,30nniD1,30nni【答案】B【解析】试题分析：算法的功能是计算601614121的值，循环体循环的次数为30，跳出循环的i 值为 31，判断框内应填的条件为i 31 或 i 30；根据 n 值的变化规律得执行框应填n=n+29.将函数sin3yx横坐标缩短一半，再向右平移6 个单位长度，所得图象对应的函数,下列命题不正确的有几个（）在区间,44上单调递增，在区间35,44上单调递减南阳一中2020 年春期高三第十五次考试 有一条对称轴为6x，?有一个对称中心为,04A.3B.2C.1D.4【答案】A【解析】将函数sin3yx横坐标缩短一半，再向右平移6个单位长度得到sin 2sin 263yxx.当,44x时，2,22x，则函数sin2yx在区间,44上单调递增，当35,44x时，352,22x，则函数sin 2yx在区间35,44上单调递增，当6x时，3sin 2162y，直线6x不是函数2sin 2yx 图象的一条对称轴当4x时，sin2sin1042y，则,04不是函数sin 2yx图象的一个对称中心，故选：A.10 已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点F到其准线的距离为4，圆22():21Mxy，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B 四点，则4APBQ的最小值为（）A9B11C13D15【答案】C 因为抛物线2:2(0)C ypx p的焦点F到其准线的距离为4，所以4p，因此2:8C yx，焦点(2,0)F，设11,A x y，22,B xy，当直线l斜率存在时，设直线:(2)lyk x，2020届河南省南阳市一中2017级高三第十五次考试数学（理）试卷南阳一中2020 年春期高三第十五次考试由2(2)8yk xyx得22(2)80kxx，整理得：22224840k xkxk，因此124x x，所以214xx，（由题意易知：12x）又22():21Mxy的半径为1，即1FPFQ，由抛物线的定义可得：1122pAFxx，2222pBFxx，因此111APAFx，211BQBFx，所以12111614452 165143xxxxAPBQ，当且仅当1116xx，即14x时，等号成立；当直线l斜率不存在时，易得213APBQ，此时145APBQ；综上，4APBQ的最小值为13.11已知存在正实数x，y 满足2222()(lnln)0axxyyx，则实数a 的取值范围是（）A,0B0,1C0,D1,【答案】C【详解】令0ytx，则2222lnln0axxyyx，等价于221 nlatt，令2l1 nh ttt，当1t时，210t，ln00th t，同理当01t时10h，当1t时0h t所以0h t所以0,a南阳一中2020 年春期高三第十五次考试故选：C12将给定的一个数列na：1a，2a，3a，按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将1a作为第一组，将2a，3a作为第二组，将4a，5a，6a作为第三组，依次类推，第n组有n个元素（*nN），即可得到以组为单位的序列：1()a，23()a a,，456(,)aa a，我们通常称此数列为分群数列.其中第 1个括号称为第1 群，第 2 个括号称为第2 群，第 3 个数列称为第3 群，第n个括号称为第n群，从而数列na称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m个群众，且从第m个括号的左端起是第k个，则称这个元素为第m群众的第k个元素.已知数列 1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，将数列分群，其中，第1 群为（1），第 2 群为（1,3），第 3 群为（1,3，23），以此类推.设该数列前n项和12nNaaa，若使得14900N成立的最小na位于第m个群，则m（）A11B10C9D8【答案】B【解析】由题意得到该数列的前r 组共有11234.2rrr个元素，其和为12211323113133.133.324rrr rrS则 r=9 时，1032934514757,10,5544281149004SrS故使得 N14900 成立的最小值a 位于第十个群.故答案为：B.二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13已知,a b为单位向量，且a b=0，若25cab，则cos,a c_.【答案】23.【详解】2020届河南省南阳市一中2017级高三第十五次考试数学（理）试卷南阳一中2020 年春期高三第十五次考试因为25cab，0a b，所以225a caa b2，222|4|4 55|9caa bb，所以|3c，所以cos,a c221 33a cac14已知函数112()22xxfx，对于R，xR，使得22cos()sin1mf xm成立，则实数m的取值范围是 _.【答案】32(,1)(,)22【详解】11211()22212xxxf x，由211x，得10112x，11()22f x，即()f x 的值域是1(2，1)2对于R，xR，使得2cos()mf x，转化为只要2()()cosmf x最大值最大值，2112m，212m；对于R，xR，2()sin1f xm，转化为只要2()(1)fxsinm最小值最小值，32m，解不等式组21232mm，得3222m或22m；由22cossin1mm对于R恒成立，22cossin1mm，22cossincoscos11，211mm，解得：0m或1m；故m的取值范围是32(,1)(,)22.南阳一中2020 年春期高三第十五次考试故答案为：32(,1)(,)22.15已知12,F F分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，过2F与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若213PFPF，则双曲线的离心率为_.【答案】3设过2F与双曲线的一条渐近线byxa平行的直线交双曲线于点P，由双曲线的定义可得12|2PFPFa，由12|3|PFPF，可得1|3PFa，2|PFa，12|2F Fc，由12tanbF F Pa可得12221cos1aF F Pcba，在三角形12PF F中，由余弦定理可得：222121221212|2|cosPFPFF FPFF FF F P，即有2229422aaacacc，化简可得，223ca，则双曲线的离心率3cea16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_【答案】268 6729【解析】(1)每个三角形面积是1331224S，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，可求出该四面体的高为236133，故四面体体积为136234312，2020届河南省南阳市一中2017级高三第十五次考试数学（理）试卷南阳一中2020 年春期高三第十五次考试因此该六面体体积是正四面体的2 倍，所以六面体体积是26；(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R，所以213666349RR，所以球的体积334468 6339729VR.三、解答题：本大题共6 小题，共70 分。17 某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道（不考虑宽度），BE 为赛道内的一条服务通道，23BCDCDEBAE，DE4km，3BCCDkm.（1）求服务通道BE 的长度；（2）应如何设计，才能使折线段赛道BAE最长？【详解】（1）连接BD，在BCD中，由余弦定理得：2222BDBCCDBCcos9CDBCD，3BD.BCCD，6CBDCDB，又23CDE，2BDE，在Rt BDE中，225BEBDDE6分（2）在BAE中，23BAE，5BE.由余弦定理得2222cosBEABAEAB AEBAE，即2225ABAEAB AE，故225ABAE22ABAEAB AE，从而23254ABAE，即10 33ABAE，南阳一中2020 年春期高三第十五次考试当且仅当ABAE时，等号成立，即设计为ABAE时，折线段赛道BAE最长.12分18如图所示，在四面体ABCD中，ADAB，平面ABD平面ABC，22ABBCAC，且4ADBC.（1）证明：BC 平面 ABD；（2）设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角CBDE的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）306【解析】（1）证明：因为ADAB，平面ABD平面ABC，平面ABD平面ABCAB，AD平面ABD，所以AD平面ABC，因为BC平面ABC，所以ADBC.因为22ABBCAC，所以222ABBCAC，所以ABBC，因为ADABA，所以BC平面ABD.5分（2）解：设(04)ADxx，则4ABBCx，四面体ABCD的体积1132Vfxx232148166xxxx(04)x.21316166fxxx14346xx，当403x时，0fx，Vfx单调递增；当443x时，0fx，Vfx单调递减.故当43ADx时，四面体ABCD的体积取得最大值.以 B 为坐标原点，建立空间直角坐标系Bxyz，则0,0,0B，80,03A，8,0,03C，8 40,3 3D，4 4,03 3E.2020届河南省南阳市一中2017级高三第十五次考试数学（理）试卷南阳一中2020 年春期高三第十五次考试设平面BCD的法向量为(,)nx y z，则00n BCn BD，即80384033xyz，令2z，得(0,1,2)n，同理可得平面BDE的一个法向量为(1,1,2)m，则530656.由图可知，二面角CBDE为锐角，故二面角CBDE的余弦值为30612 分19某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位：mm）在正常环境下服从正态分布68 36N，.（1）一顾客购买了20 个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56mm的概率；（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是 2009 年至 2018 年，该果园每年的投资金额x（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：该果园为了预测2019 年投资金额为20 万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型；模型：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：2.5020?.5yx；模型：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：lnybxa的附近，对投南阳一中2020 年春期高三第十五次考试资金额x做交换，令lntx，则yb ta，且有10122.00iit，101230iiy，101569.00iiit y，102150.92iit.（I）根据所给的统计量，求模型中y关于x的回归方程；（II）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数2R，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20 万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.回归模型模型模型回归方程2.502 0?.5yxl?nybxa1021?iiiyy102.2836.19附：若随机变量2XN，则220.9544PX，330.9974PX；样本,1 2iityin，的最小乘估计公式为121?niiiniittyybtt，?aybt；相关指数22121?1niiniiyyRyy.参考数据：200.97720.6305，200.99870.9743，ln 20.6931，ln 51.6094.【详解】（1）由已知，当个“糖心苹果”的果径2XN，则68，6.由正态分布的对称性可知，2020届河南省南阳市一中2017级高三第十五次考试数学（理）试卷南阳一中2020 年春期高三第十五次考试1115616812681212210.95440.0228222PXPXP设一顾客购买了20 个该果园的“糖心苹果”，其中果径小于56mm的有个，则20,0.0228B，故2020110110.022810.97720.3695PP，所以这名顾客所购买20 个“糖心苹果”中有果径小于56mm的苹果概率为0.36954 分（2）（I）由10122.00iit，101230iiy，可得2.20t，23y又由题，得112221110569.00102.20232550.9210?2.202.2010nniiiiiinniiiittyyt ytybtttt，则23252?.2032?aybt所以，模型中y关于x的回归方程25l32?nyx8分（II）由表格中的数据，有102.2836.19，即10102211102.2836.19iiiiyyyy，所以模型的2R小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好，当20 x时，模型的年利润增量的预测值为25ln2032252ln2ln5322520.69311.60943242.8?9y（万元），这个结果比模型的预测精度更高、更可靠12分20已知椭图1C：222210 xyabab的右顶点与抛物线2C：220ypx p的焦点重合，椭圆1C的离心率为12，过椭圆1C的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4 2.（1）求椭圆1C和抛物线2C的方程；（2）过点4,0A的直线l与椭圆1C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论.南阳一中2020 年春期高三第十五次考试【详解】（1）设椭圆1C的半焦距为c，依题意，可得2pa，则2C：24yax，代入xc，得24yac，即2yac，所以44 2ac，则有222212accaabc，2,3ab.所以椭圆1C的方程为22143xy，抛物线2C的方程为28yx.4分（2）依题意，当直线l的斜率不为0 时，设其方程为4xty，联立2243412xtyxy，得223424360tyty，设11,Mx y，22,Nxy，则11,E xy，由，解得2t或2t，且1222434tyyt，1223634y yt，根据椭圆的对称性可知，若直线EN过定点，此定点必在x轴上，设此定点为,0Q m，因斜率NQEQkk，得2121yyxmxm，即12210 xm yxm y，即1221440tym ytym y，即1212240ty ymyy，即2236242403434ttmtt，得3410mtmt，由t的任意性可知1m.当直线l的斜率为0 时，直线EN的方程即为0y，也经过点1,0Q，所以当2t或2t时，直线EN恒过一定点1,0Q.12 分21.已知函数()(0)xxfxexaea.（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点1x，2x，且12121120 xxm xx，求实数m的取值范围.21.【详解】（1）由xxfxexae，2020届河南省南阳市一中2017级高三第十五次考试数学（理）试卷南阳一中2020 年春期高三第十五次考试得12xxfxexae.令0fx，得120 xxae，即12exxa，令1xxg xe，则10g，且xxgxe，由0gx得0 x.当0 x时，0gx，g x在,0 x单调递增；当0 x时，0gx，g x在0,x单调递减.所以，max01g xg，且当1x时，0g x；当1x时，0g x.所以，当021a，方程12exxa有两解，不妨设为12xx故当1(,)xx时，()0fx，故fx单调递减，当12(,)xx x时，()0fx，故fx单调递增，当2(,)xx时，()0fx，故fx单调递减，即102a时，fx有两个极值点；当21a，12exxa恒成立，故fx单调递减，即12a时，fx没有极值6分（2）不妨设12xx，由（1）知102a，1210 xx，则121212 e12 exxxaxa，两边取对数，所以11221212ln xlnaxln xlnax，南阳一中2020 年春期高三第十五次考试所以2121ln1ln1xxxx，即2121ln1ln111xxxx.令111xt，221xt，则120tt，2121lnlntttt.因为12121120 xxm xx，即1 2120t tm tt，所以221 22121lnln0t tttm tt，即221112ln0tttmttt，设21ttt，则1t，且1ln0tm tt.易知0m.记1lnh ttm tt，则10h，且222111mttmh tmttt，考查函数2u tmttm，214m.当12m时，0，则0u t，即0h t，所以h t在1,上单调递减，所以当1t时，10h th，所以当12m时符合题意.当102m时，0，u t有两个不同零点，且1，10m，不妨设，则01，当1t时，0u t，则0ht，所以h t在1,上单调递增，故存在01,t，使得010h th，所以，当102m时，不符合题意，综上，m的取值范围是1,2.12分2020届河南省南阳市一中2017级高三第十五次考试数学（理）试卷南阳一中2020 年春期高三第十五次考试选做题 22 在直角坐标系xOy中，圆 C 的参数方程为2cos22sin2xryr（为参数0r）以 O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程2sin42（1）求圆心的极坐标（2）若圆 C 上点到直线的最大距离为3，求r的值（1）51,4（2）222r【解析】（1）将圆的参数方程化为圆的直角坐标方程为2222222xyr（圆心坐标为22C,222222122圆心 C 在第三象限54圆心极坐标为51,4.5分（2）圆 C 上点到直线l的最大距离等于圆心C 到l距离与半径之和直线l的直角坐标方程为x+y-1=02212232r所以222r.10分选做题 23已知函数|1|2|fxxx.南阳一中2020 年春期高三第十五次考试（1）求不等式5fx的解集；（2）若不等式21fxxax的解集包含1,1，求实数a的取值范围.1(1)3,2；(2)1,1.【详解】（1）当2x时，5fx等价于215x，解得3,2x；当21x时，5fx等价于35，恒成立，解得2,1x；当1x时，5fx等价于215x，解得1,2x；综上所述，不等式的解集为3,2.(5分)（2）不等式21fxxax的解集包含1,1，等价于21fxxax在区间1,1上恒成立，也等价于220 xax在区间1,1恒成立.则只需22g xxax满足：10g且10g即可.即120,120aa，解得1,1a.(10分)2020届河南省南阳市一中2017级高三第十五次考试数学（理）试卷