【最新】2020届浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 20 页2020 届浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试题一、单选题1已知集合1,2,3M，2,3,4N，则MN（）A1,2,3,4B3,4C1,4D2,3【答案】A【解析】根据并集定义计算【详解】由题意1,2,3,4MN故选：A【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题2已知复数z满足1210z i，其中 i 为虚数单位，则复数z的虚部是（）A12B12C12iD12i【答案】B【解析】由复数的综合运算求出z后可得其虚部【详解】由题意210iiz，21(1)112222ii iziii，其虚部为12故选：B【点睛】本题考查复数的概念，考查复数的综合运算在复数(,)abi a bR中，a是实部，b是虚部，注意虚部是一个实数3在ABC中“sinAsinB”是“cosAcosB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】试题解析：必要性在ABC 中，“cosA cosB”，由余弦函数在（0，）是减函数，故第 2 页 共 20 页有 AB，若 B 不是钝角，显然有“sinA sinB”成立，若 B 是钝角，因为A+B ，故有 A -B2，故有 sinAsin（-B）=sinB 综上，“cosA cosB”可以推出“sinA sinB”：充分性：由“sinA sinB”若 B 是钝角，在 ABC 中，显然有0AB，可得，“cosA cosB”若 B 不是钝角，显然有0AB2，此时也有cosAcosB 综上，“sinA sinB”推出“cosA cosB”成立故，“cosA cosB”是“sinA sinB”的充要条件点评：解决本题的关键是掌握充要条件的判断方法，利用原命题真假证充分性，逆命题的真假证明必要性，4若0a，0b，且11abab，则22ab的最小值为（）A2 B2 2C4 D4 2【答案】C【解析】已知等式应用基本不等式得到ab的最小值，然后再在待求式应用基本不等式可得结论【详解】0,0ab，1112ababab，2ab，当且仅当ab，即2ab时等号成立，2224abab，当且仅当ab时等号成立，综上22ab的最小值是4故选：C【点睛】本题考查用基本不等式求最值，基本不等式求最值时，尽是少用基本不等式，最好恰到好处地只用一次，如果要多次应用基本不等式，必须每次应用时等号成立的条件是相同的，这样最后才能取得最值5设 m，n 是两条异面直线，则下列命题中正确的是（）A过 m 且与 n 垂直的平面有且只有一个第 3 页 共 20 页B过 m 且与 n 平行的平面有且只有一个C过空间一点P与 m，n 都平行的平面有且只有一个D过空间一点P与 m，n 都垂直的平面有且只有一个【答案】B【解析】根据异面直线的概念、线面平行的判定、线面垂直的性质逐项判断.【详解】A 选项，设过 m的平面为，若n，则nm，故若 m 与 n不垂直，则不存在过m的平面与 n垂直，故不正确；B 选项，过 m上一点 P作 n 的平行直线l，则 m 与 l 确定一平面，由l，n，故/n，正确；C 选项，当点P 在 m 或 n 上，满足条件的平面不存在，故错误；D 选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，则/m n，与 m，n 是两条异面直线矛盾，错误.故选：B【点睛】本题考查对异面直线的理解，有关直线、平面之间的位置关系的命题的判断，考查空间想象能力，属于基础题.6已知数列na满足11a，24a，且11112(2,)nnnnnaaannNnn，则nan的最大值为（）A4924B 1 C2 D53【答案】C【解析】首先根据题意和递推公式，可知11211(2,)nnnnananannN,，由此即可证明数列nna是以1为首项，7 为公差的等差数列，求出76nnan，进而求出276,*nannnNn，再根据二次函数的性质和数列的特点，即可求出最值.【详解】因为11112(2,)nnnnnaaannNnn，所以11211(2,)nnnnananannN,所以数列nna是等差数列，第 4 页 共 20 页又11a，24a，所以数列nna是以1为首项，212721aa为公差的等差数列，所以76nnan，所以22276761749=6+,*1224nnnNnnnann，所以当2n时，nan取最大值，最大值为76224.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式和等差数列的定义求通项公式，同时考查了利用数列的函数性质求最值，属于中档题.7一条直线把平面分成两部分，两条直线把平面最多分成4 部分，若n 条直线把平面分成最多fn部分，则1n直线把平面分成最多1fn为（）A2f nnB1fnnCfnnD1f nn【答案】D【解析】只要考虑第1n条直线与前n条直线的交点个数即可得【详解】第1n条直线与前n条直线的交点个数最多是n，这n个交点把第1n条直线分成1n个部分（有两条射线，其余都是线段），每个部分把它所在原来的区域分成两部分，因此共多了1n个部分，即(1)()1f nf nn故选：D【点睛】本题考查归纳推理，直线分平面区域问题解题时我们寻找的是递推关系，即(1)f n与()f n的关系，思考问题变成在平面上已有n条直线的基础上，加上第1n条直线会发生什么，出现什么变化，由此可归纳出结论8边长为1 的正方体1111ABCDA B C D的棱上有一点P，满足1|5PBPD，则这样的点共有（）A6 个B 9 个C12 个D18 个【答案】A【解析】P应是椭圆体与正方体与棱的交点，满足条件的点应该在棱111111,A B AA CD CCB CAD的中点满足条件，由此能求出结果第 5 页 共 20 页【详解】正方体1111ABCDA B C D的棱长为 1，13BD，1|5PBPD，点P是以23c为焦距，以52a为长半轴，以22为短半轴的椭圆体，P在正方体的棱上，P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱111111,A BAA CD CCB CAD上的中点故选：A.【点睛】本题考查满足条件的点的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养9已知椭圆的两焦点1F，2F和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos4F PF，椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，则2212ee的最小值为（）A1514B152C14D154第 6 页 共 20 页【答案】A【解析】设1PFx，2PFy，不妨设P在第一象限，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2a，122F Fc，由椭圆与双曲线的定义用,a a表示出,x y，然后用余弦定理得出,a a c的关系即12,e e的关系式，然后由基本不等式求得最小值【详解】设1PFx，2PFy，不妨设P在第一象限，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2a，122F Fc，则22xyaxya，解得xaayaa，在12PF F中由余弦定理得222121212122cosF FPFPFPFPFF PF，22222114242cxyxyxyxy，1cea，2cea，222221354()()()()222caaaaaaaaaa，2212358ee，22222212121222221221531351888eeeeeeeeee221222215311158282 151884eeee，当且仅当2212222153eeee时等号成立所以2212ee的最小值为1514故选：A【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义，考查它们的离心率，解题关键是利用定义表示出焦半径12,PFPF，然后用余弦定理求得12,e e的关系式，用基本不等式求得最小值10若实数 a，b 满足22ln(2)l422nabab，则（）A124abB1224abC23abD241ab【答案】A【解析】由题得222 2ln220a ba b，构造函数()ln22(0)g xxxx，第 7 页 共 20 页求出函数()g x最大值即得解.【详解】由题得222222+84+84lnln4 24ln(2),=2222222bbaa baaa bba b，所以222 2ln220a ba b当且仅当28ab时取等.令()ln22(0)g xxxx，则()0g x，所以111()xg xxxx，所以函数在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减.所以()(1)0g xg，所以()0g x，所以221a b，又28ab，所以1,24ba.所以124ab.故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、双空题11281(1)()xxxx的展开式的各项系数和为_;常数项为 _【答案】256126【解析】令1x，即可得出展开式的各项系数和，由二项式的展开式的通项，即可得出常数项.【详解】令1x，则281(1)()xxxx的展开式的各项系数和为第 8 页 共 20 页2881 1 1(1 1)225681xx展开式的通项为818 288rrrrrC xxC x令820r，解得4r，此时0 x的系数为488765704321C令821r，解得92r，由于0,8r且rZ，则92r不成立令822r，解得=5r，此时2x的系数为588 7 6 5456543 2 1C所以281(1)()xxxx的展开式的常数项为1 701 56126故答案为：256；126【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题.12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_，表面积为_【答案】64332162【解析】根据三视图还原几何体为四棱锥，利用棱锥的体积公式可求得该几何体的体积，四个直角三角形面积与一个正方形面积和为此几何体的表面积.【详解】该几何体为图中四棱锥BCDEF，其中底面EFCD 是边长为4 的正方形，4BE，第 9 页 共 20 页所以该几何体的体积为1644 44=33，表面积为1144244244 23216 222.故答案为：643；32162【点睛】本题考查求三视图还原几何体的体积与表面积，属于基础题.13已知点4,4A在抛物线22(0)ypx p上，该抛物线的焦点为F，过点 A 作直线:2px的垂线，垂足为B，则p_，BAF的平分线所在的直线方程为 _【答案】2 240 xy【解析】代入A点坐标可求得p，BAF的平分线据直线即为直线AF的倾斜角的平分线所在直线，由此易得其斜率【详解】点4,4A在抛物线22(0)ypx p上，2424p，2p，则(1,0)F，44413AFk，设直线AF的倾斜角为，则22tan42tan31tan2，解得1tan22（tan22舍去），因为ABl，所以/ABx轴，所以AF的倾斜角的平分线所在直线即为BAF的平分线所在的直线，所以其方程为14(4)2yx，即240 xy故答案为：2；240 xy【点睛】本题考查由抛物线上点的坐标求抛物线的焦参数p，考查求直线方程解题关键是确定BAF的平分线所在的直线即为AF的倾斜角的平分线所在直线14某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有_种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有_种不同的排法（用具体数字作答）【答案】720288【解析】根据语文、数学、英语、物理、化学、体育的全排列得出第一空；第 10 页 共 20 页分类讨论体育所在节数，由分类加法计数原理得出第二空.【详解】某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有66720A种不同的排法当体育在第一节时，在第三，四，五，六节中选2 节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有234312672A A种不同的排法当体育在第二节时，在第四，五，六节中选2 节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636AA种不同的排法当体育在第三节时，在第一，五，六节中选2 节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636AA种不同的排法当体育在第四节时，在第一，二，六节中选2 节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636AA种不同的排法当体育在第五节时，在第一，二，三节中选2 节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636AA种不同的排法当体育在第六节时，在第一，二，三，四节中选2 节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有234312672A A种不同的排法则若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有722364288种不同的排法故答案为：720；288【点睛】本题主要考查了全排列问题和不相邻排列问题，涉及了分类加法计数原理的应用，属于中档题.三、填空题15一个扇形的周长是6 厘米，该扇形的中心角是1 弧度，该扇形的面积是_【答案】2 平方厘米【解析】利用扇形的弧长公式以及面积公式求解即可.【详解】设扇形的半径为r厘米，弧长为l厘米1lrr（厘米）第 11 页 共 20 页扇形的周长是6 厘米2236rlrrr（厘米），即2r（厘米）112 2222Slr（平方厘米）故答案为：2平方厘米【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式以及面积公式，属于基础题.16 已知棱长为1的正方体1111ABCDA B C D，球O与正方体的各条棱相切，P为球O上一点，Q是1ABC的外接圆上的一点，则线段PQ长的取值范围是_【答案】3232,2222【解析】先求出与正方体的各条棱都相切的球半径22r和正方体的外接球半径32R，在根据题意即可求解.【详解】解：设与正方体的各条棱都相切的球的球心为O，其半径22r，正方体的外接球的球心为O，则1ABC的外接圆为正方体的外接球的一个小圆，且正方体的外接球半径32R，又因为点P在与正方体的各条棱都相切的球面上运动，点Q在1ABC的外接圆上运动，所以线段PQ长度的最小值是正方体的外接球的半径减去与正方体的各条棱都相切的球的半径，线段PQ长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各条棱都相切的球的半径，由此可得线段PQ的取值范围是3232,2222.故答案为：3232,2222【点睛】本题考查正方体的棱切球与外接球的问题，考查空间思维能力，是中档题.17设 O 为ABC的外心，a，b，c分别为A，B，C的对边，且032OA BCOB CAOC AB，则cosB的最小值为 _第 12 页 共 20 页【答案】34【解析】先证明221=)2BCOAcb（，221()2OB CAac，221()2OC ABba，再利用余弦定理和基本不等式即得解.【详解】由平面向量数量积的定义可知，211|cos|22AB AOABAOBAOABABAB，同理可得，21|2AC AOAC，221()(|2)BC AOACAB AOACAB，所以22221(|1)=)22BCABACOAcb（，同理：22221(|12|)()|2BCOB CABAac，22221(|1)()|22OC ABCACBba.由题得2360OA BCOB CAOC AB，所以2222223()3()02cbacba，所以2223144bac，由余弦定理得22222221313234444cos2224acacacbBacacac.当且仅当3ac时取等.所以cosB的最小值为34.故答案为：34【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和余弦定理，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.四、解答题18已知箱子中装有标号分别为1，2，3，4，5 的五个小球现从该箱子中取球，每次第 13 页 共 20 页取一个球（无放回，且每球取到的机会均等）（）若连续取两次，求取出的两球上标号都是奇数或都是偶数的概率；（）若取出的球的标号为奇数则停止取球，否则继续取，求取出次数X 的分布列和数学期望E X【答案】（1）25；（2）分布列见解析，期望为32【解析】（1）用列举法写出所有基本事件，确定所求概率事件所含有的基本事件，计数后可得概率（2）X的可能值1，2，3，分别计算概率得分布列，由期望公式可计算出期望【详解】（1）连续取两次，求取出的两球上标号可能是12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共 10个，其中都是奇数或都是偶数的有13,15,35,24共 4 个，所求概率为42105P；（2）由题意X的所有可能值是1,2,3，13153(1)5CP XC，233(2)5410P X，2231(3)54310AP X，所以X的分布为X1 2 3 P353101103313()123510102E X【点睛】本题考查古典概型，考查随机变量的概率分布列和数学期望，用列举法求古典概型概率是常用方法19如图，22ABBEBCAD，且ABBE，60DAB，/ADBC，第 14 页 共 20 页（1）若BEAD，求证：面ADE面 BDE;（2）若6CE，求直线AD 与平面 DCE 所成角的正弦值【答案】（1）见解析，（1）2 11119【解析】（1）由2,60ABADDAB，可得ADDB，结合BEAD可得AD平面BDE，再利用面面垂直的判定可证明；（2）由余弦定理求出2 3AC，以B为原点，BA为x轴，BE为y轴，过B作平面ABE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线AD 与平面 DCE 所成角的正弦值【详解】解：证明：因为22ABBEBCAD，且ABBE，60DAB，/ADBC，所以412 1 2cos603BD，所以222ADBDAB，所以ADDB，因为BEAD，BEBDB,所以AD平面BDE，因为AD平面ADE，所以面ADE面 BDE;（2）解：因为22ABBEBCAD，且ABBE，60DAB，/ADBC，所以2222222cos1202 3AC，以B为原点，BA为x轴，BE为y轴，过B作平面ABE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)BAE,设(,)(0)C x y zz，因为2 3,6,2ACCEBC,所以222222222(2)12(2)64xyzxyzxyz，解得1111,22xyz，所以1111,22C，第 15 页 共 20 页因为2BCAD,/ADBC,所以11 111(,)22 44ADBC，15 111(,)22 44DCDAABBCABBC,311(1,)22CE，设平面DCE的法向量为(,)na b c，则51110244311022n DCabcn CEabc，令1c，则1111(,1)84n，设直线 AD 与平面 DCE 所成角为，因为/ADBC，所以直线BC与平面 DCE 所成角为，所以2 11sin119n BCn BC，所以直线AD 与平面 DCE 所成角的正弦值为2 11119【点睛】此题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算能力，属于中档题.20已知数列na满足11a，*11(2,)nnnaa nnnN，（1）求na;（2）若数列nb满足113b，*121()nnnbbnaN，求证：2512nb【答案】（1）nan；（2）证明见解析第 16 页 共 20 页【解析】（1）用累乘法求得通项na；（2）求出23,b b满足不等式，从43bb开始用放缩法，然后利用累加法求和可证结论【详解】（1）由题意11nnanan（2n），321121231121nnnaaanaanaaan，11a也适合所以nan（*nN）；（2）由已知1125312b，214251312bb，32214119252341212bb，当3n时，121111(1)1nnbbnn nnn，因此1343541()()()nnnbbbbbbbb1911111125125()()()12233411212nnn，则1212512nnbbn综上，2512nb【点睛】本题考查累乘法和累加法求数列的通项公式本题还考查了用放缩法证明数列不等式对一些特殊的递推公式，求通项公式的方法可能采用累乘法和累加法，如已知1()nnaaf n2n，可用累加法求通项公式，如已知1()nnaf na2n，可用累乘法求通项公式21已知椭圆22221xyab的离心率为63，1,1P是椭圆上一点，直线13yxm与椭圆交于A，B 两点（B 在 A 的右侧且不同于P 点）（）求椭圆方程;（）若直线PA的斜率为1，求直线PB 的斜率;（）求|PAPB的取值范围第 17 页 共 20 页【答案】（）223144xy（）12（）(1,)【解析】（）根据椭圆的性质，列出方程，求解即可；（）求出点A的坐标，确定直线AB的方程，再得出点B的坐标，由斜率公式，即可得出直线PB 的斜率;（）联立直线AB与椭圆方程，结合韦达定理得0PAPBkk，进而得出121|1xPAPBx，由判别式大于0 确定m的范围，讨论m的值，确定2x的值，由2212123xxx x，得出|PAPB的取值范围【详解】（）由题意可知2222263111caababc，解得242 62,33abc所以椭圆方程为223144xy（）直线:PA yx，联立椭圆方程得2234xx，解得1x（舍）或1x，即(1,1)A113m，23m，12:33AB yx联立直线AB与椭圆方程得出220 xx，解得1x或2x，即(2,0)B所以011212PBk（）先证0PAPBkk，设1122,A x yB xy直线AB与椭圆联立得22469120 xmxm所以21212394,212mxxm x x第 18 页 共 20 页122112121211111111331111PAPBxmxxmxyykkxxxx121212242(1)3311x xmxxmxx212343332(1)232011mmmmxx所以121|1xPAPBx又因为直线AB椭圆有两异于P的交点，所以21081920113mm解得4233m或2433m当4233m时，212x，由得12,xx满足2212123xxx x记121|1xPAkPBx，则121xkkx，代入得222221(1 2)(1)220kkxkk xkk，所以222221kkxkk所以2222121kkkk，解得1k当2433m时，211x，此时记121|1xPAtPBx，则121xttx代入得222221(1 2)(1)220ttxtt xtt，所以222221ttxtt所以2222111tttt，解得1t故|(1,)|PAPB【点睛】第 19 页 共 20 页本题主要考查了根据离心率求椭圆的标准方程以及根据直线与椭圆的位置关系求参数的取值范围，涉及了斜率公式的应用，属于中档题.22已知函数2l()n2nlf xxaaxaa；（）求证：2()3f xa；（）是否存在实数k，使得只有唯一的正整数a，对于(0,)x恒有：fxeak，若存在，请求出 k 的范围以及正整数a 的值;若不存在请说明理由（下表的近似值供参考）【答案】（）证明见解析；（）5ln 442,6ln552)kee，此时4a【解析】（）利用导数证明函数()f x 的单调性求出最值，所证不等式转化为ln1aa，再次利用导数证明函数1 lnh aaa的单调性及最值，由1ln1h aaah即可证明；（）由（）知所求不等式等价于(1)ln2kaaea，利用导数证明函数(1)ln2g aaaea的单调性，再推出(3)(5)(4)ggg即可求得k的范围及a 的值.【详解】（）1111(),()0()0aaxfxxfxxfxxxxaa，所以()f x 在10a，上单调递增，在1,a上单调递减，所以11 ln2fxfaaa，下面证明：21 ln23aaa，等价于证明：ln1aa，设1lnh aaa，则11h aa，令0h a，解得1a，当0,1a时，0h a，h a单调递减；当1,a时，0h a，h a单调递增，所以1ln10h aaah，则ln1aa.第 20 页 共 20 页（）由（）可知max1 ln2fxaa，所以不等式(1)ln2aaeak只有唯一的正整数解，即(1)ln2kaaea，设(1)ln2g aaaea，1()lnag aaea，10,(1)20ggee，又22111()agaaaa，所以()g a在0,1上单调递减，在1,上单调递增，结合4050gg，知存在0(4,5)a满足00g a，所以g a在10,e上单调递增，在01,ae上单调递减，在0,a上单调递增，(3)4ln 332ge，(4)5ln 442ge，(5)6ln 552ge，因为(3)(5)(4)ggg，所以5ln 442,6ln552)kee，此时4a.【点睛】本题考查导数在研究函数的性质中的应用、利用导数证明不等式，属于较难题.