【最新】2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下学期期初考试数学试题(解析版).pdf
第 1 页 共 22 页2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下学期期初考试数学试题一、单选题1已知全集2,1,0,1,2,3U，集合|2,Ax xxN，1,2B，则UCABU（）A1,2B0,1,2C2,1,3D2,1,0,3【答案】C【解析】求出集合A，按照并集、补集定义，即可求解.【详解】全集2,1,0,1,2,3U，|2,0,1,2Ax xxN，,0,1,22,1ABBU，2,1,3UCABU.故选:C.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2已知双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线为12yx，则离心率为（）A52B5C52或5D3【答案】A【解析】根据双曲线中的,a b c关系，可得21()bea，即可求出结论.【详解】双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线为12yx，2115,1()1242bbeaa.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.第 2 页 共 22 页3已知实数x，y满足2000 xyxyx，则2zxy的最小值为（）A-4 B-2 C0 D2【答案】A【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出2zxy的最小值.【详解】做出满足2000 xyxyx的可行域，如下图所示，根据图象，当目标函数2zxy过(0,2)A时，取得最小值为4.故答案为:A.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合思想，求线性目标函数的最值，属于基础题.4已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A2 B43C83D3【答案】B【解析】根据三视图的特征，在正方体中还原出直观图为三棱锥，如下图示，根据三棱第 3 页 共 22 页锥与正方体关系，即可求解.【详解】在正方体中可得三视图对应的三棱锥SABC的直观图，其中S为11C D中点，正方体的棱长为2，211422323SABCV.故选:B.【点睛】本题考查三视图求体积，在特殊的几何体中还原直观图是解题的关键，属于基础题.5已知等比数列na的前n项和为nS，则“10a”是“990S”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据99S与1a关系，结合充分必要条件的判定，即可求出结论.【详解】设等比数列na公比为q，当1q时，19910990aSa，当1q时，999999111,011qqSaqq，19900aS，所以“10a”是“990S”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，涉及到等比数列的前n项公式，属于基础题.第 4 页 共 22 页6已知fx是定义在R上的奇函数，且fx的图像关于直线2x对称.若当02x时，1fxx，则20192020ff（）A0 B 1 C2 D4【答案】C【解析】根据已知条件可得()f x 是周期函数，且周期为8，将自变量转化为 2,2，即可求出结论.【详解】fx是定义在R上的奇函数，fx的图像关于直线2x对称，(4)()()fxfxf x，(8)(4)()f xf xf x，()f x 是周期为8的周期函数，20192020(3)(4)(1)(0)2ffffff.故选:C.【点睛】本题考查函数的周期性、函数的奇偶性和对称性，要掌握函数对称性的代数表达式，意在考查直观想象、逻辑分析能力，属于中档题.7已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A 盒中有m个红球与10m个白球，B盒中有10m个红球与m个白球（010m），若从A，B盒中各取一个球，表示所取的2 个球中红球的个数，则当()D取到最大值时，m的值为（）A3 B 5 C7 D9【答案】B【解析】可能值为0,1,2，分别求出各可能值的概率，得到分布列，求出期望，进而得到方差关于m的函数，根据函数特征求出最值即可.【详解】可能值为0,1,2，10(10)(0)1010100mmmmP，第 5 页 共 22 页221010(10)(1)101010 10100mmmmmmP，10(10)(2)1010100mmmmP，分布列为012P(10)100mm22(10)100mm(10)100mm22(10)(10)(10)()0121100100100mmmmmmE，22222(10)(10)(10)(01)(1 1)(21)100100100(Dmmmmmm2(10)1101()505022mmmm，当且仅当5m时，等号成立.故选:B.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望方差，利用基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.8在棱长为2 的正方体1111ABCDA B C D中，点P是正方体棱上的一点，若满足1PBPDm的点P的个数大于6 个，则m的取值范围是（）A2 3,25B2 3,2 5C2 5,22 2D2 5,22 2【答案】D【解析】由题意可得，点P是以22 3c为焦距的椭圆，利用三角形两边之和大于第三边，以及点P的个数大于6 个，短半轴长不小于2，即可求出m的范围.【详解】点P是正方体棱上的一点，满足1PBPDm点P是以22 3c为焦距的椭圆与正方体棱的交点，第 6 页 共 22 页正方体的棱长为2，正方体面的对角线为2 2，点P的个数大于6 个，椭圆的半短轴长2b，Q短半轴长223,32,2 544mmbm，由三角形两边之和大于第三边可得，正方体棱上点到1,B D之和最大值为222，当22 2m时，满足条件的点P只有 6 点，不合题意，m的取值范围是2 5,222.故选:D.【点睛】本题考查满足条件的点的个数的求法，以及正方体的结构特征，注意椭圆性质的合理应用，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.9已知函数fx满足：对任意的实数x，y，都有4fxyfxfyxy成立，且2264ff，则23f（）A89B169C409D163【答案】A【解析】抽象函数求值，考虑用赋值法，令0 xy，求出(0)f，再令2,2 yx得出(2),(2)ff关系，利用基本不等式求出22ff，结合2264ff，求出(2)f，再用赋值法即可求出结论.【详解】令0,(0)2(0),(0)0 xyfff，令2,2,(0)0(2)(2)16xyfff，4(2)(2)1226,(2)0,(2)06,ffffff，(2)(2)2(2)(2),(2)(2)64ffffffQ，(2)(2)64,(2)(2)8ffff，第 7 页 共 22 页422216()()2()33339fff，242432248(2)()()()3()83333939fffff，28()39f.故选:A.【点睛】本题考查抽象函数求值，赋值法是解题的关键，利用基本不等式是突破口，考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.10已知数列na满足11a，2121nnnnaaaa，则使得2020am最小的整数m是（）A65 B64 C63 D62【答案】B【解析】根据递推公式，可得12111121nnanaaaL，求出2020a，进而估算出整数m.【详解】因为2121nnnnaaaa，故可得112nnnaaa，110,0naaQ，当2n时，112211nnnnnaaaaaaaaL121111212nnnaaaL，所以20204040a，所以202063.5a，另一方面2111112nnnnnnaaaaaan22222,222222nnnnnnn202023220202019()()aaaaaa24038264.5第 8 页 共 22 页所以使得2020am最小的整数m是64 故选:B.【点睛】本题考查数列项的估值，注意累加法的应用，对数列通项放缩估值是解题的难点，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.二、填空题11设i为虚数单位，给定复数212izi，则 z的虚部为 _；模为 _.【答案】452 55【解析】根据复数的乘除法运算法则求出z，即可得出结论.【详解】212(2)242(2)(2)55iiiziiii，所以 z 的虚部是45，模长为2 55.故答案为:45；2 55.【点睛】本题考查复数的代数运算、复数的模长，属于基础题.12二项式61xx的展开式中常数项等于_，有理项共有 _项.【答案】15 4【解析】(1)根据二项式定理的通项公式求解即可.(2)根据二项式定理的通项公式分析x的指数为整数的项的个数即可.【详解】(1)根据二项式定理的通项公式6 3621661rrrrrrTCxCxx.故取常数项时63022rr.此时常数项为2615C.(2)当取有理项时,632r整数.此时0,2,4,6r.故共有 4 项.故答案为：(1).15(2).4【点睛】第 9 页 共 22 页本题主要考查了二项式定理的运用,属于中等题型.13已知直线l：22110mxmym，到当实数m变化时，原点O到直线l距离的最大值为_；平面内所有恒不在l上的点,x y所形成的图形面积为_.【答案】2124【解析】根据点到直线距离公式，求出原点O到直线l的距离d，得到d关于m的函数，根据函数特征求出其最大值；将直线l方程看成关于m的方程，由于平面内所有点,x y恒不在l上的，因此关于m的方程无实根，由判别式，得出图形，即可求出面积.【详解】依题意，原点O到直线l的距离为d，2222|1|1|14(1)mmdmmm要距离最大值，则0m，2112(1)2(1)2(1)21mdmmmm12122 22，当且仅当21m，等号成立，所以原点O到直线l距离的最大值为212；22110mxmymQ，平面内所有点,x y恒不在l上，关于m的方程2(12)10ymmxy无解，显然1(0,)2不是直线l的点20,(12)4(1)0yxyy，即22111()(),0224xyy和点1(0,)2，为(,)x y 所围成的图形，面积为4.故答案为:212；4.第 10 页 共 22 页【点睛】本题考查求点到直线距离、直线的一般式方程和圆的知识，转化为基本不等式求最值和关于m的方程无实根是解决问题的关键，属于中档题.14在ABC中，2 3AB，4AC，13AD，D为线段BC的中点，则BC_，ABCS_.【答案】2 2 3【解析】根据向量的线性关系可得1()2ADABACu uu ruuu ruuu r，结合向量的模长求出cosA，进而求出sin A，再由余弦定理求出BC和三角形面积.【详解】DQ为线段BC的中点，1()2ADABACuu u ruu u ruu u r，221113()(1216163cos)44ADABACAu uu ruu u ruu u r，31cos,sin22AA，2222cos28244BCABACAB ACA，1112,sin2 342 3222ABCBCSAB ACA.故答案为:2；2 3.【点睛】本题考查向量线性关系模长公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.15已知抛物线E：24yx和直线l：40 xy，P是直线上l一点，过点P做抛物线的两条切线，切点分别为A，B，C是抛物线上异于A，B的任一点，抛物线在C处的切线与PA，PB分别交于M，N，则PMN外接圆面积的最小值为_.【答案】258【解析】设三个切点分别为222(,),(,),(,)444abcAaBb Cc，求出三条切线,PA PB MN方程，三条切线方程分别联立求出,P MN坐标，点P在直线l上，得到,a b关系，求出|,|,|PMPNMN，进而求出PMNS，设三角形PMN 外接圆半径为R，利用|4PMPNMNRs，求出R的解析式，根据其特征，求出最小值.第 11 页 共 22 页【详解】设三个切点分别为222(,),(,),(,)444abcAaBb Cc，若在点A处的切线斜率存在，设方程为2()4ayak x与24yx联立，得，222440,164(4)0kyya kaka ka，即222440,a kakka，所以切线PA方程为2202axay若在点A的切线斜率不存在，则(0,0)A，切线方程为0 x满足 方程，同理切线,PB MN的方程分别为2202bxby，2202cxcy，联立,PA PB方程，22202202axaybxby，解得42abxaby，即,42ababP同理,4242ac acbc bcMN，(),42a cbcbPMu uu u r，()(),4242b cacac babaPNMNuuu ruuuu r，设PMN外接圆半径为R，222444|,|,|161616abcPMbcPNacMNab，211|sin|1cos22PMNSPMPNMPNPMPNMPN22211|1()(|)()22|PMPNPMPNPMPNPMPNPMPNu uuu r uu u ruuuu u ruuu ruuuu r u uu ru uu uu ruuu r2222221()()(4)(4)(4)216bcacabab第 12 页 共 22 页|1|1622abbcacMNPMPNR，222|444416PMPNMNabcRS2244,08abc时取等号，点P在直线40,4,8422abababxyab，22448abR22224168a bab222222(6)200242561688aba ba bab2005 284，当且仅当1,6,0abc或6,1,0abc时等号成立，此时PMN外接圆面积最小为258.故答案为:258.【点睛】本题以抛物线为背景，考查切线方程、向量模长夹角、面积公式、正弦定理、二次函数最值等基础知识，综合性强、计算量大，意在考查直观想象、逻辑思维、数学计算能力，属于难题.16 已知平面向量ar，br满足1ar，42a babr rrr，则abrr的取值范围是_.【答案】1,3【解析】用坐标法表示向量坐标，设(1,0),(,)abx yrr，22(1)abxyrr，即求(,)x y 与(1,0)两点间距离的范围，根据已知等式求出,x y关系式，即可求解.【详解】设(1,0),(,)abx yrr，由42a babr rrr，得2242(1)xxy整理得22143xy，第 13 页 共 22 页22(1)abxyrr表示椭圆上的动点(,)P x y到定点(1,0)F（左焦点）的距离，当P点位于椭圆长轴两端点取得最值，分别为1,3，所以abrr取值范围是1,3.故答案为:1,3.【点睛】本题考查向量的坐标表示、曲线轨迹方程、椭圆几何性质，解题的关键是向量坐标化，考查数形结合思想，属于中档题.17已知,m nR，mn，函数2maxm tnfxxtxR（其中maxm tn表示对于xR，当,tm n时表达式2xt的最大值），则fx的最小值为 _.【答案】22nm【解析】根据()f x 的定义，设2()(),h txttm n的最大值为()f x，根据二次函数的性质，分类讨论求出()h t的最大值，求出()f x，再求出其最小值.【详解】设2()(),h txttm n，对称轴方程为tx，当2max,()()()()22mnmnxxf xh th nxn，,()2mnnf xQ在,)2mn单调递增，2()()()22mnnmf xf当2max,()()()()22mnmnxxf xh th mxm，,()2mnmf xQ在(,)2mn单调递减，22()()()()222mnmnnmf xf，所以fx的最小值为22nm.故答案为:22nm.【点睛】第 14 页 共 22 页本题以函数新定义为背景，考查二次函数的最值，注意理解题意，分清函数对应的自变量是解题的关键，属于中档题.三、解答题18已知sin,cosaxxr，sin2cos,sinbxxxr，令fxa br r.（1）求fx的最小正周期及12fx的解集；（2）锐角ABC中，26284Af，边3BC，求ABC周长最大值.【答案】（1）T，|,28kx xkZ；（2）3 3.【解析】（1）由向量的数量积公式，求出()fx，用降幂公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 为正弦型函数，即可求解；（2）依题意求bc的最大值，由（1）求出角A，利用正弦定理，将bc用,B C表示，再把,B C转化为B角关系式，利用三角恒等变换，化为关于B的正弦型函数，即可求解.【详解】（1）2sin2sincossincosa bxxxxxxfr r111cos2sin2412sin222222xxx，T，12fx，sin 204x，2,428kxkkZkxZ，12fx的解集是|,28kx xkZ.（2）26284Af，3sin2A，02AQ3A，2sinsinsinabcABC，32sin2sinabcBC232sin2sin3BB第 15 页 共 22 页33sin3 cos32 3 sin6BBB，锐角三角形且角3A，,6 2B，当3B时，abc最大为3 3，ABC周长最大值为3 3.【点睛】本题考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数性质、正弦定理，考查计算能力，属于中档题.19如图，在四棱台1111ABCDA B C D中，底面是正方形，且11112222ADAAA DDD，点E，F分别为棱BC，11B C的中点，二面角1AADB的平面角大小为56.（1）证明：ADEF；（2）求直线1AA与平面11BCC B所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3 1326.【解析】（1）将四棱台还原为棱锥，延长1AA，1BB，1CC，1DD，EF交于点P，取AD中点M，连接PM，EM，可得ADPM，ADME，可证AD平面PME，即可证明结论；（2）连接AC交ME于O点，连接1C O，可得1/C OPA，转化为求直线1C O与平面11BCC B所成角，由（1）可得平面11BCC B平面PME，过O作OHPE，可证1OC H是直线1C O与平面11BCC B所成角，在PME中求出OH即可.【详解】第 16 页 共 22 页（1）如图所示，延长1AA，1BB，1CC，1DD，EF交于点P，由题意得2PAPB，取AD中点M，连接PM，EM，则ADPM，ADME，又PMMEMI，所以AD平面PME，又EF平面PME，所以ADEF；（2）连接AC交ME于O点，连接1C O，则1/C OPA且112C OPA，所以直线1C O与平面11BCC B所成角和直线1AA与平面11BCC B所成角相等，由（）得AD平面PME，又/BCAD，所以 BC 平面PME，又BC平面11BCC B，所以平面11BCC B平面PME，又平面11BCC B I平面PMEPE，过O作,OHPE OH平面11BCC B，则1OC H是直线1C O与平面11BCC B所成角.由（）得PME是二面角1AADB的平面角，所以5,2,36PMEMEPM，由余弦定理可得2222cos13PEMEMPME MPPME，再由正弦定理得13sinsin32PMPEPEMPME，332sin132 13PEM，第 17 页 共 22 页在PME中，3 13sin26OHOEPEM，在直角1OC H中，113 13sin26OHOC HOC，所以直线1AA与平面11BCC B所成角的正弦值为3 1326.【点睛】本题考查空间点、线、面的位置关系，证明异面直线垂直，考查空间角，要注意用几何法求空间角“做”“证”“算”三步骤缺一不可，属于中档题.20已知数列na的前n项和为nS，且满足221nnSna，*nN.（1）证明：11nan为常数列，并求na；（2）令2sin2nnnaba，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）见解析；（2）*2*421,2,327,21,3nnnnk kNTnkkN.【解析】（1）根据已知1n，求出1a，再由12,nnnnaSS得到1,nnaa，化简可证11nan为常数列，即可求出na；（2）由（1）求出2na进而求出nb通项公式，根据通项公式对n分类讨论，分组求和，即可得出结论.【详解】（1）因为221nnSna，当2n时，11211nnSna，第 18 页 共 22 页-得，12211nnnanana，即111nnnana，同除1n n得，1111111nnaannn nnn，整理得1111nnaann，所以11nan为常数列.因为112121Sa，所以13a，则111212naan，所以21nan.（2）由（）得122 2121nnna，所以112121 sin21 sin22nnnnbn，则1*1*21,2,21,21,nnnnk kNbnkkN，当2nk，*kN时，23412121212121nnnT23451222222nn244222213nn，当21nk，*kN时，21211427212133nnnnnnTTb，综上，*2*421,2,327,21,3nnnnk kNTnkkN.【点睛】本题考查数列通项以及前n项和，注意辅助数列在解题中的应用，考查计算求解能力，属于中档题.21已知1F，2F分别为椭圆E：222210 xyabab的左、右焦点，离心率为12，P是椭圆上异于左右顶点的一动点，已知12F PF的内切圆半径的最大值为33.（1）求椭圆E的方程；第 19 页 共 22 页（2）设直线0 xmma与椭圆E交于A，B两点（不同于点P），直线AP，BP分别与直线4xm相交于点M，N，证明：4OMONu uuu r uu u r.【答案】（1）22143xy；（2）证明见解析.【解析】（1）12F PF周长为定值22ac，可得内切圆半径最大时12F PF面积最大，而最大值为bc，结合离心率，即可求解；（2）设0,A m y，0,B my，11,P xy，求出,AP BP方程，进而求出,M N坐标，求出OM ONu uuu r uuu r，结合22220111,14343yxym化简，即可证明结论.【详解】（1）由题意知：12ca，2ac，222bac，3bc.设12PF F的内切圆半径为r，则12121212PF FSPFPFF Fr1222acracr，故当12PF F面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时33r，所以33acbc，把2ac，3bc代入，解得：2a，3b，所以椭圆方程为22143xy.（2）设0,A m y，0,B my，11,P x y，则220143ym，2211143xy*，1001yyyxmyxm，令4xm得011010011412343My ymxyyyymyxmmxm m，第 20 页 共 22 页从而0110141234,3y ymxyMmxm m，同理0110141234,3y ymxyNmxm m，01100110211412341231633y ymxyy ymxyOM ONmxm mxm muuuu r uu u r22220110222116123169y ymxymxmm22221102221123123123169mxmxymxmm22211022214216mxmxymxmm222210022222141641643mxyymmmmxmm22434mm.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆方程的应用，考查计算求解能力，属于较难题.22已知函数12fxxaxa aR.（1）讨论函数fx的单调性；（2）若0fx对任意的1x恒成立，求a的取值范围；（3）证明：20212022202320244068260020202020202020202020.【答案】（1）fx在211,14a上单增；在211,4a上单减；（2）1,2；（3）证明见解析.【解析】（1）求出()fx，对a分类讨论，求出()0,()0fxfx的解，即可得出结论；（2）根据（1）的结论，只需max()0f x求解即可；第 21 页 共 22 页（3）由（2）知，取12a，有不等式1112xx，取1,2,3,20482020kxkL，得到11120204040kk，即可证明结论.【详解】12 1fxax.（1）当0a时，0fx，所以fx在1,上单调递增；当0a时，由0fx解得21114xa，所以fx在211,14a上单调递增；在211,4a上单调递减.（2）当0a时，12000fxxa x，故不合题意；当0a时，由（）知max21104xffa，211(21)(21)20141244aafaaaaaa102aaQ，综上，a的取值范围为1,2.（3）由（2）知，取12a，有不等式1112xx成立.当1,2,3,20482020kxkL时，得20201111120202020220204040kkkk，所以202120222023202440682020202020202020202011234204820484040L2049 1024204826004040.【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论第 22 页 共 22 页思想，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
