高考试题与答案-全国卷2数学理.pdf
实用文档.普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150 分，考试用时120 分钟。第卷（选择题，共60 分）参考公式：如果事件A、B 互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)24 RS如果事件A、B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径P(AB)=P(A)P(B)球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P，那么234RVn 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中 R 表示球的半径knkknnPPCkP)1()(本卷共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题（1）已知集合|1log|,3|2xxNxxM，则NM（A）（B）|30|xx（C）|31|xx（D）|32|xx（2）函数 y=sin 2x cos 2x 的最小正周期是（A）2（B）4（C）4（D）2（3）2)1(3i（A）i23（B）i23（C）i（D）i（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A）163（B）169（C）83（D）329（5）已知 ABC 的顶点B、C 在椭圆1322yx，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 ABC的周长是（A）32（B）6（C）34（D）12 实用文档.（6）函数)0(1lnxxy的反函数为（A）)(1Rxeyx（B）)(1Rxeyx（C）)1(1xeyx（D）)1(1xeyx（7）如图，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为4和6，过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为、BA，则 AB：BA=（A）2：1（B）3：1（C）3：2（D）4：3（8）函 数)(xfy的 图 像 与 函 数)0(log)(2xxxg的 图 像 关 于 原 点 对 称，则)(xf的 表 达 式 为（A）)0(log1)(2xxxf（B）)0()(log1)(2xxxf（C）)0(log)(2xxxf（D）)0)(log)(2xxxf（9）已知双曲线12222byax的一条渐近线方程为xy34，则双曲线的离心率为（A）35（B）34（C）45（D）23（10）若)(cos,2cos3)(sinxfxxf则（A）x2cos3（B）3x2sin（C）x2cos3（D）x2sin3（11）设nS是等差数列na的前 n 项和，若3163SS，则126SS（A）103（B）31（C）81（D）91（12）函数191)(nnxxf的最小值为（A）190（B）171（C）90（D）45 第卷（非选择题，共90 分）注意事项：本卷共 2 页，10 小题，用黑色碳素笔将答案在答题卡上。答在试卷上的答案无效实用文档.二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分。把答案填在答题卡上。（13）在104)1(xx的展开式中常数项是。（用数字作答）（14）已知 ABC 的三个内角A、B、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边 BC 上的中线AD 的长为。（15）过点（1，2）的直线 l 将圆4)2(22yx分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k=。（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000 人中再用分层抽样方法抽出100 人作进一步调查，则在（2 500，3 000）（元）月收入段应抽出人。三、解答题：本大题共6 小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12 分）已 知 向 量.22),cos,1()1,(sinba（）若,ba求；（）求ba的最大值。实用文档.（18）（本小题满分12 分）某批产品成箱包装，每箱 5 件，一用户在购进该批产品前先取出3 箱，再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0 件、1 件、2 件二等品，其余为一等品.（）用表示抽检的6 件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（）若抽检的6 件产品中有2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.（19）（本小题满分12 分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为 BB1、AC1的中点.（）证明：ED为异面直线BB1与 AC1的公垂线；（）设AA1=AC=,2AB求二面角A1ADC1的大小.实用文档.（20）（本小题满分12 分）设函数).1(ln)1()(xxxf若对所有的x0，都有)(xfax 成立.求实数 a 的取值范围.实用文档.（21）（本小题满分14 分）已知抛物线yx42的焦点为BAF,是抛物线上的两动点，且).0(FBAF过 A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（）证明ABFM为定值；（）设 ABM 的面积为S，写出)(fS的表达式，并求S的最小值.实用文档.（22）（本小题满分12 分）设数列na的前 n 项和为nS，且方程02nnaxax有一根为.,3,2,1,1 nSn（）求;,21aa（）求na的通项公式.实用文档.2006的普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修 II）参考答案及评分参考评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4只给整数分数一选择题和填空题不给中间分.一选择题（1）D（2）D（3）A（4）A（5）C（6）B（7）A（8）D（9）A（10）C（11）A（12）C 二填空题（13）45（14）3（5）22（6）25 三、解答题（17）解：（I）若ba，则,0cossin2 分由此得)22(1tan，所以4；4 分（II）由)cos,1(),1,(sinba得)cos(sin23)cos1()1(sin|22ba)4sin(22310 分当|,1)4sin(ba时取得最大值，即当4时，|ba的最大值为12.12 分（18）解：（I）可能的取值为0，1，2，3.实用文档.,5015)2(,2512)1(,50910018)0(25222524251223251425121525242523251425232524CCCCCCCCCPCCCCCCCCCPCCCCP.251)3(25222514CCCCP 8 分的分布列为0 1 2 3 P 50925125015251（II）所求的概率为.50172515015)3()2()2(PPPp 12分（19）解法一：（I）设 O 为 AC中点，连结 EO，BO，则 EO 21C1C，又 C1C21B1B.所以 EODB，EOBD为平行四边形，EDOB.2 分AB=BC，BO AC，又平面 ABC平面 ACC1A1，BO面 ABD，故 BC平面 ACC1A1，ED平面 ACC1A1，ED为异面直线AC1与 BB1的公垂线.6 分（II）连结 A1E.由 AA1=AG=2AB可知，A1ACC1为正方形，A1EAC1.又由 ED平面 A1ACC1和 ED平面 ADC1知平面 ADC1平面 A1ACC1，A1E 平面 ADC1.作 EF AD，垂足为F，连结 A1F，则 A1FAD，A1FE为二面角A1ADC1的平面角.不妨设 AA1=2，则 AC=2，AB=2.ED=OB=1，EF=32ADEDAE，tan A1FE=31EFEA，A1FE=60.所以二面角A1ADC1为 60.12 分解法二：（I）如图，建立直角坐标系Oxyz，其中原点O 为 AC的中点.设).2,0(),0,0(),0,0,(1cbBbBaA则).,0(),0,0(),2,0,(),0,0,(1cbDcEcaCaC 3 分,0).2,0,0(),0,0(111BBEDBBEDcBBbED=实用文档.又.,0),2,0,2(111ACEDACEDcaAC所以 ED是异面直线BB1与 AC1的公垂线.6 分（II）不妨设A（1，0，0），则 B（0，1，0），C（1，0，0），A1（1，0，2），.,0,0,20,0,0(),0,1,1(),0,1,1(11111ADABCAAAABAABCABBCAABCABBCAAABBC面又即又),0,0,1(),1,1,0(),1,0,0(CDEEEDAEEDECAEECEDECAEEC又即,0,0，ADCEC1面.10 分21|,cosBCECBCECBCEC，即得BCEC和的夹角为 60.所以二面角A1ADC1为 60.12 分（20）解法一：令axxxxg)1ln()1()(，对函数)(xg求导数：axxg1)1ln()(，令0)(xg解得.11ncx 5 分（i）当1a时，对所有0 x，),0)(,0)(在所以xgxg上是增函数.又,0)0(g所以对0 x，有)0()(gxg，即当1a时，对于所有0 x，都有axxf)(.（ii）当是减函数在所以对于时)1,0()(,0)(,10,111nnexgxgcxa，又)0()(10,0)0(1gxgcxgn有所以对，即axxf)(，所以，当.)(0,1成立都有不是对所有的时axxfxa综上，a的取值范围是.1,(12 分解法二：令axxxxg)1ln()1()(，实用文档.于是不等式axxf)(成立即为)0()(gxg成立.3 分对)(xg求导数得axxg1)1ln()(，令0)(xg，解得.11ncx 6 分当)(,0)(11xgxgcxn时为减函数.当.)(,0)(,111为减函数时xgxgcxn 9 分要对所有0 x都有)0()(gxg充要条件为.011nc由此得1a，即a的取值范围是.1,(12 分（21）解：（I）由已条件，得F（0，1），0.设,).,(),(2211FBAFyxByxA由即得),1,()1,(2211yxyx).1(12121yyxx将式两边平方并把22221141,41xyxy代入得221yy，解、式得1,21yy，且有.4422221yxxx抛物线方程为.412xy求导得.21xy所以过抛物线上A、B 两点的切线方程分别是,)(21)(21222111yxxyyxxxy即.4121,4121222211xxxyxxxy解出两条切线的交点M 的坐标为).1,2()4,2(212121xxxxxx 4 分所以),()2,2(121221yyxxxxABFM=)4141(2)(2121222122xxxx=0 所以ABFM为定值，真值为0.7 分实用文档.（II）由（I）知在 ABM 中，FMAB，因而.|21FMABS.12414)4(214214141)2()2(|21212221221yyxxxxxxFM因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=1 的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=.)1(212于是3)1(21|21FMABS，11 分由4,21S知，且当1时，S取得最小值4.14 分（22）解：（I）当 n=1 时，0112axax有一根为0)1()1(,111112111aaaaaS于是，解得.211a 2 分当 n=2 时，有一根为0)1()1(,2112222222aaaaaS于是，解得.612a 5 分（II）由题设0)1()1(2nnnnaSaS，即.0122nnnnSaSS当.012,211nnnnnnSSSSSan代入上式得时由（I）知2111aS，实用文档.326121212aaS，由可得.433S由此猜想,3,2,1,1nnnSn.8 分下面用数学归纳法证明这个结论.（i）n=1 时已知结论成立.（ii）假设 n=k 时结论成立，即1kkSk，当1kn时，由得kkSS211，即211kkSk，故1kn时结论也成立.综上，由（i）、（ii）可知1nnSn对所有正整数n 都成立.10 分于是当2n时，)1(1111nnnnnnSSannn，又1n时，211211a，所以na的通项公式为.,3,2,1,)1(1nnnan 12 分
